753769938天津卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù) 學(xué)（理工類） 本試卷分為第卷（選擇題）和第（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第卷1至3頁，第卷4至6頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！第i卷注意事項：1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分參考公式：如果事件 a，b 互斥，那么 如果事件 a，b 相互

2、獨立， p(ab)=p(a)+p(b) p(ab)=p(a) p(b)柱體的體積公式v 柱體=sh 錐體的體積公式v = v=1/3sh 其中 s 表示柱體的底面積 其中 s 表示錐體的底面積，h 表示柱體的高 h 表示錐體的高 第卷注意事項：本卷共8小題，每小題5分，共40分. 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，則集合 ac u b=（a） （b） （c） （d） （2）設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（a）3（b）4（c）18（d）40（3）閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出s的值為（a） （b）6（c）1

3、4（d）18（4）設(shè) ，則“ ”是“ ”的（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件（c）充要條件（d）既不充分也不必要條件（5）如圖，在圓 中， 是弦 的三等分點，弦分別經(jīng)過點 .若 ，則線段 的長為（a） （b）3（c） （d） （6）已知雙曲線 的一條漸近線過點 ，且雙曲線的一個焦點在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（a） （b）（c） （d）（7）已知定義在 上的函數(shù) （ 為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為（a） （b） （c） （d） （8）已知函數(shù) 函數(shù) ，其中 ，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是（a） （b） （c） （d）第ii卷注意事項：1、用黑色墨水的鋼筆或簽

4、字筆將答案寫在答題卡上.2、本卷共12小題，共計110分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9） 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 .（10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 . （11）曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 .（12）在 的展開式中， 的系數(shù)為 .（13）在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則 的值為 .（14）在等腰梯形 中,已知 ,動點 和 分別在線段 和 上, .三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，(i)求最小正周期；(ii)求在

5、區(qū)間上的最大值和最小值.16. （本小題滿分13分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(i)設(shè)a為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件a發(fā)生的概率；(ii)設(shè)x為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望.17. （本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,且點m和n分別為的中點.(i)求證： mn平面abcd(ii)求二面角的正弦值；(iii)設(shè)e為棱上的點，若直線ne和平面abcd所

6、成角的正弦值為，求線段的長18. （本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(i)求q的值和的通項公式；(ii)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.19. （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為,離心率為，點m在橢圓上且位于第一象限，直線fm被圓截得的線段的長為c，.(i)求直線fm的斜率；(ii)求橢圓的方程；(iii)設(shè)動點p在橢圓上，若直線fp的斜率大于，求直線op（o為原點）的斜率的取值范圍.20. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(i)討論的單調(diào)性；(ii)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為p，曲線在點p處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；(iii)若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： .絕

7、密啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全套統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分40分。（1）a （2）c （3）b （4）a（5）a （6）d （7）c （8）d二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分30分。（9）-2 （10） （11）（12） （13）8 （14）三、解答題 （15）本小題主要考查兩角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識?？疾榛具\算能力。滿分13分。 （i）解：由已知，有= 所以，的最小正周期t=(ii)解：因為在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)

8、，.所以，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（16）本小題主要考查古典概型及其概率計算公式，互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.滿分13分. （i）解：由已知，有所以，事件a發(fā)生的概率為.（ii）解：隨機變量x的所有可能取值為1,2,3,4.所以，隨見變量的分布列為1234 隨機變量的數(shù)學(xué)期望（17）本小題主要考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。滿分13分. 如圖，以a為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得,.又因為m,n分別為和的中點

9、，得,. (i)證明：依題意，可得為平面的一個法向量. =.由此可得=0，又因為直線平面，所以平面. （ii）解：，.設(shè)為平面的法向量，則即不妨設(shè)，可得. 設(shè)為平面de 法向量，則又，得不妨設(shè)z=1，可得. 因此有，于是. 所以，二面角的正弦值為。（iii）解：依題意，可設(shè)，其中，則，從而。又為平面的一個法向量，由已知，得=，整理得，又因為，解得. 所以，線段的長為.(18)本小題主要考查等比數(shù)列及其前n項和公式、等差中項等基礎(chǔ)知識?？疾閿?shù)列求和的基本方法、分類討論思想和運算求解能力.滿分13分. （i）解：由已知，有，即，所以.又因為，故，由，得. 當(dāng)時，； 當(dāng)時，. 所以，的通項公式為（i

10、i）解：由（i）得.設(shè)的前n項和為，則 ， ，上述兩式相減，得 ， 整理得，. 所以，數(shù)列的前n項和為，.（19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、一元二次不等式等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究 曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力。滿分14分.（i）解：由已知有，又由，可得.設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.由已知，有+，解得.（ii）解：由（i）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得，解得，或.因為點m在第一象限，可得m的坐標(biāo)為.有，解得，所以橢圓的方程為.（iii）解：設(shè)點p的坐標(biāo)為，直線fp的斜率為

11、，得，即，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得.又由已知，得，解得，或. 設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得. 當(dāng)時，有，因此，于是，得. 當(dāng)時，有，因此，于是，得. 綜上，直線的斜率的取值范圍是.（20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識和方法.考查分類討論思想、函數(shù)思想和劃歸思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力。滿分14分. （i）解：由=，可得=，其中，且.下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)為奇數(shù)時. 令=0，解得，或. 當(dāng)變化時，的變化情況如下表：-+- 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。（2）當(dāng)為偶數(shù)時. 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（ii）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，則，.曲線在點處的切線方程為，即.令，即，則. 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減.