課題橢圓的定義和性質(zhì)-徐匯教育.doc

1、課題 3：雙曲線的定義和性質(zhì)（本課題適合于高一數(shù)學(xué)必修課）機(jī)型： 92-Plus教學(xué)過(guò)程：一、提出一個(gè)問(wèn)題前面我們已知道當(dāng)一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和等于定長(zhǎng)且此定長(zhǎng)大于定點(diǎn)間的距離時(shí)，這一點(diǎn)的軌跡為一個(gè)橢圓。兩個(gè)定點(diǎn) F1F2 不變，如果過(guò) F1 所作的圓，使得 F2 在圓之外，則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是什么？現(xiàn)在我們動(dòng)手做一個(gè)實(shí)驗(yàn)（教師與學(xué)生一起操作）：1修改橢圓的作法：兩個(gè)定點(diǎn)F1F2 不變，過(guò) F1 作一個(gè)圓，以一條線段的長(zhǎng)為半徑，使得F2 在圓外。（見(jiàn)圖 1）2在圓上任取一點(diǎn)P，作 PF2 的垂直平分線，再過(guò)F1P 作一條直線，這兩條直線相交于M 點(diǎn)。（見(jiàn)圖 2）（圖 1）（圖 2）3 請(qǐng)學(xué)生觀察

2、當(dāng) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， M 點(diǎn)的軌跡是什么？（見(jiàn)圖3）（圖 3）我們把這 M 點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。思考：你能否根據(jù)剛才的作圖，寫(xiě)出關(guān)于雙曲線的定義？把平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2 距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（常數(shù)小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、 F2 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離F1F2 叫做焦距。思考：你還能用什么方法畫(huà)出雙曲線？（參照橢圓的作法）例 1根據(jù)定義，條件是兩個(gè)定點(diǎn)，及一條線段AB （線段 AB 的長(zhǎng)小于兩個(gè)定點(diǎn)間距離）。步驟如下：1 在一個(gè)新的窗口中，作畫(huà)兩個(gè)點(diǎn)F1 、 F2 （F2 、1）2 過(guò) AB 兩點(diǎn)作一條直線，并在直線上任取一點(diǎn)P （ P 點(diǎn)取在線

3、段AB 外側(cè)）（見(jiàn)圖 4）3 以線段 PA 的長(zhǎng)為半徑，以F1 為圓心，作一個(gè)圓，再以PB 的長(zhǎng)為半徑，以F2 為圓心，作另一個(gè)圓（ F4 、8 Compass）。4 按 F2 、3 作出兩圓的交點(diǎn)M1、M2 。（見(jiàn)圖 5）（圖 4）（圖 5）5 可以按 F7 、1 隱藏不需要的線。6 按 F7 、2，將光標(biāo)指向M1 、 M2 ，然后按F7 、3 ，將光標(biāo)指向P ，并按住+ 方向鍵，當(dāng)P在線段 AB 移動(dòng)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)M1、 M2 的運(yùn)動(dòng)軌跡雙曲線。 （見(jiàn)圖 6）（圖 6）二、雙曲線的定義和推導(dǎo)雙曲線的方程（推導(dǎo)過(guò)程略）三、探究雙曲線的性質(zhì)a) 對(duì)稱性：討論方法可采用類似橢圓的討論方法（略）b)

4、 漸近線可在屏幕上按教材的方法作出這兩條直線。（略）c) 進(jìn)一步探討雙曲線的特性讓我們用 TI 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：a拖動(dòng) F2，增加或減少 F1、 F2 之間的距離時(shí)，觀察雙曲線的兩支張口的變化。你能根據(jù)看到變化，得出規(guī)律嗎？c這就是離心率 e在起作用。a計(jì)算離心率 ece 1。（見(jiàn)圖 7、8）的值。雙曲線的離心率a（圖 7）（圖 8）a 2b 雙曲線也有兩條準(zhǔn)線xc試探究一下：雙曲線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離之比是什么？練習(xí)：已知一條線段A1A2 、F 是線段 A1A2 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，直線l 垂直于線段A1A2 于 Q ，P1P2 是直線 l 上點(diǎn)且 P1F P2F ，連接 A1P1 、

5、A2P2 ，問(wèn)當(dāng) P1 在直線 l 上移動(dòng)時(shí)， M 點(diǎn)的軌跡是什么？你能寫(xiě)出這條直線的方程嗎？在 TI 計(jì)算器中的實(shí)現(xiàn)過(guò)程：i. 作一線段，且在線段上取 A1 、A2 、F（ F2、5; F2、2），再在 A1、 A2 之間取一點(diǎn) Q，過(guò) Q 點(diǎn)作線段A1A2 的垂線 l（ F4、 1 Perpendicular Line）。（見(jiàn)圖 9）ii. 在垂直線 l 上取一點(diǎn) P1（ F2、2），連接點(diǎn) P1 和點(diǎn) F（F2、5），再過(guò) F 點(diǎn)作線段P1F 的垂線（ F4、1 Perpendicular Line），交直線l 于 P2 。（見(jiàn)圖 10 ）（圖 9）（圖 10）iii.分別過(guò) A1 、P

6、1 和 A2 、P2 作兩條直線，相交于M 點(diǎn)。（見(jiàn)圖 11 ）iv.按（ F7、2 Trace On/Off ）對(duì) M 點(diǎn)設(shè)置顯示軌跡；對(duì)P1 點(diǎn)按（ F7、3 Animation ）并按住 +方向鍵。觀察M 點(diǎn)軌跡。（見(jiàn)圖 12 ）。（圖11 ）（圖12 ）發(fā)現(xiàn)： M 點(diǎn)軌跡為雙曲線，其中直線這也是關(guān)于雙曲線準(zhǔn)線的一個(gè)特性。l 即為雙曲線的準(zhǔn)線。有兩條。思考：1.x 2y 21（ a0， b0 ），F(xiàn)（ c，0 ）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)雙曲如果給定雙曲線2b 2a線上一點(diǎn) M 和頂點(diǎn)A1、 A2 的直線 M A1 、 MA2 分別交垂直于x 軸的一條直線l 于 P1、P2兩點(diǎn)，當(dāng) FP1FP2 時(shí)，你能求出這條直線 l 的方程式嗎？2.反之：如果已知直線l 是一條雙曲線的準(zhǔn)線，你能求證FP1FP2 嗎？3. 能否想象一下橢圓是否也有如此特性？4. 我們可以作哪些變化，使 M 點(diǎn)的軌跡為橢圓？上海市科技教育