采樣周期的選取

1、&1采樣周期的選取8-1-1采樣定理采樣定理也稱(chēng)香農(nóng)(Shannon定理，其結(jié)論如下：如果采樣角頻率 g(或頻率fj大于或等于2軸(或2論)，即 - 2 m(8-1)式中伽(或fm)是連續(xù)信號(hào)頻譜的上限頻率，見(jiàn)圖8-1,則經(jīng)采樣得到的脈沖序列能無(wú)失真的再恢復(fù)到原連續(xù)信號(hào).圖8-1連續(xù)信號(hào)頻譜從物理意義上來(lái)理解采樣定理那就是，如果選擇這樣一個(gè)采樣頻率，使得對(duì)連續(xù)信號(hào)所含的最高頻率來(lái)說(shuō)，能做到在 其一個(gè)周期內(nèi)采樣兩次以上，則在經(jīng)采樣獲得的脈沖序列中將包含連續(xù)信號(hào)的全部信息.反之，如果采樣次數(shù)太少，即采樣周期太長(zhǎng)，那就做不到無(wú)失真的再現(xiàn)原連續(xù)信號(hào).8-1-2采樣周期的選取采樣周期To是數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)

2、計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵因素，必須給以充分注意.工程實(shí)踐證明，采樣周期To根據(jù)表8-1給出的參考數(shù)據(jù)選取時(shí)，可以取得滿(mǎn)意的控制效果.對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，采樣周期的選取在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo).在一般情況下，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)具有低通濾波特性，當(dāng)隨動(dòng)系統(tǒng)輸入信號(hào)的頻率高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻率y時(shí),信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)將會(huì)很快衰減，而在隨動(dòng)系統(tǒng)中，一般可近似認(rèn)為，開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的剪切頻率g與閉環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的諧振頻率y相當(dāng)接近，即幅頻特性的諧振頻率 y.也就是說(shuō),通過(guò)隨動(dòng)系統(tǒng)的控制信號(hào)的最高頻率分量yc，超過(guò)y的分量通過(guò)系統(tǒng)時(shí)將被大幅度的衰減掉.根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率 y可選為y =

3、 10wc(8-2)考慮到To=2n/ y，則按式(8-2)選取的采樣周期To與系統(tǒng)剪切頻率 y的關(guān)系為兀1T0(8-3)從時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)看，采樣周期To通過(guò)單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr及調(diào)整時(shí)間ts可按下列經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式選取，即T0Sr10 (8-4)T。二丄ts40(8-5)8-2車(chē)號(hào)保持牛十T表8信號(hào)保持是指期離散的參考數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換成(或恢復(fù)到)連續(xù)信號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程.用于控制過(guò)程采樣周期(s)流量1壓力5液面5這種轉(zhuǎn)換過(guò)程的元件稱(chēng)為保持器.從數(shù)學(xué)意義上來(lái)講，保持器的任務(wù)是解決各采樣時(shí)刻之間的插值問(wèn)題.8-2-1零階保持器零階保持器是在數(shù)字控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的且具有常值外推功能的保持器，用符號(hào)H

4、o來(lái)表示.也就是說(shuō),對(duì)于零階保持器有下式成立，即；n%.- :- p(8-6)式中a為常值，n的變化范圍是0存To.顯然，在no時(shí)，式(8-6)也成立,這時(shí)有；n%_ :- o(8-7)由式(8-6)及(8-7)求得；nT0二；nT0，0 _ ： To(8-8)式(8-8)說(shuō)明零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器.它把前一個(gè)采樣時(shí)刻nTo的采樣值(0)不增不減的保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T0到來(lái)之前的一瞬間.當(dāng)下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)To到來(lái)時(shí)，應(yīng)以 n+1)T為常值繼續(xù)外推.也就是說(shuō),任何一個(gè)采樣時(shí)刻的采樣值只能作為常值保持到下一個(gè)相鄰的采樣時(shí)刻到來(lái)之前，其保持時(shí)間顯然是一個(gè)為采樣周期

5、To.零階保持器的輸出信號(hào) (t)如圖8-2所示，它是高度為1,寬度為T(mén)o的方脈沖.高度等零階保持器的時(shí)域特性gMt)如圖8-3(a)所不衰減;寬度等于To,說(shuō)明零階保持器對(duì)采樣值于1,說(shuō)明采樣值經(jīng)過(guò)保持器既只能不增不減地保持一個(gè)采樣周期鼻由圖求得零階保持器的傳遞函數(shù)Gh(s)為oS由式求得零階保持器的頻率響應(yīng)為1從圖8-2看到，經(jīng)由零階保持器轉(zhuǎn)換得的連續(xù)信號(hào) 訶.平均地看5i由零階保持器轉(zhuǎn)換得到的連續(xù)信號(hào)(圖8-2中的點(diǎn)劃線(xiàn)特性)在 時(shí)間上要遲后于采樣前的連續(xù)-(0尋至s勺連續(xù)信號(hào)具有階梯形狀，它并不等于采樣前(8-9)號(hào)-或表明，這個(gè)遲后時(shí)間等于采樣周期的一半，即To/2. o8-2-2

6、階保持器2一階保持器是一種基于兩個(gè)采樣值列F(t)的保持器.線(xiàn)性外推函數(shù)的斜率為(8-1o)式中n二皿;l(o)與n + 1)To按線(xiàn)性外推規(guī)律保持脈沖序o JzTol；，而外推函數(shù)值為n% * n-1Tol nTo= nTo-TonTo t (n+1)To.基于線(xiàn)性外推規(guī)律得到的一階保持器的輸出信號(hào)H(t)示于圖8-4.根據(jù)輸出信號(hào)H(t)可求取一階保持器的時(shí)域特性gH(t),并由時(shí)域特性gH(t)求得相應(yīng)的頻率響應(yīng)為、2 5sin2To2 的遲后相移較零階保持器的遲后相移為大，其平均相移 .因此,數(shù)字控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器.從式(8-12)可見(jiàn)，一階保持約等于零階保持器平均相-j 怦-

7、arctg 嵌)(8-14)(8-13)(8-15)8-3 Z變換8-3-1 Z變換1.設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可進(jìn)行拉氏變換，其象函數(shù)為X(s).考慮到t1則上式可寫(xiě)成下列閉式，即1 z = 1 z4 . Z，補(bǔ)-： z .11 -z4zZ -1(8-18)式(8-15)所示X(z)稱(chēng)為離散時(shí)間函數(shù)一脈沖序列x*(t)的Z變換，記為X(z)=Zx *(t).連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)與相應(yīng)的采樣脈沖序列x*(t)具有相同的Z變換，即Zxt ；=Z x t X z(8-16)2.求取離散時(shí)間函數(shù)一脈沖序列的變換有多種方法，下面舉例說(shuō)明其中的三種.(1)級(jí)數(shù)求和法將式(8-15)寫(xiě)成展開(kāi)形式，即X z

8、=x0 xT0 z4 x 2T0 z - x nT z因?yàn)槭街衂=Res所以條件|z|1意味著Z0這也就是單位階躍函數(shù)能進(jìn)行拉氏變換的條件Tosee；：To(2)部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)為復(fù)變量s的有理函數(shù)，并具有如下形式M sNT其中M(s)及N(s)分別為復(fù)變量s的多項(xiàng)式,并且有degM(s) degN(s)以及degN(s)=n.將X(s)展開(kāi)成部分分式和的形式，即X(s)八y s + s式中s N(s)的零點(diǎn)，即X(s)的極點(diǎn);N為常系數(shù);S矛由拉氏變換知，與 A/(s+s)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的原函數(shù) Aei t ，又根據(jù)式1丁0十1 -ezA 1+ s 一zz尹Azz-

9、eiT0便可求得因此，函數(shù)x(t)的Z變換由相函數(shù)X(s)求得為(8-20)例2.試求取具有拉氏變換為as(s+a)的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換.首先寫(xiě)出x(t)的拉氏變換X(s)的部分分式展開(kāi)式，即Z變換，即得連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的變換，即其次對(duì)上式逐項(xiàng)求取拉氏變換，得到 最后根據(jù)上列時(shí)間函數(shù)逐項(xiàng)寫(xiě)出響應(yīng)的X z令晟*fk(3)留數(shù)計(jì)算法已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換相函數(shù)X(s)及其全部極點(diǎn)Si(i=1,2,，則,x(t)的Z 變換可通過(guò)下列留數(shù)計(jì)算式求得，即res x Si k式中ri重極點(diǎn)s的個(gè)數(shù);n彼此不等的極點(diǎn)個(gè)數(shù).常用時(shí)間函數(shù)的Z變換及其相應(yīng)的拉氏變換列入表8-1.例3.試

10、求取連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)=丿t, t no的Z變換.解首先寫(xiě)出x(t)的拉氏變換，即1X(s) 2s由上式求得X(s)的重極點(diǎn)si=O,其個(gè)數(shù)r=2,以及n=1.其次根據(jù)式(8-22)求取的Z變換，即(8-23) 8-3-2 Z變換的基本定理(1) 線(xiàn)性定理1設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)1 sz變換分別為分別為0a為常數(shù)或與 =O2 1時(shí)間t及復(fù)變量乙則有Toz(8-24)(8-25)(8-27)Z x1 t -X2X1 z _X2 z式(8-24)及(8-25)所表達(dá)的便是Z變換的線(xiàn)性定理.(2) 遲后定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)當(dāng)t1式(8-27)所表達(dá)的便是Z變換的終值定理.8-3-3 Z反變換(1)

11、長(zhǎng)除法將連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換X(z)展開(kāi)成Z-1的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即X z =x 0 訐；xT0 zJ x 2T0 z2- - x nT0 z(8-28)設(shè)象函數(shù)X(z)為復(fù)變量z的有理函數(shù)，即式中M z弋滬bmzN z=a0 az a2z，亠亠akZ;k _ m.通過(guò)分子多項(xiàng)式M(z)除以分母多項(xiàng)式N(z)的長(zhǎng)除法,可得到具有式(8-28)所示形式的無(wú)窮級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)中z-n項(xiàng)系數(shù)x(nTo)(n=O,1,2,尸)將是采樣脈沖序列x*(t)的脈沖強(qiáng)度.因此,根據(jù)x(nT)(n=0,1,2，產(chǎn))便可寫(xiě)出原函數(shù)x*(t),即COx* t 八 x nT、t -nTn =0注意應(yīng)用長(zhǎng)除法求取式(8-2

12、8)所示無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式M(z)及N(z)均需寫(xiě)成z-1的升冪形式.例4試求取解由應(yīng)用長(zhǎng)除法求得的反變換x*(t).10zX z =-(z1lz2)X z =10z，30z，70z 150zz-1 z-21 -3z2z對(duì)照式(8-28)，由上得到X(0)=0X(T)=10X(2T0)=30X(3T)=70 因此，脈沖序列x*(t)可寫(xiě)成x t =10 t-T030 t-2T070、t-3T0150 t-4T0(2)部分分式法由已知的象函數(shù)X(z)求出極點(diǎn)Z1, Z2,，zn,再將X(z)/z展開(kāi)成部分分式和的形式，即x z Aiz y Z - Zj由X(z)/z求取X(z)的表達(dá)式X(z),

13、即n AzX z 八Z z最后,逐項(xiàng)的通過(guò)查Z變換表求取AjZ/(z-Zi)對(duì)應(yīng)的Z反變換，并根據(jù)這些反變換寫(xiě)出與象函數(shù)X(z)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)x*(t)，即(8-29)x t 八 Z 二-AZ :. tnT。n=0二一乙式中Z-1是對(duì)括號(hào)內(nèi)的象函數(shù)求Z反變換的符號(hào).的z反變換.試應(yīng)用部分分式法求取x(z)=7將原式展開(kāi)成部分分式和的形式，即10zz -1 z -2X z 1010;=+z z -1 z2X z - -10旦 10z1z2由上式求取，即通過(guò)查變換表，求得ZJZ最后,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為QOx t =10、-1 2n、t -nT。n=0其中xnT。=10-1 2n n =0,1,2,即

14、由此求得X(0)=0X(T)=10X(2T0)=30X(3T)=70(3) 留數(shù)計(jì)算法應(yīng)用留數(shù)及算法求取已知X(z)的Z反變換，首先求取x(nT)(n=0,1,2,即)， res X 制八 resX z zn4 1其中留數(shù)和可寫(xiě)為li乞 resX(z)、zn4=Wzz Ji X(-zn_1y 5 -1 ) dz式中Zi(i=1,2,為X(z)彼此不相等的極點(diǎn)，這些極點(diǎn)的總數(shù)為l; r,為重極點(diǎn)-的重復(fù)個(gè)數(shù).其次由求得的x(nT0)可寫(xiě)出與已知象函數(shù)X(z)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)一脈沖序列QOx t 八 x nT、t -nTn =0例6.試求取X(z)=z / (z- Y(z_1)2的Z反變換.解應(yīng)用留數(shù)

15、及算法求取X(z)的Z反變換.首先根據(jù)已知的X(z),通過(guò)式(8-30)計(jì)算出x(nT).為此，由 X(z)求得其極點(diǎn)為n=y及Z2=1,其中Z1為單極點(diǎn)，即h=1, z為二重極點(diǎn)，即2=2.由式(8-30)計(jì)算出n 1z -z =1z 1二二 z最后，求得已知X(z)的Z反變換為zX(nW)(zz=100 八 + n 習(xí)口 nT、8-4脈沖傳遞函數(shù)Gz0 門(mén)。脈沖傳遞函數(shù)的定義是，輸出脈沖的序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比.如 圖8-5所示開(kāi)環(huán)線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的連續(xù)部B分的脈沖傳Z I； “ t 廠；z脈沖傳遞函數(shù)G(z)可通過(guò)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)來(lái)求取.圖8-6所示為線(xiàn)性數(shù)字控

16、制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)方框圖的三種形式.其中Go(s)為前向通道傳遞函數(shù),H(s)為主反饋通道傳遞函數(shù)；圖(a)為單位反饋系統(tǒng)方框圖，圖(b)及(c)為非單位反饋 系統(tǒng)方框圖.下面分三種情況分析線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù).(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)同步采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)圖8-7(a)所示串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)同步采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)=c(z)/ (z由描述連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G(s)與G2(s)的乘積G(s)G2(s)來(lái)求取記為G z =zG|SG2sl = G-|G2 z(8-33)設(shè)二串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為Gds)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.求取它們之間無(wú)同步采樣

17、開(kāi)關(guān)隔離時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，按式(8-33)要求,首先計(jì)算G1 s G2 s -1 =1s 0.1s 1 s1s 10然后由G(z)=ZG1(s)G2(s)求得脈沖傳遞函數(shù)f1_40T xGSGGS仁1二金)對(duì)于圖(8-6)(a)所示單位反饋線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G z 二ZG。s z其中G(s)可以是若干(如m個(gè))無(wú)同步采樣開(kāi)關(guān)隔離的串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù).在這種情況下，開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)為G z 二ZU SG2 sGm sGm z(8-34)G z 二ZG。sH s IgH z對(duì)于圖(8-6)( b)所示非單位線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有同步采樣

18、開(kāi)關(guān)隔離時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)圖8-7(b)所示串聯(lián)環(huán)節(jié)間有同步采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)=c(z)/ (z等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)與G2(z)之積，即G z = G1 z G2 z(8-35)其中G(z)=ZG1(s)及G2(z) =ZG2(s)分別由相應(yīng)的傳遞函數(shù) G1(s)及G2(s)求取.設(shè)圖8-7(b)中的G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s按式(8-35)求取它們之間有同步采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，首先需計(jì)算10zGi Z Z G1 SioT0z-eG2 z = z Gi s 1z1然后由式(8-35)求得脈沖傳遞函數(shù)為G z = Gi z G

19、2 z10z2z-1 z-e0T。s的有理分式，故不能(8-36)對(duì)于圖8-6(c)所示非單位反饋線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)，由式(8-35)求得其開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G z=ZG0 s 丨 Z H s 丨-G。z H z其中若Go(s)為若干個(gè)環(huán)節(jié)無(wú)同步采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)的串聯(lián)傳遞函數(shù)，則相應(yīng)的Go(z)需按式(8-34)求取.(3)環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)設(shè)零階保持器的傳遞函數(shù)(1-&傾於以及另一串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G 2(s),它是復(fù)變量s的有理分式.顯然，在這種情況下，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)同步采樣開(kāi)關(guān)隔離.為求取總的脈沖傳遞函數(shù)，首先需要計(jì)算G s G11sG；ossQ2 Gss = 1一

20、弊少曇戶(hù)ssG1 s G2 s其中.由于不是復(fù)變量直接按式(8-33)來(lái)計(jì)算G1G2(z)，但由G SG2 s=：1 -eos G2 sig s -G2 seJos看出GsjGs)代表兩個(gè)時(shí)域特性的組合，其中G2(s)e-Tos是時(shí)域特性L-1g2(s)在具有時(shí)滯等于一個(gè)采樣周期To的遲后特性.因此，基于Z變換的遲后定理，求得環(huán)節(jié)G2(s)與零 階保持器串聯(lián)時(shí)總的脈沖傳遞函數(shù)為G )=&円蟲(chóng)匕仗卩22)遼匕2仗)G2(s。s】= zG2 s l-ZG2 s l- z，Z G2 s 1式中/s.設(shè)與零階保持器串聯(lián)的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為gk其中k與a為常量.按式(8-36)求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持

21、器串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)為8-4-2線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G z二典型線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖8-8所示.首先求取在控制信號(hào)r(t)作用下線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)從圖8-8可寫(xiě)出下列關(guān)系式：-z11 C(s)=Gf(s)G2(s)WWWe(s)(8-37)k： T0 -1 e0 z 1-eTo -：Toe：To 】：2 z-1 zdTo (s)=R(sY(s)由上列各式求得；s 二Rs G SG2 sH s ； s(8-38)其中(s)代表對(duì)偏差信號(hào) (進(jìn)行采樣所得脈沖序列的拉氏變換，也就是離散偏差的Z變換，即有；s(8-39)將式(8-39)代入式(8-38),并對(duì)式(

22、8-38)等號(hào)兩邊各項(xiàng)取Z變換，可得；z = R z - G1G2H z nz；z1R z _ 1G1G2H z由上式求得偏差信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(8-40)考慮到czCzGiG；Gzz z R z _ 1 G1G2H z由式(8-40)求出被控信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其次，求取在擾動(dòng)信號(hào)f(t)單獨(dú)作用下線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，從圖8-8可寫(xiě)出c z =G2 zF z G1G2 z ； zCz j怙2zzCzF z 1 G1G2 z H z由上列二式最終求得被控制信號(hào)對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為對(duì)于單位反饋線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)，由于，故式(8-40)(

23、8-42)分別變成例7. 試求取圖8-9所示線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù).圖中1 _ eos/s為零階保持器的傳遞函數(shù)；k/s(s+a為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，k與a均為常數(shù).z1Rz _1 GG zC zG1G2 zRz _1 G1G2 zC z =G2 zF z _1G1G2 zGz 川W 2耐T0解通過(guò)Z變換，根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G z 二Z G s 1= 1 zZ -一求取開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)由式(8-37)求得給定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為s qs + a )由于給定系統(tǒng)是單位反饋線(xiàn)性數(shù)字控制系 統(tǒng)，故由上式所示開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)式(8-43)及(8-44)可求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

24、為欽z) _c(2(z_i fz-e曲0 )R z _2z2 k :T0_1 e0_2 i e0z k 1 _ e_：丁0_ ：T0e：丁0*2一：丁018-5線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的時(shí)域分析C zk I To -1e：To z 1_/丁0 _ ： ToeE IR z _ ： 2z2k ：To_1e：To_：2ie：Toz k 1 _e=丁0_ ：Toe：To：2廠丁8-5-1線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程應(yīng)用Z變換方法分析線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)，需根據(jù)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)/R(z), 通過(guò)給定輸入信號(hào)的Z變換R(z)，求取被控制信號(hào)的Z變換C(z),最后經(jīng)Z反變換求取被 控制信號(hào)的脈沖序列c*(t).

25、 c*(t )代表線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程.基于超調(diào)量Z，調(diào)整時(shí)間ts=2To(入為大于零的整數(shù)，To為采樣周期)為穩(wěn)態(tài)誤差等項(xiàng)性能指標(biāo)，根據(jù)線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程c*(t)便可分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能.例8.試應(yīng)用Z變換方法分析圖所示線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng).已知r(t)=1(t)以及參數(shù)k=1, a=1及采樣周期T=1s.解 將已知參數(shù)k=1, a=1以及采樣周期T0=1sec代入在例得到的關(guān)于閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)z)/R(z),C(z)/R(z)的表達(dá)式求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為；zz2 -1.368z 0.368R z 一 z2 - z 0.632C z 0.368z 0

26、.264 2R z z -z 0.632求取給定系統(tǒng)r(t)=1(t)在作用下的單位階躍響應(yīng).為此將R(z)=z/(z-1)代入上列閉 環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)/R(z),求得被控制信號(hào)的Z變換 通過(guò)長(zhǎng)除法將C(z)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，即20.368z0.264zC(z)=0.368z-1 +z-2+1.4z?3+1.4z?4+1.147z5 +0.895乙6+0.802乙7+0.868乙8+0.993乙9+1.077z-10+1.081z-11 +1.032z-12+0.981z-13+0.961z-14+0.973z-15+0.997z-16+1.015乙17+1.017刃8+1.0072刃9

27、+0.996乙20+基于z變換定義，由上式求得被控制信號(hào)c(t)在各采樣時(shí)刻的函數(shù)值c(nT0)(n=0,1,2,為)C(0)=0C(7T0)=0.802C(14T0)0.961C(T0)=0.368C(8T0)=0.868C(15T0)=0.973C(2T)=1C(9T0)=0.993C(16T0)=0.997C(3T)=1.4C(10T0)=1.077C(17T0)=1.015C(4T)=1.4C(11T0)=1.081C(18T0)=1.017C(5T0)=1.147C(12T0)=1.032C(19T0)=1.0072C(6T0)=0.895C(13T0)=0.981C(20T0)=0

28、.996根據(jù)上列c(nTo)(n=O,1,2,數(shù)値繪制的給定線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c*(t)如圖8-10所示從圖求得給定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量Z=40%,調(diào)整時(shí)間ts- 12s(以誤差小于5%計(jì)算).8-5-2線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差可通過(guò)誤差系數(shù)和輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)在采樣時(shí)刻上的數(shù)值來(lái)求取設(shè)線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)理想單位脈沖8(t的響應(yīng)誤差為K*e(t)，則該系統(tǒng)響應(yīng)輸入脈沖序列的響應(yīng)誤差為cdr t 八 r nT0t - nT0e* (t )= r (0 K(t)+ r(T K； (t -T。)+ r(2T。K(t - 2T。) +r(nT K；(t

29、nT )+響應(yīng)誤差e (t)在采樣時(shí)刻的數(shù)值為enT 二r 0 K； n T r T K； n-1Tl-r 2T0 K；1-n -2 T 輛川 r nT K； 0-考慮到tr t在式(8-47)中，令 t=nT0 及 n=kT0,可得r (n -k T0 】=r(nTo )-kT r(nT )十丄(kT f r(nT0 ) 2!1丄(kTr(叭nT片m!將式(8-48)代入式(8-46),可得式中qQ I廣enTK； kT r nT -kTK； kT n%k=0 -1 kT 2K； kT ；nT -QO2 K； kTk=0-：1 m kT0 mKe kT0 r m nTGmK； kT9 少；術(shù)

30、0*；怖 -kTK；kT0 ； nTk =0QC(-im(kTmKe(kTo)kzP(8-50)系數(shù)Co,C!,C2,Cn,定義為線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的誤差系數(shù).從式(8-49)可見(jiàn)，在已知誤差系數(shù)以及輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)情況下，便可求出在采樣時(shí)刻nT。上系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)的數(shù)值ess(nTo).如果對(duì)于n=0,1,2, 各采樣時(shí)刻的 氐(0),氐(),es/2T), 都按式(8-49)計(jì)算出來(lái),則可寫(xiě)出線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*s/t)oOess 八 ess nT。、t _nT。n z0下面介紹通過(guò)線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)e(Z

31、)計(jì)算誤差系數(shù)的方法.設(shè)12k悄 e Z =- :Z上=2Z亠 j：kZ(8-51)由于Z-1e(z)=K *t),故對(duì)上式取反變換，得到Ke t 0、t s t-T。： 2、t-2T。:kt -kT:廠 Ke kT0k =0,1,2,(8-52)式中將z =eTs代入式(8-51),可得：；Je Z Z/s -e S _：至* * :仝嘰心爪冷 取上式對(duì)s的各階導(dǎo)數(shù)，得到de s = _t0 l*磚-2-2eT0s 33eT0s ：kes 丨ds在上列各式中，令 s=0可得-er-T0：-1eJ0s J2：/ 飛2：% k2ke0s 丨dsa-.討二-1 mT0me*學(xué)口卞齊為一代齊_飛占皿

32、1 ds同理求得：Je 0戸：-0*2 亠 亠九QO八 Ke kTk=0d;(s【dss=0oOkTKe kTk=0dfe(s：dss -0八-1m kTo mKe kT0kO(8-53) 對(duì)比式(8-53)與式(8-50),求得mds(8-54) 式(8-53)便是計(jì)算線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)誤差系數(shù)的比較實(shí)用的關(guān)系式.例9.試應(yīng)用誤差系數(shù)法求取圖8-9所示單位反饋線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)在參數(shù) k=1, al 及采樣周期To=1s情況下響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差.解 從例8求得圖8-9所示單位反饋線(xiàn)性數(shù)字控制系統(tǒng)在給定參數(shù)下的閉環(huán)誤差脈沖 傳遞函數(shù)為 、E(z) z2 1.368z +0.3

33、68eR(z)z2-z +0.632將T0s 及T=1代入上式，求得z =e冷和 E(z)e2s1.368es+0.368je z2s R(z)e-es+0.632根據(jù)O*e(s)及其導(dǎo)數(shù)d O*e(s)/ds, cPo*e(s)/ds2,由式(8-54)分別求得誤差系數(shù)5,6及c為C0 = 0C1 = 1 C2 = 1最后根據(jù)式(8-49)求得穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)在各采樣時(shí)刻上的數(shù)值 從上式可見(jiàn)，給定系統(tǒng)響應(yīng)r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差esstn 0.5、t - nn =0,1,2,，二n=0為離散時(shí)間nT(T=1s)的函數(shù),它說(shuō)明穩(wěn)態(tài)誤差是隨時(shí)間的推移在增大，當(dāng)t-x時(shí)，穩(wěn)態(tài) 誤差值e*

34、s/ x) s.&6 最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1.在采樣過(guò)程中，通常稱(chēng)一個(gè)采樣周期為一拍.在典型控制信號(hào)作用下，在各采樣時(shí) 刻上無(wú)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差，且能在有限個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束響應(yīng)過(guò)程從而完全跟蹤控制信號(hào) 的離散系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng)，稱(chēng)為最少拍或有限拍系統(tǒng).典型控制信號(hào)，如位置階躍，勻速與勻加速信號(hào)的Z變換分別為Z1t&丿T2z1 zJ1 32（1-z）essilim 1-z1 z R z-z=lim 1 -z 1 e z 0（1：Z =1：e ZC(z)=Q(z) R(z)其一般形式可寫(xiě)成(8-55)其中a(z)為不含因子(1-z-1)的以z-1為變量的多項(xiàng)式.從最少拍系統(tǒng)相應(yīng)控制信號(hào)，即 (5-5

35、5)無(wú)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差，即(8-56 )角度要求閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)e(Z )具有(1-Z-1)v的因子.設(shè)(8-56)其中0 (Z是在Z=1處既無(wú)極點(diǎn)也無(wú)零點(diǎn)的Z-1有理分式.對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，有(8-57)因此由(8-58)求得線(xiàn)性離散系統(tǒng)輸出c(t)的Z變換為C Z = 1 e Z 1 R Z C(z)= R(z)A(zF(z)(8-59)將式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60)從式(8-58)或(8-59)看出，為滿(mǎn)足線(xiàn)性離散系統(tǒng)響應(yīng)典型控制信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程在最少化 Z -Z4 拍內(nèi)結(jié)束從而達(dá)到完全跟蹤控制信號(hào)的要求，需使系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Oe(z )及(z所含Z-1項(xiàng)數(shù)最少.在式(8-56)中,若取0(z=1,便能滿(mǎn)足上述要求.這時(shí)，由式(8-56)及(8-57),可得(8-61)(8-62)這便是以無(wú)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差且在最少拍內(nèi)結(jié)束響應(yīng)過(guò)程從而完全跟蹤控制輸入為標(biāo)志的 最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，其中幕指數(shù)與系統(tǒng)響應(yīng)控制輸入的類(lèi)型有關(guān)，例如相應(yīng)位置階躍，勻速與勻加速輸入時(shí)，V分別取1 , 2, 3.2.下面分析最少拍系統(tǒng)相應(yīng)位置階躍，勻速與勻加速等典型輸入時(shí)的情況.Z =1 一 1 Z八(1) 當(dāng) r(t)=1(t)，即1R zj 二1 z 二 亠 亠 z1 -Z其中A(z)=1及v =，取