采樣周期的選取

1、&1采樣周期的選取8-1-1采樣定理采樣定理也稱香農(nóng)(Shannon定理，其結(jié)論如下：如果采樣角頻率 g(或頻率fj大于或等于2軸(或2論)，即 - 2 m(8-1)式中伽(或fm)是連續(xù)信號頻譜的上限頻率，見圖8-1,則經(jīng)采樣得到的脈沖序列能無失真的再恢復(fù)到原連續(xù)信號.圖8-1連續(xù)信號頻譜從物理意義上來理解采樣定理那就是，如果選擇這樣一個采樣頻率，使得對連續(xù)信號所含的最高頻率來說，能做到在 其一個周期內(nèi)采樣兩次以上，則在經(jīng)采樣獲得的脈沖序列中將包含連續(xù)信號的全部信息.反之，如果采樣次數(shù)太少，即采樣周期太長，那就做不到無失真的再現(xiàn)原連續(xù)信號.8-1-2采樣周期的選取采樣周期To是數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)

2、計的一個關(guān)鍵因素，必須給以充分注意.工程實踐證明，采樣周期To根據(jù)表8-1給出的參考數(shù)據(jù)選取時，可以取得滿意的控制效果.對于隨動系統(tǒng)，采樣周期的選取在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo).在一般情況下，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)具有低通濾波特性，當(dāng)隨動系統(tǒng)輸入信號的頻率高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻率y時,信號通過系統(tǒng)將會很快衰減，而在隨動系統(tǒng)中，一般可近似認為，開環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的剪切頻率g與閉環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的諧振頻率y相當(dāng)接近，即幅頻特性的諧振頻率 y.也就是說,通過隨動系統(tǒng)的控制信號的最高頻率分量yc，超過y的分量通過系統(tǒng)時將被大幅度的衰減掉.根據(jù)工程實踐經(jīng)驗，隨動系統(tǒng)的采樣頻率 y可選為y =

3、 10wc(8-2)考慮到To=2n/ y，則按式(8-2)選取的采樣周期To與系統(tǒng)剪切頻率 y的關(guān)系為兀1T0(8-3)從時域性能指標(biāo)來看，采樣周期To通過單位階躍響應(yīng)的上升時間tr及調(diào)整時間ts可按下列經(jīng)驗關(guān)系式選取，即T0Sr10 (8-4)T。二丄ts40(8-5)8-2車號保持牛十T表8信號保持是指期離散的參考數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換成(或恢復(fù)到)連續(xù)信號的轉(zhuǎn)換過程.用于控制過程采樣周期(s)流量1壓力5液面5這種轉(zhuǎn)換過程的元件稱為保持器.從數(shù)學(xué)意義上來講，保持器的任務(wù)是解決各采樣時刻之間的插值問題.8-2-1零階保持器零階保持器是在數(shù)字控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的且具有常值外推功能的保持器，用符號H

4、o來表示.也就是說,對于零階保持器有下式成立，即；n%.- :- p(8-6)式中a為常值，n的變化范圍是0存To.顯然，在no時，式(8-6)也成立,這時有；n%_ :- o(8-7)由式(8-6)及(8-7)求得；nT0二；nT0，0 _ ： To(8-8)式(8-8)說明零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器.它把前一個采樣時刻nTo的采樣值(0)不增不減的保持到下一個采樣時刻(n+1)T0到來之前的一瞬間.當(dāng)下一個采樣時刻(n+1)To到來時，應(yīng)以 n+1)T為常值繼續(xù)外推.也就是說,任何一個采樣時刻的采樣值只能作為常值保持到下一個相鄰的采樣時刻到來之前，其保持時間顯然是一個為采樣周期

5、To.零階保持器的輸出信號 (t)如圖8-2所示，它是高度為1,寬度為To的方脈沖.高度等零階保持器的時域特性gMt)如圖8-3(a)所不衰減;寬度等于To,說明零階保持器對采樣值于1,說明采樣值經(jīng)過保持器既只能不增不減地保持一個采樣周期鼻由圖求得零階保持器的傳遞函數(shù)Gh(s)為oS由式求得零階保持器的頻率響應(yīng)為1從圖8-2看到，經(jīng)由零階保持器轉(zhuǎn)換得的連續(xù)信號 訶.平均地看5i由零階保持器轉(zhuǎn)換得到的連續(xù)信號(圖8-2中的點劃線特性)在 時間上要遲后于采樣前的連續(xù)-(0尋至s勺連續(xù)信號具有階梯形狀，它并不等于采樣前(8-9)號-或表明，這個遲后時間等于采樣周期的一半，即To/2. o8-2-2

6、階保持器2一階保持器是一種基于兩個采樣值列F(t)的保持器.線性外推函數(shù)的斜率為(8-1o)式中n二皿;l(o)與n + 1)To按線性外推規(guī)律保持脈沖序o JzTol；，而外推函數(shù)值為n% * n-1Tol nTo= nTo-TonTo t (n+1)To.基于線性外推規(guī)律得到的一階保持器的輸出信號H(t)示于圖8-4.根據(jù)輸出信號H(t)可求取一階保持器的時域特性gH(t),并由時域特性gH(t)求得相應(yīng)的頻率響應(yīng)為、2 5sin2To2 的遲后相移較零階保持器的遲后相移為大，其平均相移 .因此,數(shù)字控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器.從式(8-12)可見，一階保持約等于零階保持器平均相-j 怦-

7、arctg 嵌)(8-14)(8-13)(8-15)8-3 Z變換8-3-1 Z變換1.設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)可進行拉氏變換，其象函數(shù)為X(s).考慮到t1則上式可寫成下列閉式，即1 z = 1 z4 . Z，補-： z .11 -z4zZ -1(8-18)式(8-15)所示X(z)稱為離散時間函數(shù)一脈沖序列x*(t)的Z變換，記為X(z)=Zx *(t).連續(xù)時間函數(shù)x(t)與相應(yīng)的采樣脈沖序列x*(t)具有相同的Z變換，即Zxt ；=Z x t X z(8-16)2.求取離散時間函數(shù)一脈沖序列的變換有多種方法，下面舉例說明其中的三種.(1)級數(shù)求和法將式(8-15)寫成展開形式，即X z

8、=x0 xT0 z4 x 2T0 z - x nT z因為式中Z=Res所以條件|z|1意味著Z0這也就是單位階躍函數(shù)能進行拉氏變換的條件Tosee；：To(2)部分分式法設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)為復(fù)變量s的有理函數(shù)，并具有如下形式M sNT其中M(s)及N(s)分別為復(fù)變量s的多項式,并且有degM(s) degN(s)以及degN(s)=n.將X(s)展開成部分分式和的形式，即X(s)八y s + s式中s N(s)的零點，即X(s)的極點;N為常系數(shù);S矛由拉氏變換知，與 A/(s+s)項對應(yīng)的原函數(shù) Aei t ，又根據(jù)式1丁0十1 -ezA 1+ s 一zz尹Azz-

9、eiT0便可求得因此，函數(shù)x(t)的Z變換由相函數(shù)X(s)求得為(8-20)例2.試求取具有拉氏變換為as(s+a)的連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換.首先寫出x(t)的拉氏變換X(s)的部分分式展開式，即Z變換，即得連續(xù)時間函數(shù)x(t)的變換，即其次對上式逐項求取拉氏變換，得到 最后根據(jù)上列時間函數(shù)逐項寫出響應(yīng)的X z令晟*fk(3)留數(shù)計算法已知連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換相函數(shù)X(s)及其全部極點Si(i=1,2,，則,x(t)的Z 變換可通過下列留數(shù)計算式求得，即res x Si k式中ri重極點s的個數(shù);n彼此不等的極點個數(shù).常用時間函數(shù)的Z變換及其相應(yīng)的拉氏變換列入表8-1.例3.試

10、求取連續(xù)時間函數(shù)x(t)=丿t, t no的Z變換.解首先寫出x(t)的拉氏變換，即1X(s) 2s由上式求得X(s)的重極點si=O,其個數(shù)r=2,以及n=1.其次根據(jù)式(8-22)求取的Z變換，即(8-23) 8-3-2 Z變換的基本定理(1) 線性定理1設(shè)連續(xù)時間函數(shù)1 sz變換分別為分別為0a為常數(shù)或與 =O2 1時間t及復(fù)變量乙則有Toz(8-24)(8-25)(8-27)Z x1 t -X2X1 z _X2 z式(8-24)及(8-25)所表達的便是Z變換的線性定理.(2) 遲后定理設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)當(dāng)t1式(8-27)所表達的便是Z變換的終值定理.8-3-3 Z反變換(1)

11、長除法將連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換X(z)展開成Z-1的無窮級數(shù)，即X z =x 0 訐；xT0 zJ x 2T0 z2- - x nT0 z(8-28)設(shè)象函數(shù)X(z)為復(fù)變量z的有理函數(shù)，即式中M z弋滬bmzN z=a0 az a2z，亠亠akZ;k _ m.通過分子多項式M(z)除以分母多項式N(z)的長除法,可得到具有式(8-28)所示形式的無窮級數(shù).級數(shù)中z-n項系數(shù)x(nTo)(n=O,1,2,尸)將是采樣脈沖序列x*(t)的脈沖強度.因此,根據(jù)x(nT)(n=0,1,2，產(chǎn))便可寫出原函數(shù)x*(t),即COx* t 八 x nT、t -nTn =0注意應(yīng)用長除法求取式(8-2

12、8)所示無窮級數(shù)時，多項式M(z)及N(z)均需寫成z-1的升冪形式.例4試求取解由應(yīng)用長除法求得的反變換x*(t).10zX z =-(z1lz2)X z =10z，30z，70z 150zz-1 z-21 -3z2z對照式(8-28)，由上得到X(0)=0X(T)=10X(2T0)=30X(3T)=70 因此，脈沖序列x*(t)可寫成x t =10 t-T030 t-2T070、t-3T0150 t-4T0(2)部分分式法由已知的象函數(shù)X(z)求出極點Z1, Z2,，zn,再將X(z)/z展開成部分分式和的形式，即x z Aiz y Z - Zj由X(z)/z求取X(z)的表達式X(z),

13、即n AzX z 八Z z最后,逐項的通過查Z變換表求取AjZ/(z-Zi)對應(yīng)的Z反變換，并根據(jù)這些反變換寫出與象函數(shù)X(z)對應(yīng)的原函數(shù)x*(t)，即(8-29)x t 八 Z 二-AZ :. tnT。n=0二一乙式中Z-1是對括號內(nèi)的象函數(shù)求Z反變換的符號.的z反變換.試應(yīng)用部分分式法求取x(z)=7將原式展開成部分分式和的形式，即10zz -1 z -2X z 1010;=+z z -1 z2X z - -10旦 10z1z2由上式求取，即通過查變換表，求得ZJZ最后,寫出對應(yīng)的原函數(shù)為QOx t =10、-1 2n、t -nT。n=0其中xnT。=10-1 2n n =0,1,2,即

14、由此求得X(0)=0X(T)=10X(2T0)=30X(3T)=70(3) 留數(shù)計算法應(yīng)用留數(shù)及算法求取已知X(z)的Z反變換，首先求取x(nT)(n=0,1,2,即)， res X 制八 resX z zn4 1其中留數(shù)和可寫為li乞 resX(z)、zn4=Wzz Ji X(-zn_1y 5 -1 ) dz式中Zi(i=1,2,為X(z)彼此不相等的極點，這些極點的總數(shù)為l; r,為重極點-的重復(fù)個數(shù).其次由求得的x(nT0)可寫出與已知象函數(shù)X(z)對應(yīng)的原函數(shù)一脈沖序列QOx t 八 x nT、t -nTn =0例6.試求取X(z)=z / (z- Y(z_1)2的Z反變換.解應(yīng)用留數(shù)

15、及算法求取X(z)的Z反變換.首先根據(jù)已知的X(z),通過式(8-30)計算出x(nT).為此，由 X(z)求得其極點為n=y及Z2=1,其中Z1為單極點，即h=1, z為二重極點，即2=2.由式(8-30)計算出n 1z -z =1z 1二二 z最后，求得已知X(z)的Z反變換為zX(nW)(zz=100 八 + n 習(xí)口 nT、8-4脈沖傳遞函數(shù)Gz0 門。脈沖傳遞函數(shù)的定義是，輸出脈沖的序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比.如 圖8-5所示開環(huán)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的連續(xù)部B分的脈沖傳Z I； “ t 廠；z脈沖傳遞函數(shù)G(z)可通過連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)來求取.圖8-6所示為線性數(shù)字控

16、制系統(tǒng)開環(huán)方框圖的三種形式.其中Go(s)為前向通道傳遞函數(shù),H(s)為主反饋通道傳遞函數(shù)；圖(a)為單位反饋系統(tǒng)方框圖，圖(b)及(c)為非單位反饋 系統(tǒng)方框圖.下面分三種情況分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù).(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無同步采樣開關(guān)隔離時的脈沖傳遞函數(shù)圖8-7(a)所示串聯(lián)環(huán)節(jié)間無同步采樣開關(guān)隔離時，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)=c(z)/ (z由描述連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G(s)與G2(s)的乘積G(s)G2(s)來求取記為G z =zG|SG2sl = G-|G2 z(8-33)設(shè)二串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為Gds)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.求取它們之間無同步采樣

17、開關(guān)隔離時的脈沖傳遞函數(shù)，按式(8-33)要求,首先計算G1 s G2 s -1 =1s 0.1s 1 s1s 10然后由G(z)=ZG1(s)G2(s)求得脈沖傳遞函數(shù)f1_40T xGSGGS仁1二金)對于圖(8-6)(a)所示單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G z 二ZG。s z其中G(s)可以是若干(如m個)無同步采樣開關(guān)隔離的串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù).在這種情況下，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)為G z 二ZU SG2 sGm sGm z(8-34)G z 二ZG。sH s IgH z對于圖(8-6)( b)所示非單位線性數(shù)字控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有同步采樣

18、開關(guān)隔離時的脈沖傳遞函數(shù)圖8-7(b)所示串聯(lián)環(huán)節(jié)間有同步采樣開關(guān)隔離時，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)=c(z)/ (z等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)與G2(z)之積，即G z = G1 z G2 z(8-35)其中G(z)=ZG1(s)及G2(z) =ZG2(s)分別由相應(yīng)的傳遞函數(shù) G1(s)及G2(s)求取.設(shè)圖8-7(b)中的G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s按式(8-35)求取它們之間有同步采樣開關(guān)隔離時的脈沖傳遞函數(shù)，首先需計算10zGi Z Z G1 SioT0z-eG2 z = z Gi s 1z1然后由式(8-35)求得脈沖傳遞函數(shù)為G z = Gi z G

19、2 z10z2z-1 z-e0T。s的有理分式，故不能(8-36)對于圖8-6(c)所示非單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)，由式(8-35)求得其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G z=ZG0 s 丨 Z H s 丨-G。z H z其中若Go(s)為若干個環(huán)節(jié)無同步采樣開關(guān)隔離時的串聯(lián)傳遞函數(shù)，則相應(yīng)的Go(z)需按式(8-34)求取.(3)環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)設(shè)零階保持器的傳遞函數(shù)(1-&傾於以及另一串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G 2(s),它是復(fù)變量s的有理分式.顯然，在這種情況下，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無同步采樣開關(guān)隔離.為求取總的脈沖傳遞函數(shù)，首先需要計算G s G11sG；ossQ2 Gss = 1一

20、弊少曇戶ssG1 s G2 s其中.由于不是復(fù)變量直接按式(8-33)來計算G1G2(z)，但由G SG2 s=：1 -eos G2 sig s -G2 seJos看出GsjGs)代表兩個時域特性的組合，其中G2(s)e-Tos是時域特性L-1g2(s)在具有時滯等于一個采樣周期To的遲后特性.因此，基于Z變換的遲后定理，求得環(huán)節(jié)G2(s)與零 階保持器串聯(lián)時總的脈沖傳遞函數(shù)為G )=&円蟲匕仗卩22)遼匕2仗)G2(s。s】= zG2 s l-ZG2 s l- z，Z G2 s 1式中/s.設(shè)與零階保持器串聯(lián)的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為gk其中k與a為常量.按式(8-36)求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持

21、器串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)為8-4-2線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G z二典型線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖8-8所示.首先求取在控制信號r(t)作用下線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)從圖8-8可寫出下列關(guān)系式：-z11 C(s)=Gf(s)G2(s)WWWe(s)(8-37)k： T0 -1 e0 z 1-eTo -：Toe：To 】：2 z-1 zdTo (s)=R(sY(s)由上列各式求得；s 二Rs G SG2 sH s ； s(8-38)其中(s)代表對偏差信號 (進行采樣所得脈沖序列的拉氏變換，也就是離散偏差的Z變換，即有；s(8-39)將式(8-39)代入式(8-38),并對式(

22、8-38)等號兩邊各項取Z變換，可得；z = R z - G1G2H z nz；z1R z _ 1G1G2H z由上式求得偏差信號對于控制信號的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(8-40)考慮到czCzGiG；Gzz z R z _ 1 G1G2H z由式(8-40)求出被控信號對于控制信號的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其次，求取在擾動信號f(t)單獨作用下線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，從圖8-8可寫出c z =G2 zF z G1G2 z ； zCz j怙2zzCzF z 1 G1G2 z H z由上列二式最終求得被控制信號對于擾動信號的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為對于單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)，由于，故式(8-40)(

23、8-42)分別變成例7. 試求取圖8-9所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù).圖中1 _ eos/s為零階保持器的傳遞函數(shù)；k/s(s+a為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，k與a均為常數(shù).z1Rz _1 GG zC zG1G2 zRz _1 G1G2 zC z =G2 zF z _1G1G2 zGz 川W 2耐T0解通過Z變換，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G z 二Z G s 1= 1 zZ -一求取開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)由式(8-37)求得給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為s qs + a )由于給定系統(tǒng)是單位反饋線性數(shù)字控制系 統(tǒng)，故由上式所示開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)式(8-43)及(8-44)可求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

24、為欽z) _c(2(z_i fz-e曲0 )R z _2z2 k :T0_1 e0_2 i e0z k 1 _ e_：丁0_ ：T0e：丁0*2一：丁018-5線性數(shù)字控制系統(tǒng)的時域分析C zk I To -1e：To z 1_/丁0 _ ： ToeE IR z _ ： 2z2k ：To_1e：To_：2ie：Toz k 1 _e=丁0_ ：Toe：To：2廠丁8-5-1線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過程應(yīng)用Z變換方法分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)，需根據(jù)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)/R(z), 通過給定輸入信號的Z變換R(z)，求取被控制信號的Z變換C(z),最后經(jīng)Z反變換求取被 控制信號的脈沖序列c*(t).

25、 c*(t )代表線性數(shù)字控制系統(tǒng)對給定輸入信號的響應(yīng)過程.基于超調(diào)量Z，調(diào)整時間ts=2To(入為大于零的整數(shù)，To為采樣周期)為穩(wěn)態(tài)誤差等項性能指標(biāo)，根據(jù)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過程c*(t)便可分析系統(tǒng)的動態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能.例8.試應(yīng)用Z變換方法分析圖所示線性數(shù)字控制系統(tǒng).已知r(t)=1(t)以及參數(shù)k=1, a=1及采樣周期T=1s.解 將已知參數(shù)k=1, a=1以及采樣周期T0=1sec代入在例得到的關(guān)于閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)z)/R(z),C(z)/R(z)的表達式求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為；zz2 -1.368z 0.368R z 一 z2 - z 0.632C z 0.368z 0

26、.264 2R z z -z 0.632求取給定系統(tǒng)r(t)=1(t)在作用下的單位階躍響應(yīng).為此將R(z)=z/(z-1)代入上列閉 環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)/R(z),求得被控制信號的Z變換 通過長除法將C(z)展成無窮級數(shù)形式，即20.368z0.264zC(z)=0.368z-1 +z-2+1.4z?3+1.4z?4+1.147z5 +0.895乙6+0.802乙7+0.868乙8+0.993乙9+1.077z-10+1.081z-11 +1.032z-12+0.981z-13+0.961z-14+0.973z-15+0.997z-16+1.015乙17+1.017刃8+1.0072刃9

27、+0.996乙20+基于z變換定義，由上式求得被控制信號c(t)在各采樣時刻的函數(shù)值c(nT0)(n=0,1,2,為)C(0)=0C(7T0)=0.802C(14T0)0.961C(T0)=0.368C(8T0)=0.868C(15T0)=0.973C(2T)=1C(9T0)=0.993C(16T0)=0.997C(3T)=1.4C(10T0)=1.077C(17T0)=1.015C(4T)=1.4C(11T0)=1.081C(18T0)=1.017C(5T0)=1.147C(12T0)=1.032C(19T0)=1.0072C(6T0)=0.895C(13T0)=0.981C(20T0)=0

28、.996根據(jù)上列c(nTo)(n=O,1,2,數(shù)値繪制的給定線性數(shù)字控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c*(t)如圖8-10所示從圖求得給定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量Z=40%,調(diào)整時間ts- 12s(以誤差小于5%計算).8-5-2線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差可通過誤差系數(shù)和輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)在采樣時刻上的數(shù)值來求取設(shè)線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)理想單位脈沖8(t的響應(yīng)誤差為K*e(t)，則該系統(tǒng)響應(yīng)輸入脈沖序列的響應(yīng)誤差為cdr t 八 r nT0t - nT0e* (t )= r (0 K(t)+ r(T K； (t -T。)+ r(2T。K(t - 2T。) +r(nT K；(t

29、nT )+響應(yīng)誤差e (t)在采樣時刻的數(shù)值為enT 二r 0 K； n T r T K； n-1Tl-r 2T0 K；1-n -2 T 輛川 r nT K； 0-考慮到tr t在式(8-47)中，令 t=nT0 及 n=kT0,可得r (n -k T0 】=r(nTo )-kT r(nT )十丄(kT f r(nT0 ) 2!1丄(kTr(叭nT片m!將式(8-48)代入式(8-46),可得式中qQ I廣enTK； kT r nT -kTK； kT n%k=0 -1 kT 2K； kT ；nT -QO2 K； kTk=0-：1 m kT0 mKe kT0 r m nTGmK； kT9 少；術(shù)

30、0*；怖 -kTK；kT0 ； nTk =0QC(-im(kTmKe(kTo)kzP(8-50)系數(shù)Co,C!,C2,Cn,定義為線性數(shù)字控制系統(tǒng)的誤差系數(shù).從式(8-49)可見，在已知誤差系數(shù)以及輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)情況下，便可求出在采樣時刻nT。上系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)的數(shù)值ess(nTo).如果對于n=0,1,2, 各采樣時刻的 氐(0),氐(),es/2T), 都按式(8-49)計算出來,則可寫出線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*s/t)oOess 八 ess nT。、t _nT。n z0下面介紹通過線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)e(Z

31、)計算誤差系數(shù)的方法.設(shè)12k悄 e Z =- :Z上=2Z亠 j：kZ(8-51)由于Z-1e(z)=K *t),故對上式取反變換，得到Ke t 0、t s t-T。： 2、t-2T。:kt -kT:廠 Ke kT0k =0,1,2,(8-52)式中將z =eTs代入式(8-51),可得：；Je Z Z/s -e S _：至* * :仝嘰心爪冷 取上式對s的各階導(dǎo)數(shù)，得到de s = _t0 l*磚-2-2eT0s 33eT0s ：kes 丨ds在上列各式中，令 s=0可得-er-T0：-1eJ0s J2：/ 飛2：% k2ke0s 丨dsa-.討二-1 mT0me*學(xué)口卞齊為一代齊_飛占皿

32、1 ds同理求得：Je 0戸：-0*2 亠 亠九QO八 Ke kTk=0d;(s【dss=0oOkTKe kTk=0dfe(s：dss -0八-1m kTo mKe kT0kO(8-53) 對比式(8-53)與式(8-50),求得mds(8-54) 式(8-53)便是計算線性數(shù)字控制系統(tǒng)誤差系數(shù)的比較實用的關(guān)系式.例9.試應(yīng)用誤差系數(shù)法求取圖8-9所示單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)在參數(shù) k=1, al 及采樣周期To=1s情況下響應(yīng)輸入信號r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差.解 從例8求得圖8-9所示單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)在給定參數(shù)下的閉環(huán)誤差脈沖 傳遞函數(shù)為 、E(z) z2 1.368z +0.3

33、68eR(z)z2-z +0.632將T0s 及T=1代入上式，求得z =e冷和 E(z)e2s1.368es+0.368je z2s R(z)e-es+0.632根據(jù)O*e(s)及其導(dǎo)數(shù)d O*e(s)/ds, cPo*e(s)/ds2,由式(8-54)分別求得誤差系數(shù)5,6及c為C0 = 0C1 = 1 C2 = 1最后根據(jù)式(8-49)求得穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)在各采樣時刻上的數(shù)值 從上式可見，給定系統(tǒng)響應(yīng)r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差esstn 0.5、t - nn =0,1,2,，二n=0為離散時間nT(T=1s)的函數(shù),它說明穩(wěn)態(tài)誤差是隨時間的推移在增大，當(dāng)t-x時，穩(wěn)態(tài) 誤差值e*

34、s/ x) s.&6 最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1.在采樣過程中，通常稱一個采樣周期為一拍.在典型控制信號作用下，在各采樣時 刻上無穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差，且能在有限個采樣周期內(nèi)結(jié)束響應(yīng)過程從而完全跟蹤控制信號 的離散系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng)，稱為最少拍或有限拍系統(tǒng).典型控制信號，如位置階躍，勻速與勻加速信號的Z變換分別為Z1t&丿T2z1 zJ1 32（1-z）essilim 1-z1 z R z-z=lim 1 -z 1 e z 0（1：Z =1：e ZC(z)=Q(z) R(z)其一般形式可寫成(8-55)其中a(z)為不含因子(1-z-1)的以z-1為變量的多項式.從最少拍系統(tǒng)相應(yīng)控制信號，即 (5-5

35、5)無穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差，即(8-56 )角度要求閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)e(Z )具有(1-Z-1)v的因子.設(shè)(8-56)其中0 (Z是在Z=1處既無極點也無零點的Z-1有理分式.對于單位反饋系統(tǒng)，有(8-57)因此由(8-58)求得線性離散系統(tǒng)輸出c(t)的Z變換為C Z = 1 e Z 1 R Z C(z)= R(z)A(zF(z)(8-59)將式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60)從式(8-58)或(8-59)看出，為滿足線性離散系統(tǒng)響應(yīng)典型控制信號的響應(yīng)過程在最少化 Z -Z4 拍內(nèi)結(jié)束從而達到完全跟蹤控制信號的要求，需使系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Oe(z )及(z所含Z-1項數(shù)最少.在式(8-56)中,若取0(z=1,便能滿足上述要求.這時，由式(8-56)及(8-57),可得(8-61)(8-62)這便是以無穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差且在最少拍內(nèi)結(jié)束響應(yīng)過程從而完全跟蹤控制輸入為標(biāo)志的 最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，其中幕指數(shù)與系統(tǒng)響應(yīng)控制輸入的類型有關(guān)，例如相應(yīng)位置階躍，勻速與勻加速輸入時，V分別取1 , 2, 3.2.下面分析最少拍系統(tǒng)相應(yīng)位置階躍，勻速與勻加速等典型輸入時的情況.Z =1 一 1 Z八(1) 當(dāng) r(t)=1(t)，即1R zj 二1 z 二 亠 亠 z1 -Z其中A(z)=1及v =，取