利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系一、函數(shù)的單調(diào)性求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：1) 確定函數(shù)的f(X)的定義區(qū)間；2) 求f(x)，令f(x)0 ,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；3) 把函數(shù)f(x)的無定義點的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；4) 確定f (x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由f (x)的符號判定函數(shù)f x在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個基本步驟1) 求導(dǎo)數(shù)f (X)；2) 求方程f(x)0的所有實數(shù)根；3) 檢驗f(x)在方程f(x)0的根左右的符號，如果是左正右負(

2、左負右正) ，則f(x)在這個根處取得極大(小)值 三、求函數(shù)最值1) 求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；2) 將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a), f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù) 的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的.即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性.具體有如下幾種形式： 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)

3、在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立. 把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的.2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值 .因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu) 造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得 該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題解題方法總結(jié)和題型歸類利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的恒成立問題1）其中關(guān)鍵是根據(jù)題目找到給定區(qū)間上恒成立的不等式，轉(zhuǎn)化成最值問題。2）首先找不等式。一般來說，有以下五類題

4、型：在某個區(qū)間上“單調(diào)遞增減”：表明f（X）0（ f（X）0 ）恒成立； “無極值點”，表明f(X)0恒成立或f(X)0恒成立； “曲線y f(x)在曲線y g(x)上方(下方)”：表明 f (x) g(x) 0 ( f (x) g(x) 0)恒成立；“無零點”:表明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立； 標志詞：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此時題干已給出不等式例1 :設(shè)函數(shù)f(x) = ax3 3x + 1 (x R),若對于任意 x 1,1，都有f(x)O成立，則實數(shù)a的值為?【解析】若x = 0,則不論a取何值，f(x)0顯然成立;3131當(dāng) x0，即 x (0,1時

5、，f(x) = ax3 3x + 1 0 可化為 a= 設(shè) g(x)=： , x2 x3x2 x331 2x則 g(x)=因此g(x) max = g1 1所以g(x)在區(qū)間0, 上單調(diào)遞增，在區(qū)間，1上單調(diào)遞減, =4，從而 a 4.31當(dāng) x0，即 x 1,0)時，同理 aw；：x2 x3g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，g(x)min = g( 1) = 4，從而 a0，即(一x2+ 2)ex0，因為 ex0 ,所以x2 + 20，解得一 j2x0對x ( 1,1)都成立.因為 f (x)= ( 2x + a)ex+ ( x2 + ax)ex=x2+ (a 2)x + aex,所以x2+

6、 (a 2)x+ aex0 對 x (1,1)都成立.因為 ex0 ,所以一x2 + (a 2)x + a 對 x ( 1,1)都成立,x2 + 2x=(X + 1)二;對 X (- 1,1)都成立.令 y FX+1)-陽，則 y 7+1X+ 120.1所以y = (x +1) 二在(1,1)上單調(diào)遞增,X十1133所以 y0 x 0, x 1 g x滿足g 1 =0，且1 In xx當(dāng)0 vx v 1時，x2 1 1時，x210,ln x0,所以g x 0,故g x單調(diào)遞減.所以 g x g 1 =0x 0, x 1所以除切點之外，曲線 C在直線L的下方.【點評】構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化直接求最值。此

7、時不等式一般形如f(x) A或f(x) 直接求f(x)的最值?！敬鸢浮?I) y x 1【難度】*2【題】已知函數(shù)f(x) ax (a 2)x In x . (I)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；(H)當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , e上的最小值為-2，求a的取值范圍；(川)若對任意xX2 (0,), x1 x2，且f (x!)+2x f(X2)+2x2恒成立，求a的取值范圍.：【難度】*1【題】己知函數(shù)f (x) x3 2a x2 (a 1)x 5是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的3取值范圍.【難度】*【題】已知函數(shù)f(x) x2 2ex 3e2l nx b在(x,0)處的切線斜率為零.2(I)求X。和b的值；(n)求證：在定義域內(nèi)f (x) 0恒成立；【難度】*【題】已知函數(shù) f(x) - x3 ax2 bx. (a, b R)3(I) 若f(0) f (2)1,求函數(shù)f (x)的解析式；(II) 若b a 2，且f (x)在區(qū)間(0