數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-淺談矩陣的特征值和特征向量論文

1、 淺談矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用摘要 起初, 為了便于研究和求解線性方程，引入了矩陣的概念. 隨著矩陣?yán)碚摰牟粩嗤晟?矩陣逐漸被用作各個(gè)學(xué)科的重要研究工具,其理論得到了充分的發(fā)展.矩陣的特征值和特征向量的是研究矩陣的一個(gè)重要手段，通過計(jì)算出矩陣的特征值和特征向量，可以獲得矩陣的一些重要性質(zhì)和應(yīng)用.本文在介紹了矩陣的特征值和特征向量的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過具體例題，歸納總結(jié)了如何利用矩陣的特征值和特征向量來(lái)解決實(shí)際問題.本文分成三個(gè)部分,第一部分主要介紹國(guó)內(nèi)外對(duì)矩陣特征值和特征向量的一些研究現(xiàn)狀. 第二部分主要介紹特征值和特征向量的求法.第三部分主要介紹特征值和特征向量的一些主要的應(yīng)用.例如

2、通過行列互逆變換、MATLAB等方法和手段求解矩陣的特征值和特征向量,并給出了特征值和特征向量的相關(guān)應(yīng)用.例如可以預(yù)測(cè)一個(gè)特定區(qū)域未來(lái)t年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r,具有特征值和特征向量的模型還可以幫助解決日常生活中的人口流動(dòng)等問題. 特征值和特征向量的研究有助于代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展,同時(shí)將二者的研究結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際生活中去,能夠解決很多實(shí)際問題.關(guān)鍵詞 特征值 特征向量 矩陣 應(yīng)用On the application of eigenvalue and eigenvector of matrixAbstract At first, in order to facilitate the study and s

3、olution of linear equations, the concept of matrix was introduced. With the continuous improvement of matrix theory, matrix is gradually used as an important research tool in various disciplines, and its theory has been fully developed. The eigenvalues and characteristics of matrix Vectors are an im

4、portant means of studying matrices. By calculating the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, some important properties and applications of the matrix can be obtained. This article introduces the concepts and properties of the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, Through specific example

5、s, it summarizes how to use matrix eigenvalues and eigenvectors to solve practical problems. This article is divided into three parts. The first part mainly introduces some domestic and foreign research status of matrix eigenvalues and eigenvectors. The second part mainly introduces How to find eige

6、nvalues and eigenvectors. The third part mainly introduces some of the main applications of eigenvalues and eigenvectors. For example, the methods and means to solve the eigenvalues and eigenvectors of matrices through row and column reciprocal transformation, MATLAB, etc. Related applications of va

7、lues and feature vectors. For example, you can predict the future of a specific area t Economic development status, models with eigenvalues and eigenvectors can also help solve problems such as population mobility in daily life. The study of eigenvalues and eigenvectors can help the further developm

8、ent of algebra, and at the same time apply the research results of both In real life, you can solve many practical problems.Key words eigenvalue eigenvector matrix application 目 錄引言1第1章 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀11.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀11.2國(guó)外研究現(xiàn)狀1第2章 特征值和特征向量的一般理論22.1特征值和特征向量的相關(guān)定義和性質(zhì)22.2特征值和特征向量的一般解法22.2.1傳統(tǒng)的求特征值和特征向量的解法32.2.2特征值和特

9、征向量的列行互逆變換法的定義42.2.3用列初等變換求矩陣的特征值和特征向量52.2.4用matlab求矩陣的特征值和特征向量6第3章矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究83.1n階高次冪矩陣的求解83.2 Fibonacci數(shù)列113.3經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型123.4從業(yè)人口流動(dòng)問題143.5 人臉識(shí)別15結(jié)論16參考文獻(xiàn)17致 謝18 引 言研究矩陣的特征值和特征向量，不僅對(duì)理論學(xué)習(xí)幫助良多,對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué),物理學(xué),生物學(xué),計(jì)算機(jī)等各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展都有所助益.例如我們用重要程度得分來(lái)表示一個(gè)網(wǎng)頁(yè)的重要程度,這個(gè)得分應(yīng)該是一個(gè)非負(fù)數(shù).而如何打分的中心思想是,其他網(wǎng)頁(yè)指向該網(wǎng)頁(yè)的鏈接的數(shù)量越多,該

10、網(wǎng)頁(yè)的重要性得分相應(yīng)的就越高,那么這個(gè)網(wǎng)頁(yè)就越重要.而這一評(píng)分系統(tǒng)算法中就運(yùn)用到了矩陣模型,矩陣的特征值和特征向量在算法中起到了極其重要的作用,Google的PageRank算法就是如此. 特征值和特征向量的研究不管是對(duì)學(xué)術(shù)研究還是現(xiàn)實(shí)應(yīng)用,都具有深遠(yuǎn)的意義.第1章 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)和國(guó)外代數(shù)學(xué)研究者中,許多專家學(xué)者已經(jīng)都積極參與特征值和特征向量這一領(lǐng)域的研究.例如：張亞在文獻(xiàn)1矩陣的特征值與特征向量及其應(yīng)用中介紹了特征值和特征向量的定義和性質(zhì).對(duì)求解特征值和特征向量的幾種方法進(jìn)行了總結(jié).簡(jiǎn)要描述了矩陣的高次冪的計(jì)算,并在此基礎(chǔ)上引入了斐波那契數(shù).周琴在文獻(xiàn)2矩陣特征值和特

11、征向量在實(shí)際中的應(yīng)用及其實(shí)現(xiàn)中介紹了矩陣的特征值和特征向量在循環(huán)游戲的排序問題和預(yù)測(cè)分析中的應(yīng)用,并給出了MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)的具體代碼,這些代碼適用于類似的實(shí)際問題的計(jì)算,只需要在應(yīng)用時(shí)相應(yīng)地修改矩陣即可.劉紅梅在文獻(xiàn)3基于矩陣特征值和特征向量的應(yīng)用研究中重點(diǎn)研究了矩陣相關(guān)算法.相關(guān)矩陣模型可用于確定系統(tǒng)中物種的進(jìn)化,計(jì)算系統(tǒng)中物種的特定數(shù)量以及預(yù)測(cè)物種的狀態(tài).王濤,紀(jì)維強(qiáng)在文獻(xiàn)5Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用中給到了運(yùn)用MATLAB求矩陣的特征值和特征向量的一些方法.1.2國(guó)外研究現(xiàn)狀國(guó)外對(duì)于矩陣的特征值與特征向量的研究更多偏向于應(yīng)用性.Kwai-Sang Chin在文獻(xiàn)19An

12、eigenvector method for generating normalized interval and fuzzy weights中提出了一種歸一化區(qū)間或模糊特征向量權(quán)值估計(jì)方法.R.M. Lin在文獻(xiàn)20DERIVATION OF STRUCTURAL DESIGN SENSITIVITIES FROM VIBRATION TEST DATA中從有限的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā),提出了一種計(jì)算結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)靈敏度的有效方法,即頻率響應(yīng)函數(shù)靈敏度,特征值靈敏度和特征向量靈敏度.Bong Seok Kim,Kyung Youn Kim在文獻(xiàn)21Estimation of conductivity d

13、istribution based on fast inversion using eigenvalue and eigenvector in electrical impedance tomography中提出了一種利用特征值和特征向量快速反演電導(dǎo)率分布的方法.第2章 特征值和特征向量的一般理論2.1特征值和特征向量的相關(guān)定義和性質(zhì)定義 對(duì)于階方陣，如果存在數(shù)以及維非零列向量， 滿足 則數(shù)稱為的特征值， 非零向量稱為的屬于特征值的特征向量. 注 （1）例如 對(duì)于 =，不難驗(yàn)算：=1，因此，1是的特征值，是的屬于特征值1的特征向量容易看出，對(duì)于任意非零數(shù)k，k也是的屬于特征值1的特征向量（2）

14、一般地，若是的屬于特征值的特征向量，則對(duì)于任意非零數(shù)k，也是的屬于特征值的特征向量，即與對(duì)應(yīng)的特征向量不是唯一的.（3）與的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量絕不會(huì)相同， 就是說， 特征向量只能從屬于一個(gè)特征值. 2. 特征多項(xiàng)式 設(shè)A是n階矩陣，l是一個(gè)文字，矩陣稱為的特征矩陣，它的行列式 是關(guān)于的一個(gè)n次多項(xiàng)式，稱為的特征多項(xiàng)式方程稱為的特征方程特征值與特征向量的性質(zhì)(1) n階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值(2) ; .其中是矩陣的全部特征值.(3) n階方陣可逆的充要條件是的任意一個(gè)特征值都不為零.(4) 設(shè)是方陣的特征值，則是的特征值(為正整數(shù)).注 一般地， 設(shè)，其中為方陣. 若是的特征

15、值， 即， 因?yàn)?.所以是矩陣的特征值.(5) 設(shè)是方陣的特征值，且可逆， 則是的特征值.2.2特征值和特征向量的一般解法2.2.1傳統(tǒng)的求特征值和特征向量的解法n階方陣的特征值于特征向量的步驟為:(1) 解特征方程. 求出全部根 ()，則就是的全部特征值.(2) 對(duì)每個(gè)，求出齊次方程組的基礎(chǔ)解系: ， 其中為系數(shù)矩陣的秩，則的屬于的特征向量為， 其中為不全為零的數(shù).例1 已知矩陣,求出矩陣的特征值和特征向量解 =故當(dāng)時(shí),代入得,即,因此對(duì)應(yīng)的特征向量為當(dāng)時(shí),代入得,因此對(duì)應(yīng)的特征向量為例2 已知矩陣=,求出矩陣的特征值和特征向量故得特征值當(dāng)時(shí),代入得,因此對(duì)應(yīng)的特征向量為當(dāng)時(shí),代入得,因此對(duì)

16、應(yīng)的特征向量為.2.2.2特征值和特征向量的列行互逆變換法的定義找到一組基本解,我們可以找到與每個(gè)特征值相對(duì)應(yīng)的所有線性無(wú)關(guān)的特征向量:（1）互換兩列,同時(shí)互換兩行（2）第列乘以非零數(shù),同時(shí)第行乘（3）第i列k倍數(shù)加到第j列,同時(shí)第j行-k倍加到第i行例3 已知矩陣,求的特征值和特征向量 解 所以特征值特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為2.2.3用列初等變換求矩陣的特征值和特征向量設(shè)是階矩陣A的特征根,對(duì)施行列初等變換化為的同時(shí),對(duì)單位陣施行同樣的列初等變換就得到矩陣,則矩陣的每一個(gè)列向量都是的屬于特征根的特征向量,且它們恰構(gòu)成特征子空間的一個(gè)基.（這里r=秩事實(shí)上,由矩陣的初等變換

17、和分塊矩陣運(yùn)算性質(zhì)可得=所以由于是單位陣經(jīng)若干初等列變換得到的分塊矩陣;因而它的個(gè)列向量線性無(wú)關(guān),且每個(gè)列向量都是的解向量.從而結(jié)論得證.例4求矩陣=的特征值和特征向量解 =解得特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為2.2.4用matlab求矩陣的特征值和特征向量可以通過在matlab中求矩陣的特征值和特征向量的命令為:或 例5 求矩陣的特征值和特征向量解 matlab中輸入clear運(yùn)行結(jié)果為如果運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果為上面matlab中的輸入僅顯示A的特征值,而輸入不僅顯示對(duì)角矩陣D（對(duì)角元素是的特征值）,還可以求解相應(yīng)的特征向量矩陣.例6求矩陣的特征值和特征向量解 在matlab中輸入clear;可以通過繼續(xù)輸入

18、命令得可以通過繼續(xù)輸入命令輸出結(jié)果為符合特征值的定義矩陣的對(duì)角線上的數(shù)值即為該矩陣的特征值,矩陣為該矩陣的特征向量所組成的矩陣.第3章矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究矩陣的特征值和特征向量的相關(guān)內(nèi)容貫穿整個(gè)代數(shù)學(xué),是非常重要的一個(gè)概念.其不僅對(duì)理論研究有所助益,而且特征值和特征向量的研究能夠運(yùn)用到實(shí)際問題中去,接下來(lái)將介紹一些其在數(shù)學(xué)中一些的應(yīng)用.3.1n階高次冪矩陣的求解對(duì)一個(gè)階矩陣求解,使用以前的方法會(huì)很麻煩,因此引入了一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法.當(dāng)一個(gè)階的矩陣可對(duì)角化時(shí),即原矩陣與其對(duì)角矩陣相似,那在計(jì)算它的高次冪矩陣時(shí)有簡(jiǎn)便算法.何為可對(duì)角化,如下條件即說該矩陣可對(duì)角化:前提是為對(duì)稱的矩陣,再有

19、矩陣有個(gè)不相等的特征值,且特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān),對(duì)于每一個(gè)特征值均有.滿足如上條件即可說可對(duì)角化.對(duì)來(lái)說,其中,它是由的n個(gè)特征向量構(gòu)成的.并且由的個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣為,有=其中.例7設(shè)矩陣,求（k為正整數(shù)）解 矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣,可對(duì)角化令 得（1） 時(shí),由,得故所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 （2） ,由,得,故所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為由此可得,=故解得例8設(shè)矩陣,求（k為正整數(shù)）解 矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣,可對(duì)角化故可解得時(shí),可得,故所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 時(shí),由可得,故所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為由此可得, 3.2 Fibonacci數(shù)列由于有新的樹枝生長(zhǎng)出來(lái),新樹枝的生長(zhǎng)通常需要一段“休息”時(shí)

20、間才能繼續(xù)生長(zhǎng),然后再萌發(fā)新的樹枝. 因此,樹木的生長(zhǎng)需要一定時(shí)間間隔,例如一年后長(zhǎng)出新的分枝;第二年的時(shí)候,新枝停止生長(zhǎng),而舊分枝仍在發(fā)芽;此后,舊分枝與“休息”一年后長(zhǎng)出來(lái)的分枝同時(shí)萌發(fā),而當(dāng)年新生的樹枝次年“休息”, 以此類推,各年樹的分支數(shù)量構(gòu)成斐波那契數(shù)列（k=0 ,1 ,2 ,）.數(shù)列滿足條件通項(xiàng)為第k天枝條的條數(shù),假設(shè),（k=0 ,1 ,2 ,）將其寫成矩陣形式,令得到,由此公式遞歸可得于是求的問題歸結(jié)為求,即求的問題由矩陣的階高次冪的求解知,若要求,先求矩陣的特征值和特征向量,求得的特征值為,所對(duì)應(yīng)的特征值分別為,假設(shè)所以可得可得綜上可得第k天枝條條數(shù)為.3.3經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污

21、染的增長(zhǎng)模型 經(jīng)濟(jì)的良好發(fā)展是社會(huì)向好發(fā)展的決定性因素之一,因此研究影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因素是至關(guān)重要的. 而環(huán)境污染是影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素,因此我們值得對(duì)二者的關(guān)系進(jìn)行一定的研究,我們可以通過建立二者的數(shù)學(xué)模型:設(shè)分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平, 是 1年后的環(huán)境污染與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平,且有如下關(guān)系:令,可得:上式反應(yīng)了目前以及1年后經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染增長(zhǎng)之間的關(guān)系,若令=則由可得據(jù)此可以推算出1年后該地的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染水平.如果是該地區(qū)若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染水平,則有:將上述關(guān)系轉(zhuǎn)化為矩陣形式為:由此公式遞歸可得據(jù)此能夠預(yù)測(cè)出該地區(qū)若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和環(huán)境污染水平,

22、進(jìn)而得以求出矩陣A的特征值為,屬于的一個(gè)特征向量是 ,屬于的一個(gè)特征向量是 ,下面可分為三種情況討論分析:（1）由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不可能為負(fù),故該情況不予以討論;（2）根據(jù)特征值與特征向量的性質(zhì)可知:=繼而可得由此可以看出,經(jīng)過t年,當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到一定高度時(shí),環(huán)境保持了同步惡化的趨勢(shì).（3）可以由和唯一線性表出,即 由此可得 據(jù)此可以推斷出該地區(qū)t年后環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.在情況（1）中為負(fù)值,無(wú)實(shí)際意義,不作討論.對(duì)（2）（3）兩種情況進(jìn)行具體說明.通過這個(gè)案例可以看出特征值和特征向量的應(yīng)用已經(jīng)在對(duì)影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展相關(guān)因素的分析中發(fā)揮了重要作用.3.4從業(yè)人口流動(dòng)問題假設(shè)一個(gè)城市從事服務(wù)

23、業(yè),教育業(yè),醫(yī)療健康行業(yè)三業(yè)人數(shù)共有50萬(wàn)人,并且該城市的這三項(xiàng)的就業(yè)總?cè)藬?shù)幾年來(lái)一直保持不變. 以下是一些社會(huì)調(diào)查數(shù)據(jù): 在50萬(wàn)從業(yè)者中,從事教育業(yè)的有20萬(wàn)人,從事服務(wù)業(yè)的20萬(wàn)人,從事醫(yī)療健康行業(yè)的有10萬(wàn)人;1.在從事服務(wù)業(yè)的人員中,每年有10%轉(zhuǎn)為教育行業(yè),5%轉(zhuǎn)為醫(yī)療健康行業(yè);2.在從事教育行業(yè)的人員中,每年有5%轉(zhuǎn)為服務(wù)業(yè),10%轉(zhuǎn)為醫(yī)療健康行業(yè);3.在從事醫(yī)療健康行業(yè)的人員中,每年有10%轉(zhuǎn)為服務(wù)業(yè),5%轉(zhuǎn)為教育業(yè).現(xiàn)在,要預(yù)測(cè)一兩年后從事各行業(yè)的人數(shù),以及多年后各種行業(yè)的人數(shù)趨勢(shì).若用三維向量表示第t年之后從事這三個(gè)行業(yè)的總?cè)藬?shù),已知而欲求,并欲求根據(jù)題意,可得一年后,從事

24、服務(wù)業(yè),教育業(yè),醫(yī)療健康行業(yè)的人數(shù)為:即以,代入上式可得即1年后,從事服務(wù)業(yè),教育業(yè),醫(yī)療健康行業(yè)的人數(shù)為:19.5萬(wàn),19萬(wàn),11.5萬(wàn)2年后,即2年后,從事服務(wù)業(yè),教育業(yè),醫(yī)療健康行業(yè)的人數(shù)為:19.05萬(wàn),18.275萬(wàn),12.675萬(wàn)而t年后,即t年后從事各行業(yè)的人數(shù)由決定.從而運(yùn)用矩陣特征值和特征向量的相關(guān)知識(shí)幫助我們解決生活中的從業(yè)人口流動(dòng)問題,3.5 人臉識(shí)別運(yùn)用MATLAB以及矩陣的特征值和特征向量的相關(guān)知識(shí)建立人臉識(shí)別模型1.人臉樣本選取10張人臉圖片作為測(cè)試樣本%讀取轉(zhuǎn)換10張圖片,生成數(shù)據(jù)矩陣function ImgData = imgdata() %導(dǎo)入圖片pictur

25、e1 = rgb2gray(imread(1.jpg); picture2 = rgb2gray(imread(2.jpg); picture3 = rgb2gray(imread(3.jpg); picture4 = rgb2gray(imread(4.jpg); picture5 = rgb2gray(imread(5.jpg); picture6 = rgb2gray(imread(6.jpg); picture7 = rgb2gray(imread(7.jpg); picture8 = rgb2gray(imread(8.jpg); picture9 = rgb2gray(imread

26、(9.jpg);picture10 = rgb2gray(imread(10.jpg); m,n = size(picture1); picture_ten = picture1,picture2,picture3,picture4,picture5,picture6,picture7,picture8,picture9,picture10; for i=1:10 %把m*n的矩陣變換成1*(m*n)的矩陣 ImgData(i,:) = reshape(picture_teni,1,m*n); end %數(shù)據(jù)范圍縮小到0到1之間 ImgData = double(ImgData)/255;2.

27、PCA分析function Cell_ten = PCA(imgdata,k) m,n = size(imgdata); img_mean = mean(imgdata); %計(jì)算每列平均值 img_mean_ten = repmat(img_mean,m,1); %復(fù)制m行平均值至矩陣img_mean_ten Z = imgdata - img_mean_ten; T = Z*Z;%協(xié)方差矩陣 V,D = eigs(T,k); %計(jì)算T中最大的前k個(gè)特征值與特征向量 img_new = imgdata*V*D; %低維度下的各個(gè)人臉的數(shù)據(jù) Cell_ten = img_new,V,D;3.通

28、過輸入測(cè)試人臉從數(shù)據(jù)庫(kù)中找到相對(duì)應(yīng)的人臉function face= facefind(Cell_ten,testdata)%4.主程序調(diào)用img=imgdata(); %圖片矩陣數(shù)據(jù)Cell_ten=PCA(img,2);% PCAface1=facefind(Cell_ten,imread(test.jpg);%識(shí)別subplot(1,2,1)imshow(test.jpg)title(測(cè)試圖像)subplot(1,2,2)imshow(strcat(num2str(face1),.jpg)title(數(shù)據(jù)庫(kù)圖像)使用以上算法可以進(jìn)行人臉識(shí)別.結(jié) 論對(duì)矩陣的特征值和特征向量的研究不僅對(duì)學(xué)術(shù)

29、研究具有促進(jìn)作用,還可以在現(xiàn)實(shí)生活中用于解決實(shí)際問題.矩陣的應(yīng)用不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得以體現(xiàn),而且在許多其他領(lǐng)域例如經(jīng)濟(jì),生物,計(jì)算機(jī)等多個(gè)領(lǐng)域都有相關(guān)應(yīng)用.本文在介紹其理論基礎(chǔ)的同時(shí),還通過實(shí)際應(yīng)用來(lái)說明數(shù)學(xué)源于生活,并且能夠應(yīng)用于生活.希望本論文的研究結(jié)果能夠給廣大學(xué)習(xí)者帶來(lái)一定的幫助與啟發(fā).第 18 頁(yè)參考文獻(xiàn)1 張亞. 矩陣的特征值與特征向量及其應(yīng)用J. 科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊, 2018(11):6-6.2 周琴. 矩陣特征值和特征向量在實(shí)際中的應(yīng)用及其實(shí)現(xiàn)J. 高師理科學(xué)刊,2019,39(07):8-10.3 劉紅梅. 基于矩陣特征值與特征向量的應(yīng)用研究J. 許昌學(xué)院學(xué)報(bào), 2019(02):6-9.4 王蓉 廖小蓮. 特征值與特征向量及其應(yīng)用案例J. 教育現(xiàn)代化, 2018(27):264-267.5 王濤,紀(jì)維強(qiáng).Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(17):131-133.6 王新武.特征值與特征向量相關(guān)問題的研究J.隴東學(xué)院學(xué)報(bào),2011,22(06):24-29.7 張霓.矩陣特征值和特征向量的一些應(yīng)用J.中國(guó)科技信息,2007(11):308+322.8 施勁松 王圣強(qiáng). 關(guān)于方陣多項(xiàng)式的特征問題J. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2018(4):6-6.9 黃明湛 劉守宗. 對(duì)稱矩陣的特征值逆問題研究J. 長(zhǎng)江