2203.妙用“隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法”求圓錐曲線的切線方程

1、妙用“隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法”求圓錐曲線的切線方程 【摘要】 本文通過(guò)隱函數(shù)相關(guān)理論解決中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中求圓錐曲線的切線方程問(wèn)題，以一個(gè)小問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，引出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)帶來(lái)便利之處，由此可以培養(yǎng)高中學(xué)生思維能力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，并為高中數(shù)學(xué)教師研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供借鑒?！娟P(guān)鍵詞】 圓錐曲線 切線 隱函數(shù) 導(dǎo)數(shù)隨著新課程進(jìn)一步的深入，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)對(duì)教師的專業(yè)素質(zhì)提出了更高的要求，對(duì)高中數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)容量提出了新的挑戰(zhàn)，為此筆者重新對(duì)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，尋找高中數(shù)學(xué)各模塊知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中的淵源，以更好地有針對(duì)地進(jìn)行課堂教學(xué)。圓錐曲線的切線問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)知識(shí)與解析幾何知識(shí)交匯點(diǎn)，也是最近幾年高考的

2、熱點(diǎn)問(wèn)題。如何利用導(dǎo)數(shù)這一工具解決此類問(wèn)題，筆者在此提幾點(diǎn)自己看法。1問(wèn)題的提出數(shù)學(xué)問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心，是學(xué)生提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的媒介，也是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)平臺(tái)。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q不僅能拓展學(xué)生的知識(shí)面，也有利于提高學(xué)生的能力，更能讓學(xué)生體會(huì)到新課程大環(huán)境下學(xué)科思想。例如在求拋物線的切線方程我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象。例1已知拋物線c：及c上一點(diǎn)a（1，1），過(guò)a作c的切線，求切線方程。分析：此題若通過(guò)直線與拋物線的位置處理方法，很容易就能得出結(jié)果；若運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義也不難得到結(jié)果：先求出關(guān)于的導(dǎo)數(shù)再將a點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入得到切線的斜率2，即所求的切線方程為。

3、變式1 將題中c的方程改成。分析：通過(guò)傳統(tǒng)求切線方程方法易得；如果運(yùn)用導(dǎo)數(shù)去求呢？學(xué)生肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)表示曲線c的方程不是函數(shù)所以也不能求導(dǎo)，怎么辦？筆者在教學(xué)中得到這樣幾種解題思路：在方程c中將互換也就是將看成關(guān)于的函數(shù)求導(dǎo)即得，再在寫(xiě)切線程時(shí)也將互換可得即；將方程c改寫(xiě)成兩個(gè)函數(shù)，則因?yàn)辄c(diǎn)a在軸上方，所以斜率為；研究將代入可得此時(shí)過(guò)a點(diǎn)的切線斜率為。在中不難得到也就是對(duì)方程c中的看成關(guān)于的函數(shù)，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則對(duì)方程c兩邊同時(shí)進(jìn)行求導(dǎo)，遇到關(guān)于的運(yùn)算直接求導(dǎo)，遇到即寫(xiě)成形式。能否把這一種想法推廣到更一般呢？回答是肯定的。2隱函數(shù)與圓錐曲線方程21圓錐曲線方程滿足隱函數(shù)的條件的驗(yàn)證對(duì)于實(shí)系數(shù)

4、二元二次方程 在這里討論方程表示的是一般的圓錐曲線情況。記方程可以轉(zhuǎn)化為 下面分析方程所滿足的條件：（1）顯然式所表示的曲線上的任意一點(diǎn)在其鄰域內(nèi)連續(xù)；（2）存在；（3）顯然連續(xù)；（4）。所以方程所表示的曲線上的點(diǎn)在其鄰域內(nèi)，方程唯一地確定了一了定義在某區(qū)間內(nèi)的隱函數(shù)。把看作關(guān)于的復(fù)合函數(shù)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則方程的導(dǎo)數(shù)為。22求圓錐曲線的切線方程對(duì)于方程作關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得即設(shè)點(diǎn)是方程所表示曲線上的一點(diǎn)，則過(guò)此點(diǎn)切線斜率為，所以切線方程為即所以3用隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程的優(yōu)勢(shì)31求橢圓的切線方程例2設(shè)是橢圓c：上一點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的橢圓c的切線方程。分析：用傳統(tǒng)求切線方程的方法如下：設(shè)

5、過(guò)p點(diǎn)的切線方程為，由得整理得：設(shè)若則所以切線方程，整理得：若即斜率不存在，些時(shí)或，式仍然成立。所過(guò)點(diǎn)的橢圓c的切線方程為。此時(shí)式也是方程的切線方程形式。利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法：求導(dǎo)可得，則即斜率為所切線方程為整理得。32兩種方法比較比較這兩種方法顯然只要掌握了隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，可以避免復(fù)雜的運(yùn)算，高效準(zhǔn)確地得到解答。在隱函數(shù)的這一理論指導(dǎo)下可以快速求出圓錐曲線的切線。例如標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的雙曲線的切線方程為，拋物線的切線方程為或。而且掌握這種方法在學(xué)生將來(lái)的發(fā)展中更重要，在今天的學(xué)習(xí)中學(xué)生更多要用到的是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求各種曲線的切線方程。因而，在教學(xué)中接受和運(yùn)用這種處理方式，使中學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容的大

6、學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容建立起自然的聯(lián)系。4隱函數(shù)理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用舉例中學(xué)數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題或錯(cuò)誤，站在初等數(shù)學(xué)的角度上是很難解決或發(fā)現(xiàn)的；倘若能站在高等數(shù)學(xué)的角度，溝通初、高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，居高臨下釋疑，將會(huì)更有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓及其后續(xù)發(fā)展。例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解析：兩邊取對(duì)數(shù)得（*）將（*）看成易知滿足隱函數(shù)的條件從而即.5研究隱函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用帶來(lái)的啟示通過(guò)對(duì)此類問(wèn)題的研究可以糾正人們常有的一種片面觀點(diǎn)，認(rèn)為高等數(shù)學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾乎無(wú)用。在新一輪課程改革大潮中，新的數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)出現(xiàn)并加強(qiáng)了一些高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，所以中學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要對(duì)高等數(shù)學(xué)進(jìn)行研究并應(yīng)用到課堂教學(xué)中去，也有必要立足于更高觀點(diǎn)，用高等數(shù)學(xué)的方法去剖析中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，能有效地考查學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題、新情境及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，對(duì)提高高中生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義。欲窮千里目，更上一層樓。站到高等數(shù)學(xué)的角度下看初等數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題會(huì)更深刻、更全面，因此應(yīng)該掌握更多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，摸清高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的探究精神和創(chuàng)新能力，將是新形勢(shì)下搞活中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條有效途徑。【參考