數(shù)學(xué)歸納法不等式中學(xué)數(shù)學(xué)

1、摘 要許多中學(xué)生在數(shù)學(xué)歸納法在不等式的應(yīng)用上都相對薄弱，在一部分學(xué)生中也是似懂非懂，按部就班的使用，并不能清楚的知道其原理，所以數(shù)學(xué)歸納法反而成了失分率非常高的知識點(diǎn)。那么如何學(xué)好它呢？我們應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)歸納法的歷史及其發(fā)展入手，這是學(xué)會歸納法的關(guān)鍵，也是教師能夠更好授課的前提。然而題型變化多端，如果學(xué)生對其類型了解的不夠，將導(dǎo)致不能正確地選擇解題方法。因此，如何全面的分析和研究面對各類題型采取的解題方法不同的問題，是當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用歸納法的關(guān)鍵，這也是本文的重點(diǎn)。本篇論文主要通過了解數(shù)學(xué)歸納法的概念和原理總結(jié)了一些常用的證明方法：放縮傳遞法、反證法、比較法、加減對消法、循環(huán)法、綜合法；并分析了

2、學(xué)生常見錯誤的原因；提出了一些有建設(shè)性地建議。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；不等式；中學(xué)數(shù)學(xué)AbstractMany middle school students are relatively weak in the application of mathematical induction in inequality, in some students are also vaguely understood, step-by-step use, and cant clearly know its principle, so mathematical induction has become a ver

3、y high loss rate of knowledge. So how to learn it well? We should start with the history and development of mathematical induction, which is the key to learning induction and the premise for teachers to teach better. However, the question types vary a lot, if the students do not know enough about it

4、s types, will lead to the problem cant choose the correct method. Therefore, how to comprehensively analyze and study the different problem solving methods adopted for various types of questions is the key for students to learn and apply induction method, which is also the focus of this paper. This

5、paper mainly through understanding the concept and principle of mathematical induction summarizes some commonly used methods of proof, including reduction method, transfer method, reduction method, comparison method, addition and subtraction pair elimination method, circulation method, synthesis met

6、hod; And summed up the students often make mistakes types; Some constructive Suggestions are put forward.Key words: mathematical induction; Inequality; Middle school mathematics目 錄1 引 言52 數(shù)學(xué)歸納法的理論知識62.1 數(shù)學(xué)歸納法的歷史62.2 數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)72.3 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理83 數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的一些應(yīng)用93.1 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一些類型93.1.1 放縮傳遞法證明不等式93

7、.1.2 反證法證明不等式103.1.3 分析法證明不等式113.1.4 比較法證明不等式123.1.5 加減對消法證明不等式123.1.6 循環(huán)法證明不等式133.1.7 綜合證明不等式144 數(shù)學(xué)歸納法在不等式解題中的常見錯誤與建議154.1 常見錯誤及分析154.1.1 “歸納假設(shè)”形同虛設(shè)154.1.2 機(jī)械套用歸納法中的2個步驟164.1.3 錯誤領(lǐng)會從到的跨度174.2 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的學(xué)習(xí)建議185 結(jié) 論18參 考 文 獻(xiàn)20致 謝21數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的應(yīng)用1 引 言數(shù)學(xué)歸納法將推理和證明這兩種基本思維過程靈活運(yùn)用到生活中，是中學(xué)數(shù)學(xué)中起著至關(guān)重要的作用,可以鍛煉

8、學(xué)生有限到無限的思維過渡。數(shù)學(xué)歸納法幫助我們客觀的認(rèn)識事物，一步一步的建立數(shù)學(xué)抽象思維。每隔幾年都會對新課進(jìn)行改動，而隨著這些改動的實(shí)施，數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容上變化也會比較很大，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容是輕重不一的，在每個省份中的占比也不一樣。例如人教版在高中數(shù)學(xué)選修中才設(shè)置數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)內(nèi)容且更加表明它是一種歸納推理的方法；上教版則把它放在數(shù)列章節(jié)和大學(xué)的極限內(nèi)容放在一起，強(qiáng)調(diào)的是其應(yīng)用。在各個版本近幾年的變動中我們發(fā)現(xiàn)高考對數(shù)學(xué)歸納法的考察越來越少，而教師在教學(xué)過程中都是以高考題型為導(dǎo)向的，這就導(dǎo)致大部分教師在教學(xué)生時并不重視原理和運(yùn)用。所以出現(xiàn)了大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到難學(xué)、學(xué)后也不懂得很

9、好的運(yùn)用，這就造成了教師在教學(xué)過程中感到難教的現(xiàn)象。然而在大學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)歸納法是很重要的思維方法，學(xué)生在中學(xué)時期就沒打下好的基礎(chǔ)，在進(jìn)入大學(xué)之后會發(fā)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)晦澀難懂，許多人提到數(shù)學(xué)都是叫苦連迭。但大學(xué)老師并不會再詳細(xì)講解，因?yàn)檫@是被默認(rèn)為高中就應(yīng)該掌握的知識，這在學(xué)習(xí)上造成了矛盾現(xiàn)象。因此我們要重視數(shù)學(xué)歸納法。了解數(shù)學(xué)歸納法的歷史發(fā)展能夠更好地幫助我們認(rèn)識其原理。通過分析學(xué)生的錯誤原因我們得知除了對其原理和本質(zhì)不清楚外，也有普遍存在的思維定式。本文主要總結(jié)了用數(shù)學(xué)歸納法解不等式問題的常見類型以及剖析了學(xué)生常犯的錯誤。2 數(shù)學(xué)歸納法的理論知識2.1 數(shù)學(xué)歸納法的歷史人們最早認(rèn)識數(shù)學(xué)是從阿拉伯

10、數(shù)字0，1，2，.開始的。在數(shù)學(xué)里把這類數(shù)字歸為一類稱為自然數(shù)集，在而數(shù)學(xué)歸納法中我們以正整數(shù)集作為區(qū)域，也就是去掉0后的自然數(shù)集。正整數(shù)集是無限集，因?yàn)槟悴豢赡馨阉械恼麛?shù)都寫出來。所以人們只有找到有限和無限之間可以進(jìn)行聯(lián)系的途徑，才能通過有限次的操作來推斷無限集的一些性質(zhì)，以此研究無限集的問題，人們發(fā)現(xiàn)的這個方法，便是數(shù)學(xué)歸納法。與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的證明方法之一是數(shù)學(xué)歸納法，其證明步驟是：(1) 證明正確；(2) 假設(shè)正確，證明正確。如果(1)(2)都得證,那么對一切正整數(shù)都是正確的。在數(shù)學(xué)中遞歸即是把某序列的元素過渡到下一個元素。歐幾里得是最先開始使用遞歸法的數(shù)學(xué)家，在他的幾何原本

11、里，用遞歸法證明了無限集的命題。在近代數(shù)學(xué)家中，最早能夠詳細(xì)講述遞歸法并運(yùn)用它的是法國的一位著名數(shù)學(xué)家帕斯卡。 “帕斯卡三角形”命題也就是著名的楊輝三角，他在論算術(shù)三角形用遞歸法證明了這一命題，并且指出使用關(guān)于這一方法解答問題的流程，也即是第一條引理與第二條引理： 第一條：該命題對于第一個底成立，這是顯然的。第二條：若該命題對任一底正確，則必定對其下一個底也正確。接下來用這兩個引理他得出了計算組合數(shù)公式，即，這個也是第一個能用數(shù)學(xué)歸納法詳細(xì)證明的題。2.2 數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)在1889 年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾發(fā)表了算術(shù)原理新方法，在這本書中他創(chuàng)建了有關(guān)正整數(shù)的五條公理，使數(shù)學(xué)歸納法更加詳細(xì)。

12、 五條公理：（1）1 是正整數(shù)；（2）1 不是任何正整數(shù)的后繼者；（3）每一個正整數(shù)都是一個后繼者；（4）若與的后繼者相等，則與也相等；（5）若一個集合是正整數(shù)所組成的并包含1，如果包含有某一數(shù)就必然同時包含的后繼,那么就包含一切的正整數(shù)（歸納公理）。皮亞諾在此基礎(chǔ)上奠定了數(shù)學(xué)歸納法的原理:在后面緊接著有這個整數(shù)，那么我們從1開始有限次的做這一步驟，可以達(dá)到。所以數(shù)學(xué)歸納法常用來證明和正整數(shù)相關(guān)的問題，簡單高效。2.3 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時要注意嚴(yán)格按它的邏輯步驟，在正確的基礎(chǔ)上從有限問題過度到無限的問題上：對都正確，這需要無限次的操作，但不可能把每個數(shù)都證明一次，數(shù)學(xué)歸納法

13、給出了一種方法：先證明起始值或，之后在假設(shè)成立的情況下，推出成立。按照前兩步,可以斷定對任意都正確。這種方法在使用時，第一步的過程是奠基。根據(jù)假設(shè)成立,推導(dǎo)出成立,這個過程就是遞推。所以在使用時要特別注意一定要有以下兩步：第一步：驗(yàn)證使命題正確的最小正整數(shù)，并不一定是從1開始，這要取決于命題的取值范圍，這是遞推的前提條件，但只有這一步是無法證明其普遍性。第二步：推證之前的過程，結(jié)論對于是不是正確不確定，所以用“假設(shè)”。其實(shí)質(zhì)是證明命題正確時命題也正確。這是為了是遞推的鋪墊，但若是只有這一步，就不能進(jìn)行下一步的遞推過程。再由第一步的結(jié)論，可知命題對正確，由第二步對也正確.所以，對任意大于等于的正

14、整數(shù)都正確。最后，在完成這兩步的證明后，需要做出結(jié)論3 數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的一些應(yīng)用3.1 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一些類型很多同學(xué)看到題目時便馬上解題，這是錯誤的。第一步我們應(yīng)當(dāng)觀察并分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，尤其是左式的構(gòu)成，找到和時式子變化的差異，搞懂這一步是解題的關(guān)鍵。變化的類型有很多種，但都有其固定的特征，我們根據(jù)這些特征選用不同的證明方法。而什么樣的類型對應(yīng)不同的解題方法就是以下我們要談?wù)摰闹攸c(diǎn)。下面總結(jié)并分析了我們常用到的幾種技巧。3.1.1 放縮傳遞法證明不等式放縮法主要是利用不等式的傳遞性，通過適當(dāng)?shù)姆趴s不等式的局部，從而有利于化簡，使它與原不等式兩邊的關(guān)系更加明顯。在使

15、用放縮法時，要注意放縮的尺度，如何適度放縮是其難點(diǎn)。證題中經(jīng)常用到的放縮方法有：（1）“添舍”：對不等式進(jìn)行添加項或舍棄項（2）分式：通過放縮分式的分子、分母來達(dá)到目的（3）利用不等式或常見結(jié)論：把想要證明的不等式進(jìn)行變形構(gòu)造，這要求學(xué)生充分掌握重要的恒不等式。（4）單調(diào)性：這需要用到數(shù)列和函數(shù)的知識，利用它們的單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。例1 試證 。分析：要證明不等式成立，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個過度式C。如將放大成，即，后證。這道題中，是分式的有規(guī)律的數(shù)列，我們知道當(dāng)，不等式成立，故我們想到利用此結(jié)論進(jìn)行放縮，找到。本題在證明的過程中，要證的目標(biāo)是于是帶著目的進(jìn)行解

16、題，思考如何變形才能達(dá)到目的。證明：（1）當(dāng)時，顯然成立。（2）假設(shè)，成立。當(dāng)時，故當(dāng)時不等式成立。綜上所述，原不等式都成立。3.1.2 反證法證明不等式反證法又稱“執(zhí)果索因”法，在直接證明成立受到阻礙時，則可以選擇反向思考。反證法的步驟是先假設(shè)結(jié)論不成立，然后一直推到最后的結(jié)論與條件相反，最后得到結(jié)論正確的條件。一般來說，當(dāng)結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”等字句，或以否定語句出現(xiàn)時，用反證法來解題會更加方便。例2 若，求證。分析：當(dāng)我們從不等式正確順推證明也正確但是毫無想法或者類似結(jié)論時，可以把結(jié)論假設(shè)為已知，從而推出結(jié)論正確的條件。這道題中，最開始都是順推就有成立，從而證明也成立，但此式冪次方，

17、直接證明的話轉(zhuǎn)換太復(fù)雜，所以我們考慮此結(jié)論已知，從而來探討所滿足的條件是否與結(jié)論相符，這就是反證法。證明：（1）當(dāng)時，顯然成立。（2）假設(shè)，成立。當(dāng) 時，不等式為。 即原不等式成立。綜上所述 ，原不等式都成立。3.1.3 分析法證明不等式分析法的總體思想是從結(jié)論出發(fā), 找到可以使不等式成立的充分條件,其證題思路是執(zhí)果索因,與反證法的思維相似，其邏輯關(guān)系是，其步驟是“要證只需證即證”,注意與綜合法的區(qū)別。例3 對任意正整數(shù)，求證。分析：在面對這種雙重未知的冪次方比較大小時，我們會分別取進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)結(jié)果來猜一般性結(jié)論。我們可以猜測此結(jié)論成立，那么就可以采用執(zhí)果索因的方法來推出已知條件。證明：（1

18、）當(dāng)時，顯然成立。（2）假設(shè)，成立。當(dāng) 時，不等式為， 即證，所以，所以只需證，即證， 只需證， 即證 顯然成立。3.1.4 比較法證明不等式比較法是應(yīng)用較廣的證明方法,它分為作商、作差這兩種比較法。作差的理論思想是把所有的式子都放在左邊或右邊，然后另一邊為0，進(jìn)行比較大小，而作商是兩邊同乘左（右）不為0的倒數(shù)，這樣的話另一邊就為 1，然后進(jìn)行比大小。當(dāng)想要證明的不等式兩端是多項式(或分式)時,常用作差法，若是乘積或冪指數(shù)形式時,常用作商法。例4若求證：。分析：我們知道的展開式是，即含有項，可考慮放縮后再作差的方式進(jìn)行消除或合并，但我們發(fā)現(xiàn)左右兩邊的的系數(shù)不一樣，還要湊系數(shù)，這里就需要結(jié)合放縮

19、法一起。在驗(yàn)證n=k+1時，若湊系數(shù)為，會使中指數(shù)為k+1的項消除，故應(yīng)當(dāng)湊。證明：（1）當(dāng)時，顯然成立。（2）假設(shè)，成立。則當(dāng)， 所以所以 成立。故命題成立。3.1.5 加減對消法證明不等式利用等式的性質(zhì)使方程組中兩個方程中的某一個未知數(shù)前的系數(shù)的絕對值相等，然后把兩個方程相加或相減，以消去這個未知數(shù)，使方程只含有一個未知數(shù)而得以求解。例5 若，求證。分析：該題左邊是個有規(guī)律的分式結(jié)構(gòu)，右邊是個常數(shù)。很顯然，用放縮法非常快的得到證明，但這題我們討論用加減對消該如何解。當(dāng)和時，我們發(fā)現(xiàn)兩者數(shù)列的和有許多相同的項，那么我們利用加減對消法對消某些項，這樣就能把相同的項進(jìn)行相加和相減，有利于化簡，但

20、在 時要注意，增加和減少的項并不是1項證明：（1）當(dāng)時，顯然成立。（2）假設(shè)， 成立。設(shè)，則，所以，所以，所以。綜上所述，任意原不等式都成立。3.1.6 循環(huán)法證明不等式當(dāng)使用數(shù)學(xué)歸納法解決不等式相關(guān)問題時，需要不斷循環(huán)的使用假設(shè)，最后得出證明。例6 若，求證。分析：我們可以假設(shè)成立，所以，本題二次使用歸納假設(shè)，再進(jìn)行放縮，使命題得證。證明：（1）當(dāng)時，不等式顯然成立。（2）假設(shè)，成立。則當(dāng)時，需驗(yàn)證。左邊=即時不等式也成立。綜上所述任意不等式都成立。3.1.7 綜合證明不等式綜合法的整理結(jié)構(gòu)是從已知條件出發(fā)，利用已知的性質(zhì)定理等一層一層進(jìn)行剖析推理，最終得到可以使未知的不等式成立的條件。一般

21、來說，當(dāng)不等式是均值不等式、平方和、乘積形式等，優(yōu)先考慮用綜合法。它的邏輯關(guān)系是例7 已知，試證。分析：從求證的不等式看，右邊是兩項式的積，且各項均為正，有2的因子，因此可考慮用均值不等式。證明：。（1）當(dāng)時，。（2）假設(shè)，成立。則當(dāng)時，即時不等式也成立。綜上所述任意不等式都成立。通過以上數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用過程可以體會到其重要性。所以在教學(xué)過程中，教師不僅要教學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法的歷史及其發(fā)展過程，更要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力。4 數(shù)學(xué)歸納法在不等式解題中的常見錯誤與建議4.1 常見錯誤及分析4.1.1 “歸納假設(shè)”形同虛設(shè)例8 已知數(shù)列中，前項和，計算 ，并猜想的表達(dá)式，用數(shù)學(xué)歸納法證

22、明你的結(jié)論。錯誤解法：當(dāng)時，即。由此猜想：， （1）當(dāng)時，顯然成立。（2）假設(shè)當(dāng)，成立。（3）則當(dāng)時，又，是首項為3，公比為的等比數(shù)列，由此可得，這表明當(dāng)命題也成立。錯誤分析：（1）應(yīng)由求得，再由，求得進(jìn)而由此猜想。（2）沒有利用歸納假設(shè)，而是根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，這種證明不是數(shù)學(xué)歸納法。正確解法：，當(dāng)時，即。把代入，得由此猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。（1）當(dāng)時，猜想成立。（2）假設(shè)當(dāng)，成立。則當(dāng)時，因?yàn)?，所以 ， 這表明當(dāng)結(jié)論也成立。4.1.2 機(jī)械套用歸納法中的2個步驟例9 當(dāng)為正奇數(shù)時，能否被7整除？若能，用數(shù)學(xué)歸納法證明；否則，舉出反例錯誤解法：（1）當(dāng)時，6+1=7能

23、被7整除，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即能被7整除，當(dāng)時，不能被7整除，由(1)(2)知，為正奇數(shù)，不能被7整除。錯誤分析：機(jī)械套用歸納法的2個步驟，而忽略了是正奇數(shù)的條件。正確解法：（1）當(dāng)時，6+1=7能被7整除，命題成立。（2）假設(shè)時，命題成立，即能被7整除，當(dāng)時，。因?yàn)槟鼙?整除且35也能被7整除，所以也能被7整除，由(1)(2)知，為正奇數(shù)，不能被7整除。4.1.3 錯誤領(lǐng)會從到的跨度例10 求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：。錯誤解法：（1）當(dāng)時，顯然有。（2）假設(shè)，成立。當(dāng)時， 所以當(dāng)時不等式成立，綜上所述原不等式成立。錯誤解析：上述證明中，從到的跨度，只加了一項是錯誤的，分母是相

24、鄰的自然數(shù)，故應(yīng)該是，共有個項。正確解法：（1）當(dāng)時，顯然有。（2）假設(shè)，成立。當(dāng)時，所以，當(dāng)時不等式成立，綜上所述原不等式成立。4.2 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的學(xué)習(xí)建議用數(shù)學(xué)歸納法來解決不等式相關(guān)問題，讓學(xué)生理解并運(yùn)用是有一定難度的，其原因是：不明白數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)和原理,以至于不懂如何運(yùn)用；而且在開始之前就存在畏懼心理，認(rèn)為其復(fù)雜困難；數(shù)學(xué)歸納法對能靈活運(yùn)用知識間的關(guān)聯(lián)要求也較高，學(xué)生的變通能力也有待加強(qiáng)。根據(jù)以上問題對學(xué)生學(xué)習(xí)提出下面幾條建議：（1）學(xué)會聯(lián)系生活實(shí)際。我們可以借助類比思維來幫助我們理解領(lǐng)會這一方法。如果是只記住這個方法的知識而不知道它的本質(zhì)和原理，那么是無法靈活運(yùn)用。（2）學(xué)會把問題類型和方法進(jìn)行總結(jié)歸納。學(xué)數(shù)學(xué)并不是盲目的刷題，數(shù)學(xué)解題方法很重要，所以必須學(xué)會總結(jié)，這不僅可以幫助自己將知識進(jìn)行整合，能夠清楚各知識間的聯(lián)系，而且能夠發(fā)現(xiàn)自身薄弱的知識方面在哪，從而進(jìn)行專項訓(xùn)練。（3）構(gòu)造自己的知識思維導(dǎo)圖。數(shù)學(xué)歸納法需要靈活運(yùn)用各個方面知識，所以除了要清楚歸納法的解題步驟之外，更要熟悉掌握不等式、函數(shù)、三角函數(shù)等方面的內(nèi)容，構(gòu)造自己的思維導(dǎo)圖。這樣才能在使用數(shù)學(xué)