數(shù)學(xué)建模案例(上)

1、某飲料生產(chǎn)企業(yè)現(xiàn)在需要設(shè)計(jì)一批容積為某飲料生產(chǎn)企業(yè)現(xiàn)在需要設(shè)計(jì)一批容積為V的圓的圓 柱形飲料包裝盒，問應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最??？柱形飲料包裝盒，問應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最?。?討論：討論： 什么是最優(yōu)設(shè)計(jì)什么是最優(yōu)設(shè)計(jì) 易拉罐的形狀如何易拉罐的形狀如何 材料跟易拉罐的什么有關(guān)材料跟易拉罐的什么有關(guān) rhS2 hrV 2 r V S 2 ? ? 在生活中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料在生活中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量例如飲料量 為為355毫升的可口可樂、青島啤酒等毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐的飲料罐(即易拉即易拉 罐罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，的形狀和

2、尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然， 這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易 拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限 的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話， 可以節(jié)約的錢就很可觀了。請(qǐng)問，你能否根據(jù)自己的觀可以節(jié)約的錢就很可觀了。請(qǐng)問，你能否根據(jù)自己的觀 察來研究易拉罐的形狀和尺寸對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)？察來研究易拉罐的形狀和尺寸對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)？ 數(shù)學(xué)的語言（圖、表、式等等）、方法解決實(shí)際問題的全過程就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)的語言（圖

3、、表、式等等）、方法解決實(shí)際問題的全過程就是數(shù)學(xué)建模。 7.1.1 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 7.1.2 由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成，描述實(shí)際對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成，描述實(shí)際對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué) 公式、圖象或算法（或：實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述）稱為公式、圖象或算法（或：實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述）稱為數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。 例如（）：例如（）： 甲、乙兩人同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，甲每小時(shí)行甲、乙兩人同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，甲每小時(shí)行20千米，千米， 乙每小時(shí)行乙每小時(shí)行18千米。兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn)千米。兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn)3千米。求全程長多少千米。求全程長多少 千米？千米？ 小學(xué)生

4、的方法：（千米）小學(xué)生的方法：（千米） 中學(xué)生的方法：設(shè)：相遇時(shí)甲行駛了千米，乙行駛了千中學(xué)生的方法：設(shè)：相遇時(shí)甲行駛了千米，乙行駛了千 米，米， 甲乙相距甲乙相距a千米，則千米，則 114)1820(23)1820( x y yx ayx yx 109 6 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 7.1.2 （2）導(dǎo)數(shù)是曲線的切線斜率、直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)模型）導(dǎo)數(shù)是曲線的切線斜率、直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)模型 2. 數(shù)學(xué)模型分類數(shù)學(xué)模型分類 7.1.2 按變量的特性分有按變量的特性分有： 連續(xù)型模型和離散型模型；確定性模型和隨機(jī)性模型連續(xù)型模型和離散型模型；確定性模型和隨機(jī)性模型;靜態(tài)模型和靜態(tài)模型和 動(dòng)態(tài)模型

5、等等。動(dòng)態(tài)模型等等。 例如：例如： 溫度與時(shí)間的關(guān)系曲線就是一種連續(xù)模型；商場(chǎng)銷售量與時(shí)間的溫度與時(shí)間的關(guān)系曲線就是一種連續(xù)模型；商場(chǎng)銷售量與時(shí)間的 關(guān)系就是一種離散模型。關(guān)系就是一種離散模型。 按數(shù)學(xué)方法分有按數(shù)學(xué)方法分有： 初等模型，微分方程模型，運(yùn)籌模型，線性模型，非線性模型、網(wǎng)初等模型，微分方程模型，運(yùn)籌模型，線性模型，非線性模型、網(wǎng) 絡(luò)模型，隨機(jī)模型等等。絡(luò)模型，隨機(jī)模型等等。 2. 數(shù)學(xué)模型分類數(shù)學(xué)模型分類 7.1.2 按應(yīng)用領(lǐng)域分有按應(yīng)用領(lǐng)域分有： 人口模型，生態(tài)模型，交通模型，環(huán)境模型，經(jīng)濟(jì)模型等等。人口模型，生態(tài)模型，交通模型，環(huán)境模型，經(jīng)濟(jì)模型等等。 按對(duì)模型結(jié)構(gòu)了解程度分

6、有按對(duì)模型結(jié)構(gòu)了解程度分有： 白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及問題的機(jī)理白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及問題的機(jī)理 相當(dāng)清楚；黑箱模型是指對(duì)機(jī)理很不清楚；而灰箱模型則有別于白、黑相當(dāng)清楚；黑箱模型是指對(duì)機(jī)理很不清楚；而灰箱模型則有別于白、黑 箱之間。箱之間。 7.2 在日常生活里，將一只四條腿一樣長的椅子放在不平的地面上，其在日常生活里，將一只四條腿一樣長的椅子放在不平的地面上，其 中三條腿常同時(shí)著地（不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一平面），如果第中三條腿常同時(shí)著地（不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一平面），如果第 四條腿不著地，椅子未放穩(wěn)，問能否稍作挪動(dòng)，就可以使四條腿

7、同時(shí)著四條腿不著地，椅子未放穩(wěn)，問能否稍作挪動(dòng)，就可以使四條腿同時(shí)著 地（即椅子放穩(wěn)）？地（即椅子放穩(wěn)）？ 7.2 1椅子：假設(shè)椅子的四條腿一樣長，椅子腿與地面接觸處視為一點(diǎn)，四條腿的椅子：假設(shè)椅子的四條腿一樣長，椅子腿與地面接觸處視為一點(diǎn)，四條腿的 連線呈正方形連線呈正方形 2地面：地面高度是連續(xù)變化的，地面無斷裂，呈連續(xù)曲面地面：地面高度是連續(xù)變化的，地面無斷裂，呈連續(xù)曲面 3椅子與地面相對(duì)關(guān)系：對(duì)椅子腿的間距和椅子腿的高度而言，地面是相對(duì)平椅子與地面相對(duì)關(guān)系：對(duì)椅子腿的間距和椅子腿的高度而言，地面是相對(duì)平 坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三條腿同時(shí)著地坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三條

8、腿同時(shí)著地 7.2.1 （一）建立模型的分析（一）建立模型的分析 1稍作挪動(dòng)稍作挪動(dòng)-如圖如圖7-1 2椅子腳著地即椅子腳與地面距離為零椅子腳著地即椅子腳與地面距離為零 3椅子放穩(wěn)結(jié)合，給出數(shù)學(xué)模型椅子放穩(wěn)結(jié)合，給出數(shù)學(xué)模型 設(shè)設(shè) , 為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果 且且 , 那么必存在那么必存在 ，使，使 A A B B C C D D O A1 B1 C1 D1 A 圖7-1)(f)(g)()(gf 0) 0 (f0) 0 ( g0 0)()( 00 gf 7.2.1 顯然顯然 ， ，由假設(shè)（，由假設(shè)（2）知）知 ， 為的連續(xù)函數(shù)；由假設(shè)為的連續(xù)函數(shù)；由假設(shè) （3）知，由于三點(diǎn)著

9、地，故對(duì)任意位置）知，由于三點(diǎn)著地，故對(duì)任意位置 ， 和和 中至少有一個(gè)為零，即中至少有一個(gè)為零，即 =0我們不妨假設(shè)我們不妨假設(shè)A、C處椅子兩腳著地；處椅子兩腳著地；B、D處有一腳未著地于是處有一腳未著地于是 有有 ， 如果如果“稍作挪動(dòng)稍作挪動(dòng)”，即旋轉(zhuǎn)一適當(dāng)角，即旋轉(zhuǎn)一適當(dāng)角 ，使，使 那么就表明椅子四個(gè)腳著地，椅子放穩(wěn)了那么就表明椅子四個(gè)腳著地，椅子放穩(wěn)了 )(f)(g 、 0)(f 0)(g )(f )(g )()(gf 0) 0 (f0) 0 (g 0 0)()( 00 gf A A B B C C D D O A1 B1 C1 D1 A 圖7-1 7.2.1 A A B B C

10、C D D O A 1 B 1 C 1 D 1 A 圖7-1 （二）模型建立（二）模型建立: 將椅子放到直角坐標(biāo)平面上，將椅子放到直角坐標(biāo)平面上，A、B、C、D為四條腿與地平面的接觸點(diǎn)為四條腿與地平面的接觸點(diǎn) （或投影點(diǎn)），連線后構(gòu)成正方形，是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，如圖（或投影點(diǎn)），連線后構(gòu)成正方形，是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，如圖7-1所示所示 1） “稍作挪動(dòng)稍作挪動(dòng)”假設(shè)椅子中心投影假設(shè)椅子中心投影O不變，僅作旋轉(zhuǎn)，用角來描述椅不變，僅作旋轉(zhuǎn)，用角來描述椅 子子 位置圖位置圖 7- 1表示正方形旋轉(zhuǎn)角表示正方形旋轉(zhuǎn)角 是正方形是正方形 2）如何度量椅子腳著地與否？用椅子腳與地面的距離來度量，零距離表

11、）如何度量椅子腳著地與否？用椅子腳與地面的距離來度量，零距離表 示椅子腳著地，非零距離則表示椅子腳不著地示椅子腳著地，非零距離則表示椅子腳不著地 3）如何度量椅子放穩(wěn)否？這是整個(gè)模型的關(guān)鍵，我們需要找出椅子放穩(wěn)）如何度量椅子放穩(wěn)否？這是整個(gè)模型的關(guān)鍵，我們需要找出椅子放穩(wěn) 與否的數(shù)學(xué)描述和表征由上知，椅子腳離地面距離是的函數(shù)，又由于圖形與否的數(shù)學(xué)描述和表征由上知，椅子腳離地面距離是的函數(shù)，又由于圖形 ABCD中中 心對(duì)稱，我們可用以下心對(duì)稱，我們可用以下 和和 度量之，即設(shè)度量之，即設(shè) DCBA )(f)(g 、 )(f A、C處兩椅子腳與地面的距離之和處兩椅子腳與地面的距離之和； )(g B

12、、D處兩椅子腳與地面的距離之和處兩椅子腳與地面的距離之和； 7.2.1 設(shè)設(shè) , 為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果 且且 ， 那么必存在那么必存在 ，使，使 )(f)(g)()(gf 0) 0 ( f0) 0 ( g 0 0)()( 00 gf 7.2.1 2 將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn) ，即正方形，即正方形AC邊轉(zhuǎn)至邊邊轉(zhuǎn)至邊BD，BD邊轉(zhuǎn)至邊轉(zhuǎn)至AC邊邊 AC的初始情形時(shí)，有的初始情形時(shí)，有 ， ；AC轉(zhuǎn)至轉(zhuǎn)至BD邊位置后，有邊位置后，有 ， 令令 ，則有，則有 0) 0 (f0) 0(g0) 2 ( f 0) 2 ( g )()()(gfh 0)0()0()0(gfh 0) 2 ()

13、2 () 2 ( gfh 7.2.1 因因 、 為連續(xù)函數(shù)，故為連續(xù)函數(shù)，故 也為連續(xù)函數(shù)由連續(xù)函數(shù)的介值也為連續(xù)函數(shù)由連續(xù)函數(shù)的介值 定理知：存在定理知：存在 ，使，使 ，即有，即有 但但 ，故有，故有 )(f)(g)(h ) 2 0 ( 0 0 0)( 0 h)()( 00 gf 0)()(gf0)()( 00 gf 7.2.1 ，表明椅子四腳均著地，椅子放穩(wěn)了便是要，表明椅子四腳均著地，椅子放穩(wěn)了便是要 挪動(dòng)（旋轉(zhuǎn)）的適當(dāng)角度由于地面相對(duì)平坦，所以不考慮平移，僅考挪動(dòng)（旋轉(zhuǎn)）的適當(dāng)角度由于地面相對(duì)平坦，所以不考慮平移，僅考 慮旋轉(zhuǎn)是允許的慮旋轉(zhuǎn)是允許的 0)()( 00 gf 7.2.2

14、 一個(gè)銷售企業(yè)，如何安排進(jìn)貨才能使庫存保管費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)最省一個(gè)銷售企業(yè)，如何安排進(jìn)貨才能使庫存保管費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)最省 7.2.2 （1）在計(jì)劃期）在計(jì)劃期 T（通常以一年為計(jì)劃期）內(nèi)對(duì)貨物的需求量（通常以一年為計(jì)劃期）內(nèi)對(duì)貨物的需求量Q是確定的是確定的 （2）在計(jì)劃期）在計(jì)劃期T內(nèi)分次內(nèi)分次n次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨量為次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨量為 ，即進(jìn)貨是均勻的，即進(jìn)貨是均勻的 （3）每件貨物貯存單位時(shí)間的貯存費(fèi)用）每件貨物貯存單位時(shí)間的貯存費(fèi)用 及每次進(jìn)貨費(fèi)用及每次進(jìn)貨費(fèi)用 都為常數(shù)都為常數(shù) （4）貨物均勻投放市場(chǎng)）貨物均勻投放市場(chǎng) 一般來說，貨物先入庫暫存，然后均勻提出這時(shí)，一般來說，貨物先入庫暫存，然后均

15、勻提出這時(shí)， 庫存貨物量的最大值就是每次的進(jìn)貨量庫存貨物量的最大值就是每次的進(jìn)貨量 ，隨著時(shí)間推移均勻降至零，一旦庫，隨著時(shí)間推移均勻降至零，一旦庫 存貨量為零，立即得到貨物補(bǔ)充且進(jìn)貨瞬間完成因此，貨物的庫存量存貨量為零，立即得到貨物補(bǔ)充且進(jìn)貨瞬間完成因此，貨物的庫存量 的圖像如圖的圖像如圖7- -2所示所示 由此得，平均庫存量為由此得，平均庫存量為 n Q 1 C 2 C n Q )(tq n Q 2 1 7.2.2 TC n Q E 11 2 1 在以上假定條件下，總貯存費(fèi)用為在以上假定條件下，總貯存費(fèi)用為: nCE 22 總進(jìn)貨費(fèi)用為總進(jìn)貨費(fèi)用為: nCTC n Q EEE 2121 2

16、 1 總費(fèi)用為總費(fèi)用為: x x Q n 若每次進(jìn)貨若每次進(jìn)貨件，則件，則 代入上式，得代入上式，得 x Q CTxCE 21 2 1 7.2.2 12 2 1 2 Q ECTC x 令令 ，得惟一駐點(diǎn)，得惟一駐點(diǎn) ，又，又 ，所以惟，所以惟 一的駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)故當(dāng)每次進(jìn)貨數(shù)量為一的駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)故當(dāng)每次進(jìn)貨數(shù)量為 時(shí)，時(shí)， 庫存保管費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)之和最省庫存保管費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)之和最省 0E 2 1 2C Q x C T 2 3 20 Q EC x 2 1 2C Q x C T 7.2.2 從上述結(jié)果可以看出，每次進(jìn)貨數(shù)量從上述結(jié)果可以看出，每次進(jìn)貨數(shù)量 與每次進(jìn)貨費(fèi)用與每次進(jìn)貨費(fèi)用 和和 需求量

17、需求量Q成正比成正比,與每件貨物貯存單位時(shí)間的貯存費(fèi)用與每件貨物貯存單位時(shí)間的貯存費(fèi)用 越大與計(jì)越大與計(jì) 劃期劃期T成反比當(dāng)每次進(jìn)貨費(fèi)用成反比當(dāng)每次進(jìn)貨費(fèi)用 與需求量與需求量 Q較大時(shí)，每次進(jìn)貨數(shù)量較大時(shí)，每次進(jìn)貨數(shù)量 就要多；當(dāng)每件貨物貯存單位時(shí)間的貯存費(fèi)用就要多；當(dāng)每件貨物貯存單位時(shí)間的貯存費(fèi)用 較大與計(jì)劃期較大與計(jì)劃期T較長時(shí)，較長時(shí)， 每次進(jìn)貨數(shù)量每次進(jìn)貨數(shù)量 要少要少 x 2 C 1 C 2 Cx 1 C x 7.2.3 一種新產(chǎn)品面世，廠家和商家總要采取各種措施，促進(jìn)銷售他們都希望一種新產(chǎn)品面世，廠家和商家總要采取各種措施，促進(jìn)銷售他們都希望 產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到必中有數(shù)，

18、以便于組織生產(chǎn)，安排進(jìn)貨如何產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到必中有數(shù)，以便于組織生產(chǎn)，安排進(jìn)貨如何 用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述產(chǎn)品推銷速度，并由此分析出有用結(jié)果，以指導(dǎo)生產(chǎn)與用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述產(chǎn)品推銷速度，并由此分析出有用結(jié)果，以指導(dǎo)生產(chǎn)與 銷售銷售 7.2.3 （1 1）假設(shè)該產(chǎn)品是耐用品，可以長期使用，一般不會(huì)廢棄和重復(fù)購置，價(jià)）假設(shè)該產(chǎn)品是耐用品，可以長期使用，一般不會(huì)廢棄和重復(fù)購置，價(jià) 格相對(duì)穩(wěn)定格相對(duì)穩(wěn)定 （2 2）該產(chǎn)品剛進(jìn)入市場(chǎng)，人們對(duì)其功能尚不熟悉，所以銷售速度較慢隨）該產(chǎn)品剛進(jìn)入市場(chǎng)，人們對(duì)其功能尚不熟悉，所以銷售速度較慢隨 著銷售數(shù)量的增加，人們對(duì)于它的熟悉程度就會(huì)增加，銷售速度也會(huì)著銷售數(shù)量的增加，人們對(duì)于它的熟悉程度就會(huì)增加，銷售速度也會(huì) 增加，但這類產(chǎn)品銷售一定數(shù)量時(shí)，因?yàn)槿藗儾粫?huì)重復(fù)購置，而使銷增加，但這類產(chǎn)品銷售一定數(shù)量時(shí)，因?yàn)槿藗儾粫?huì)重復(fù)購置，而使銷 售速度減慢假設(shè)需求量有一個(gè)上界售速度減慢假設(shè)需求量有一個(gè)上界M M，用，用 表示時(shí)間表示時(shí)間t t已售出