一維無限深勢阱PPT優(yōu)秀課件

1、1 3.1 一維無限深勢阱 一、一維無限深勢阱和方勢阱 一維問題的實際背景是平面型固體器件例如“超晶 格”， 以及從高維問題約化下來的一維問題。 一維無限深勢阱的勢能函數是： |x|a; |x|a . U(x)= 0 + 在勢阱外，必有： ox)(|x|a 2 在勢阱內，滿足方程: )(0)( 2 22 2 axax E dx d 顯然E必須0，所以記 E k 2 那么方程變成： d dx kx 2 2 2 0 ( ). 它的一般解是： ( )cossin.()xAkxBkxaxa 3 這三段的解必須在 x=a 處銜接起來。在勢能有無限 大跳躍的地方，銜接條件只有 本身的連續(xù)性。所以 現(xiàn)在 A

2、ka Bkaxa Aka Bkaxa cossin,(at) cossin,(at) 0 0 因而， Aka Bka cos, sin. 0 0 有兩種情形的解： , 0cos, 0kaB所以，（1） 4 k n a n () ,(, , ,) 1 2 012 E a n 2 2 2 2 2 1 2 , ( )cos.xAn x a 1 2 (偶宇稱) (2) 所以，Aka00,sin k n a n ,(, , ,)12 3 E a n 22 2 2 2 , ( )sin.xB n x a （奇宇稱） 5 二者合起來可寫為： k n a n n 2 123,(, , ,) E a n n 2

3、2 2 2 8 , nn xA n a xa( )sin(). 2 波函數的歸一化是： 1|)(| 2 dxx a a 所以， A a n 1 ,（與n無關） 最后，波函數是： n x a n a xa( )sin(). 1 2 6 3.2線性諧振子 一維量子諧振子問題一維量子諧振子問題 這里，含V (0) 的一次項由于平衡位置V (0)=0而消失， 在經典力學中，一維經典諧振子問題是個基本的問題，它 是物體在勢（或勢場）的穩(wěn)定平衡位置附近作小振動這類常見 問題的普遍概括。在量子力學中，情況很類似。一維量子諧振 子問題也是個基本的問題，甚至更為基本。因為它不僅是微觀 粒子在勢場穩(wěn)定平衡位置附近

4、作小振動一類常見問題的普遍概 括，而且更是將來場量子化的基礎。 眾所周知，當粒子在勢場的平衡位置附近作小振動時，勢 場V(x) 總可作泰勒展開并只取到最低階不為零的項。設平衡位 置x0=0，并選取能量尺度的原點使V（0）=0，則 2 2 1 )0()(xVxV 7 也由于是穩(wěn)定振動而有V (0)0。除非振動的幅度較大，否則 不必考慮展開式中非簡諧的高階項。這類問題的物理例子比如， 原子核內核子（質子或中子）的簡諧振動、原子和分子的簡諧 振動、固體晶格上原子的簡諧振動、甚至一個多自由度系統(tǒng)在 其平衡態(tài)附近的小漲落小振動，在通過引入簡正坐標后也可以 化為一系列退耦的一維振子之和，即可近似為線性諧振

5、動的迭 加。 一. 方程的化簡 線性諧振子的勢能函數是： )12 .3( 2 1 )( 22 xxU 其中是諧振子的固有圓頻率。所以薛定諤方程是： )22 . 3(. 0 2 2 2 22 22 2 x E dx d 在方程中做如下的無量綱化變換： 8 E xx 2 , 則方程變成： )32 .3(.0)()( 2 2 2 d d 當時，方程變?yōu)椋?d d 2 2 2 . 我們發(fā)現(xiàn)它有近似解： ( ) e. 1 2 2 但是 應該舍去。 所以再進行變換： e / 2 2 ( )e( ), 1 2 2 H 9 可得關于H()的如下方程： )42 . 3(. 0) 1(2 2 2 H d dH d

6、 Hd 二. Hermitian多項式 可以用級數法求解H()的方程，結果發(fā)現(xiàn)：只要H()是“真” 無窮級數，那么在x的時候H()就 e ,仍然使()發(fā)散。 能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級數“中止” 或“退化”為多項式，而這就要求只能取一些特殊的值。 設要求H()是的n次多項式，那么就必須讓 =2n+1 n=0,1,2,3 這樣，我們首先得到了能量本征值： )52 . 3(.3 , 2 , 1 , 0, 2 1 nnEn 現(xiàn)在H()的方程成為： )42 . 3(. 0) 1(2 2 2 H d dH d Hd 10 )62.3(.022 2 2 n nn nH d dH d Hd 而不難驗

7、證下面的函數正滿足這個方程: )72.3(.ee)1()( 22 n n n n d d H 它稱為n次Hermitian多項式。 .12016032 ,124816 ,128, 24 ,2, 1 35 5 24 4 3 3 2 2 10 H H HH HH 頭五個Hermitian多項式是: 三. 線性諧振子的能級和波函數 1.我們把線性諧振子的能級和波函數總結如下。能級是： ) 82 . 3 (, 3 , 2 , 1 , 0, 2 1 nnEn 11 對應的波函數是： ) 92 . 3 ().(e)(e)()( 222 2 1 2 1 x nnnnn xHNHNx Nn是歸一化常數，利用特

8、殊積分 e, x dx 2 可得 N n n n 2! . 2.討論 (1) 能級是等間隔的 ；(2)零點能是 ；(3)能級 的宇稱偶奇相間，基態(tài)是偶宇稱,即n(-x)=(-1)n(x) (4)n(x)有 n個節(jié)點。 E 0 1 2 n 四.幾率分布: 在經典力學中,在到+d之間的區(qū)域內找到質點的 幾率 () d與質點在此區(qū)域內逗留的時間dt成 12 比例: T dt d)( T是振動周期。因此有 vt dt d T 11 )( 即幾率密度與質點的速度成反比。對于經典的線性諧振子，= a sin(t+ ) ,在點的速度為 2 1 2 2 )1 ()cos( a ata dt d v 所以幾率密

9、度與 成比例。 2 1 22 )/1( a 13 3.3勢壘貫穿 一、方勢壘 1.方勢壘是： axU axorx xU 00 0, 0 )( 0 0 a x U0 U(x) 其特點是： (1)對于勢阱，波函數在無窮遠處趨于零，能譜是分立的。但 對于勢壘，波函數在無窮遠處不為零。下面將看到，粒子能量 可取任意值。 (2)按照經典力學觀點，若E U0, 則粒子將穿過勢壘運動。 但從量子力學的觀點，由于粒子的波動性，此問題將與波 透過一層介質相似，總有一部分波穿過勢壘，而有一部分波被 反射回去。因此，討論的重點是反射和透射系數。 14 如果將此問題推廣到三維，顯然它是散射問題。 二、方勢壘的穿透 (

10、1)EU0 的情況： 薛定諤方程為 2 02 2 1 0 22 2 /)(2 /2 0)( 2 UEk Ek UE dx d 令 則其解為 )0( 0 0 11 22 11 3 2 1 C axeCCe axeBBe xeAAe xikxik xikxik xikxik 15 這里 ， 。考慮到時間 因子 ，因此 代表向右運動的 波數為K的平面波， 則是向左運動的平面波。在I、II兩 個區(qū)域內存在向左運動的反射波。而在III區(qū)中則只存在向右 運動的透射波，不存在向左運動的反射波。 利用在X= a邊界上波函數及其導數連續(xù)的邊界條件，得 mEk2 1 )(2 02 VEmk ti e iEt e

11、/ikx e ikx e BkBkAkAk BBAA x 2211 21 21 : ) 0() 0( : ) 0() 0(, 0 aikaikaik ceeBBe aaax 122 :)()(, 32 16 aikaikaik cekekBek aa 122 122 32 :)()( 由此可得 A ekkekk akkki A A ekkekk ekk c aikaik aikaik ika 22 22 1 2 21 2 21 2 2 2 2 1 2 21 2 21 21 )()( sin)(2 )()( 4 易得到入射波、透射波和反射波的幾率流密度為： 2 1 2 1 2 1 * |,| |

12、 2 A k Jc k J A k dx d dx di J RD iiii 17 透射系數與反射系數為： 1 4sin)( sin)( 4sin)( 4 2 2 2 12 222 2 2 1 2 222 2 2 1 2 2 2 12 222 2 2 1 2 2 2 1 RD kkakkk akkk J J R kkakkk kk J J D R D 顯而易見： (2)EU0的情況： 此時方程為： axk axxk 0, 0 or0, 0 2 3 2 其中， 。在粒子從左方入射時有： )(2 0 3 EU k 18 axC axGF xBA x ikx xkxk ikxikx ,e 0,ee

13、0,ee )( 33 讓 和 在 x=0 和 x=a 處連續(xù),我們得到4個方程，從中可 以解出B、C、F、G對A的比。結果是： , 2)( )( 333 2 3 2 3 2 3 2 achkikkashkkk akshkk A B , 2)( e2 333 2 3 2 3 achkikkashkkk ikk A C ika ).e(e 2 1 ),e(e 2 1 xxxx chxshx 所以反射系數和透射系數分別是： , 4)( )( 2 3 2 3 22 2 3 2 3 22 2 3 2 2 2 kkakshkk akshkk A B R 19 . 4)( 4 2 3 2 3 22 2 3

14、2 2 3 2 2 2 kkakshkk kk A C D 討論： （1）R+D=1，即是幾率守恒。 （2）在E1成立（相當于E很?。?則 ak 3 1 1)( 16 1 1 4 1 )( 4 1 3 3 333 33 2 ,31 22 1 3 3 1 22 3 2 ak ak akakak akak ekk e k k k k D eeeaksh ee 當 20 aEU ak eD e k k k k D )(2 2 0 2 2 1 3 3 1 0 3 )( 16 式中 D0是常數，它的數量級接近于1。由此很容易看出，透射 系數隨勢壘的加寬或加高而減小。 對勢壘高 度（U0）、寬度（a）和粒

15、子能量（E）非常敏感。應用：隧道 二極管、掃描隧道顯微鏡、電子冷發(fā)射。 2 0 3 )(2aEU ak （4）對于任意形狀的勢壘U（x）: 右圖所示為一任意形狀的勢壘，我們 可以把這個勢壘看作是許多方形勢壘 組成的，每個方形勢壘寬為dx,高為 U(x)。能量為E的粒子在x=a處射入勢 壘U(x),在x=b處射出,即U(a)=U(b)=E。 0 a dx b x U(x) E 21 aEU eDD )(2 2 0 0 由式 可得粒子貫穿每個方形勢壘的透射系 數為： dxExU eDD )(2 2 0 貫穿勢壘U(x)的透射系數應等于貫穿所有這些方形勢壘的透射 系數之積，即 dxExU b a e

16、DD )(2 2 0 粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象，稱為隧道 效應。 22 3.4一維周期勢、能帶 周期勢： , 2, 1, 0),()(nxVnaxV 一、 Floquet定理： 在周期場中，薛定諤方程的能量本征有且僅有兩個 獨立的解1和2 ，并滿足下列性質： )()( )()( 222 111 xax xax 證明： 若(x)為薛定諤方程的能量本征函數,則(x+a)應為方程 對應于同一能量的解的本征函數。 設U1(X)、U2(X)為薛定諤方程的獨立能量本征函數，因二次 方程只有兩個獨立的解，故有： 23 )()()( )()()( 2221212 2121111 xUCxU

17、CaxU xUCxUCaxU 3.設(x)為周期場中同一能量的任意解: 0 )()( )()()()()( )()()( 2212 2111 2212 2111 2221212111 21 CC CC BBCAC ABCAC xax xUBCACxUBCACax xBUxAUx 它有解的條件是： 即 若 24 由此可求出的兩個根 12，并求出兩組A、B，使 )()( )()( 222 111 xax xax 二、Bloch定理周期性勢場中的波函數可以寫為如下形式： ),()(xex K iKx 其中是 周期函數：)(x K ).()(xax KK 這種形式的波函數稱為Bloch波。它可以看作是周期函數k(x) 調制的平面波exp(iKx) ，所以稱為Bloch波數。注意，與平面 波的波數不同，Bloch波數沒有的絕對意義，而且粒子的能量 和的關系也不是 。 2/ 22 KE 25 三、 周期性勢場中的能帶結構 周期性勢場的最重要的特征就是其中的能量允許值構成能 帶，它兼有離散譜和連續(xù)譜的特征。我們用一個例子來說明。 Kronig-Penney模型。這個模型中的周期性勢場是方勢阱 -勢壘。在第一個周期（0 xa）中， axbU bx xU ),0( 0, 0 )( 0 其它地方的U(X)按周期性條件外推。能量E選擇為0EU0。記 )(2 , 2 0 EUE k 那么方程是：