高中數學新課程人教A版必修5解讀與教學建議

1、高中數學新課程人教a版必修5解讀與教學建議本模塊包括“解三角形”、“數列”、“不等式”等三章內容，全書約需36課時，具體課時分配如下：第一章 解三角形 約8課時第二章 數列 約12課時第三章 不等式 約16課時“解三角形”的主要內容是介紹三角形的正、余弦定理，及其簡單應用，旨在通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題以及能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題?！皵盗小钡闹饕獌热菔菙盗械母拍钆c表示，等差數列與等比數列的通項公式與前n項和。數列作為一種特殊的函數，是反映自然規(guī)律的基本數學模型。教科書通過對日

2、常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，力求使學生在探索中掌握與等差數列、等比數列有關的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題?！安坏仁健币徽峦ㄟ^大量現實世界和日常生活中的具體實例引入不等關系，幫助學生理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值，進而引導學生結合一些實際問題探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題的方法，最后引導學生討論了基本不等式及其簡單應用。第一章 解三角形在本章中，要求學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發(fā)現并掌握三角形中的邊長與

3、角度之間的數量關系，并認識到運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。1、內容與課程學習目標本章的中心內容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。2、教學要求(浙江省數學學科教學指導意見2007年6月版，下同)2.1基本要求 （1）會證明正弦定理、余弦定理。 （2）能理解正、余弦定理在討論三角形邊角關系時的作用。 （3）能用正

4、、余弦定理解斜三角形。 （4）理解用正、余弦定討論三角形解的情形。（5）掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。 （6）通過解三角形在實際中的一些應用，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。 （7）理解三角形的面積公式并能應用。 （8）根據實際條件，利用本章知識完成一個有關測量的實習作業(yè)。 2.2發(fā)展要求 （1）了解正、余弦定理與三角形外接圓半徑的關系。 （2）利用正、余弦定理討論三角形中的邊角關系。 （3）條件允許的情況下，可多做幾個實習作業(yè)，以培養(yǎng)學生應用知識解決實際問題的能力。 2.3說明 (1)可以利用計算機進行近似計算,但不要求太復雜繁瑣的運算。(2)不必增加在立幾情況下求解三角形的問題,

5、可在立體幾何學習時適當拓展。（3）應用問題應限制在正、余弦定理的簡單應用上。(4)實習作業(yè)不要求太復雜的問題。3綱標比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標教材數學第一冊（下）第五章 平面向量數學5第1章 解三角形（8課時）二、解斜三角形（約7+5課時）1.1.1 正弦定理 (約1課時)5.9正弦定理、余弦定理 (約4課時) 1.1.2余弦定理 (約2課時)5.10解斜三角形應用舉例（約2課時）(探究與發(fā)現 解三角形的進一步發(fā)現)實習作業(yè) 解三角形在測量中的應用(約2課時)1.2 應用舉例 (約3課時)(閱讀材料 人們早期怎樣測量地球的半徑？)(閱讀與思考 海倫與秦九韶)研究性學習課題：向量在物理

6、中的應用(約3課時)1.3 實習作業(yè) (約1課時)單元小結與復習(約1課時) 小結(約1課時) 3.2 內容安排上的變化 大綱教材將解三角形安排在“平面向量”之中，成為平面向量的一個單元，而課標教材在模塊 5中獨立成章，突出其獨立性。 3.3 幾個特點 教學要求上的特點大綱教材對解斜三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決斜三角形的計算問題。通過解三角形教學，提高運用所學知識解決實際問題的能力。通過以測量為內容的實習作業(yè)，培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。而按照省教學指導意見，課標教材在計算方面降低了要求，削弱了用計算器解決斜三角形

7、的有關計算問題，而在探索推理方面作了相應提高，重視正、余弦定理發(fā)現過程的探究。 有關教學價值上的特點大綱教材中，解斜三角形作為平面向量知識的應用，重在其工具性和應用性，也比較關注三角形恒等變換和邊角關系轉換，把教學的重點放在運算上，而意見將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何作用，培養(yǎng)學生的量化思想，并引導教師關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量有關的實際問題，其側重點放在推理與探究上。4. 教學內容分析章引言本章一開始的引言就從一個測量問題引入：“在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想，不禁會問，遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”接著

8、指出：“在數學發(fā)展歷史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測量問題.”這就點出了本章數學知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學生初步認識學習解三角形知識的必要性。然后以一系列的實際問題引入本章要學習的數學知識，這些問題的解決需要進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識，于是順理成章地指出，在本章中我們要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形以及解決實際測量中的一些問題。1.1正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理揭示了關于一般三角形中的重要邊角關系，它們是解三角形的兩個重要定理。對于正弦定理，教科書首先引導學

9、生回憶任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，引導學生思考是否能得到這個邊、角關系準確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數量關系，就比較自然地引導到三角函數。在直角三角形中，邊之間的比就是銳角的三角函數。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快證明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察結論是否適用于銳角三角形，而鈍角三角形中定理的證明要求學生自己通過探究來加以證明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一個直接應用，正弦定理可以用于兩類解三角形的問題：（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他

10、的邊和角。對于（2），在某些條件下會出現無解或兩解的情形，教科書在探究與發(fā)現：“關于解三角形的進一步討論”中對此作了說明。正弦定理略去等于2r，目的是控制難度，防止設計出太多難題，加重學生的負擔。對于余弦定理，首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。由于涉及邊長問題，教科書考慮用向量的數量積，比較容易地證明了余弦定理。余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量。從已知三角形的三邊確定三角形的角，

11、這就是余弦定理的推論，也可以說是余弦定理的第二種形式。 應用余弦定理及其推論，并結合正弦定理，可以解決的解三角形問題有：（1）已知兩邊和它們的夾角解三角形；（2）已知三角形的三邊解三角形。1.2 應用舉例正弦定理和余弦定理在實際測量中有許多應用，教科書介紹了它們在測量距離、高度、角度等問題中的一些應用。對于未知的距離、高度等，存在著許多可以供選擇的測量方案，可以應用全等三角形的方法，也可以應用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本節(jié)介紹的應用兩個定理的方法，等等。但是，由于在測量問題的實際背景下，某些方法也許不能實施，如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，一種

12、方法會有局限性。這里介紹的許多問題是用以前的方法所不能解決的。關于三角形的有關幾何計算，教科書還涉及了三角形的高和面積的問題，給出了計算三角形的高和面積的公式，這些公式實際上在正弦定理的證明過程中就已經得到。值得一提的是，已知三角形的三邊求三角形面積的問題在歷史上是一個重要的問題，在西方有海倫公式，在我國數學史上有秦九韶的“三斜求積公式”，教科書在閱讀與思考中對此作了介紹，在習題中要求學生加以證明。另外，關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，課程標準要求不在這類問題上作過于繁瑣的訓練，教科書選擇的例題（p21例9）僅限于直接用正弦定理和余弦定理可以證明的問題。1. 3 實習作業(yè)本章內容有很強的實

13、踐性，教科書安排了一個利用本章知識的有關測量的實習作業(yè)。實習作業(yè)重在過程，通過實習，培養(yǎng)學生構建數學模型，分析和解決簡單實際問題的能力。實習前，教師要指導好學生作好前期準備，選擇好素材。實習時注意現場指導。對學生的實習報告要予以講評和規(guī)范。有條件的情況下，可讓學生自主選擇素材在課后再完成幾個實習報告。 第二章 數列數列作為一種特殊的函數，是反映自然規(guī)律的基本數學模型。根據課程標準的要求，在本章中，學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的（等比）數列的求和公式廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。1內容

14、與課程學習目標本章的主要內容是數列的基本概念、等差數列和等比數列以及它們的一些基本數量關系。通過本章學習，要使學生達到如下學習目標：（1）通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數（2）通過實例，理解等差數列、等比數列的概念；探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系2教學要求2.1 基本要求 （1）理解數列的定義，了解數列是一類特殊函數。 （2）了解數列的幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項

15、公式）。 （3）認識數列是反映自然規(guī)律的基本模型。（4）能根據給出的遞推公式寫出數列的前幾項。（4）理解等差（等比）數列的概念。 （5）掌握等差（等比）數列的通項公式。 （6）了解等差數列（等比）與一次函數（指數函數）的關系。 （7）能在具體的問題情境中，識別數列的等差（等比）關系，進而用等差（等比）數列有關知識解決相應的問題。 （8）掌握等差（等比）數列前n項和的公式，并能用公式解決簡單的問題。 （9）理解等差（等比）數列前n項和公式的推導方法。 （10）能利用等差（等比）數列前n項和公式極其性質求一些特殊數列的和。（11）理解與的關系。（12）等比數列的求和公式達到靈活應用。2.2 發(fā)展要

16、求 （1）能根據數列的前幾項寫出一個通項公式。 （2）掌握等差（等比）數列典型性質及應用。 （3）能靈活運用等差數列的求和公式。 （4）能用類比觀點推導等比數列性質。 （7）理解等差數列與等比數列簡單組合的數列的前n項和。 2.3 說明. （1）復雜的遞推關系不作要求。 （2）已知數列的前幾項寫出一個通項公式，不必太難。3綱標比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標教材數學第一冊（上）第三章 數列（約15課時）數學5第2章 數列（約12課時）3.1數列(約2課時)2.1數列的概念與簡單表示法 (約2課時)3.2等差數列(約2課時)(閱讀與思考 斐波那契數列)3.3等差數列的前n項和(約2課時)（信

17、息技術應用 估計的值）(閱讀材料 有關規(guī)定儲蓄的計算)2.2等差數列 (約2課時)3.4等比數列 (約2課時)2.3等差數列的前n項和(約2課時)3.5等比數列的前n項和(約2課時)2.4等比數列 (約2課時)研究性課題：分期付款中的有關計算（約3課時）2.5等比數列的前n項和(約2課時)小結與復習(約2課時) (閱讀與思考 九連環(huán)) (探究與發(fā)現 購房中的數學)小結與復習(約2課時)3.2內容主要變化 教學要求上的變化已知數列的前幾項寫出一個通項公式，不必太難，復雜的遞推關系不作要求。了解數列是一類函數，了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系。明確提出遞增數列、遞減數列概念。 教學

18、價值上的變化 以往數列內容比較注重,等參數之間換算與恒等變形，而課標教材注重了知識的形成過程，突出了函數思想、數學模型思想，強化了用函數觀點來呈現數列。通過資產折舊、購房貸款、出租車計費、校校通等問題注重了數列知識在解決實際問題中的應用，體現數列的應用性，通過諸如三角形數、謝賓斯基三角形、正方形篩子、斐波那契數列、九連環(huán)等數學名題，來體現數學的文化價值。4. 教學內容分析章頭圖章頭圖向我們呈現了錯落有致的樹衩、漂亮的花瓣、排列有序的植物種子，可以使學生感受大自然的神奇和奧秘的同時，體會數學是豐富多彩的，數學不僅僅是形式的演繹推導，數學來源于現實生活，數列作為反映現實生活的一種數學模型，也是無處

19、不在的，我們要善于對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考并做出判斷。另外，在日常生活中，人們經常遇到的像存款利息、購房貸款等實際問題，都需要用有關數列的知識來解決，數列知識也是將來學習高等數學的基礎。2.1數列的概念與簡單表示法人們對數列的研究有的源于現實生產、生活的需要，有的出自對數的喜愛。教科書從三角形數、正方形數入手，指出數列實際就是按照一定順序排列著的一列數。隨后，又從函數的角度，將數列看成是定義在正整數集或其有限子集上的函數。通過數列的列表、圖象、通項公式的簡單表示法，進一步體會數列是一種函數，是刻畫離散過程的一種重要數學模型。教科書的這種編排方式，一方面可以讓學生體會數列是一種特殊函數

20、，加深對函數概念和性質的理解，對數列的本質有清晰的認識和把握；另一方面，通過數列概念引入以及數列應用的過程，體會數列問題的實際應用，提高對本章內容的學習興趣，為下面將要開始的有關等差數列與等比數列的學習做好鋪墊。給出數列的前若干項求數列的通項公式，一般比較困難，要求不宜太高，如果有通項公式也不唯一，解決這個問題的關鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應關系，然后抽象成一般形式。教學時還可通過一些實際問題如：三角形數、正方形數、存款利息、謝賓斯基三角形、斐波那契數列、放射性物質的衰變、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數學等，使學生充分感受到數列是反映現實生活的數學模型，體會數學實用價值。值得指出的是，

21、在大綱教材中，遞推數列的地位和作用似乎有所提升，近幾年的高考也有所體現。該內容在教學中極易膨脹，例如研究用遞推公式給出的數列性質，從數列的遞推公式推導通項公式等類似問題會加重學生不必要的負擔。為此，指導意見只要求使學生初步體會一下用遞推方法給出數列的思想，能根據遞推公式寫出一個數列的前幾項就行了，繁難復雜的遞推關系式不作要求。 2.2 等差數列 等差數列在日常生活中有著廣泛的應用，并且大量存在于學生周圍教科書首先從學生熟悉的四個實例入手，引出了等差數列的概念，并且結合實例（襯衫的尺碼）對等差數列作了說明。隨后由等差數列的概念導出等差中項的概念，然后推導出了等差數列的通項公式。這種通過對日常生活

22、中大量實際問題的分析、建立等差數列模型的過程，加強了對等差數列基本概念、性質的理解，有助于培養(yǎng)學生運用等差數列模型解決問題的能力。 用函數觀點去看等差數列，可以幫助學生理解等差數列的本質：是在特殊定義域上的一次函數，通項公式就是這個特殊函數的解析式，但我們不能說等差數列(或它的通項公式)是一次函數。另外，有關等差數列的概念、通項公式的推導都是由歸納得到，這對培養(yǎng)學生觀察分析、探索歸納能力提供了很好的素材。 2.3等差數列的前n項和 對等差數列前n項和公式的推導及應用，體現了特殊到一般、一般到特殊的思想。 教科書是從求1+2+3+100的高斯算法出發(fā)，并以1+2+3+n求和為過渡，目的是為了讓學

23、生發(fā)現等差數列任意的第k項與倒數第k項的和等于首項、末項的和這個規(guī)律。教科書給出的探究題就是為了讓學生在前面基礎上，把數列1+2+3+n內在的這種規(guī)律性推廣到一般的等差數列，獲得一般的等差數列求和思路-倒序相加法，教學時應重視這一思想方法的滲透。例題的安排突出了等差數列求和公式的實際應用，以及等差數列前n項和公式與二次函數之間的關系。 2.4 等比數列 與等差數列類似，等比數列概念的引入也是通過日常生活中的實例抽象出了等比數列的模型。本節(jié)所列的4個背景實例和所傳達的思想為：1. 細胞分裂模型：生命科學中的數列模型；類似的有人口增長的模型2.莊子中“一尺之棰”的論述：中國古代學者的極限思想3.

24、計算機病毒的傳播：計算機科學中的數列模型；計算機病毒的危害；“指數爆炸”的例子4. 儲蓄中復利的計算：日常經濟生活中的數列模型這4個實例，既讓學生感受到等比數列也是現實生活中大量存在的數列模型，也讓學生經歷了從實際問題抽象出數學模型的過程。緊跟在實例之后的“觀察”欄目，是為了給學生一定的思考和探索的空間，讓他們自己通過觀察、歸納、猜想等認識到等比數列的特性。等比數列的通項公式類比差數列通項公式的得出過程，用不完全歸納法得出。教學時，要充分利用平行類比思想，將等差數列的概念、性質、研究問題，逐一類比引導學生發(fā)現問題，同時注意與指數函數的聯系。2.5等比數列的前n項和教科書從古印度國王獎賞國際象棋

25、發(fā)明者傳說引入求等比數列的前n項和這個問題，采用了“錯位相減”的方法推導公式，其中體現了等比數列與指數函數、方程、程序框圖中的循環(huán)結構等內容的前后聯系。本節(jié)課后有關“九連環(huán)”的閱讀與思考，進一步體現了從具體問題中抽象出數列模型，借助數列的相關知識解決問題的思想。教學中要重視錯位相減法的教學價值，重視等比數列求和公式中公比是否為1的討論，在公比取值范圍上要謹防學生片面地理解為只能是正的錯誤認識。另外，要正確理解一般數列通項公式和前n項和關系。 第三章 不等式 不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容。建立不等觀念，處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。根據課程標準，在

26、本章中，學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數之間的聯系。1內容與課程學習目標本章主要學習描述不等關系的數學方法，一元二次不等式的解法及其應用，線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應用等，通過學習，要使學生達到以下目標：（1）通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的數量關系、了解不等式（組）的實際背景。（2）經歷從實際情境中抽象出一元二次不

27、等式模型的過程；通過函數圖象了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖。（3）從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。（4）探索基本不等式 的證明過程；會用基本不等式解決簡單最大(小)值問題。2教學要求2.1基本要求（1）了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景；（2）理解不等式（組）對于刻劃不等關系的意義和價值；（3）會用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，能用不等式（組）研究含有不等

28、關系的實際問題；（4）理解并掌握不等式的基本性質。（5）了解從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；（6）理解一元二次不等式的概念；（7）通過圖象，理解并掌握一元二次不等式、二次函數及一元二次方程之間的關系；（8）理解并掌握解一元二次不等式的過程；（9）會求一元二次不等式解集；（10）掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想，會設計求解的過程；（11）了解從實際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程；（12）理解二元一次不等式（組）、二元一次不等式（組）的解集的概念；（13）了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區(qū)域）邊界的概念及實線、虛線邊界的含義；（14）會用二元一次不等式（

29、組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域；（15）了解線性約束條件、目標函數、線性目標函數、線性規(guī)劃、可行解、可行域、最優(yōu)解的概念；（16）掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法；（17）了解基本不等式的代數背景、幾何背景以及它的證明過程；（18）理解算術平均數，幾何平均數的概念；（19）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲档膯栴}；（20）通過基本不等式的實際應用，感受數學的應用價值。2.2發(fā)展要求（1）體會不等式的基本性質在不等式證明中所起的作用；（2）會從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題并加以解決。2.3說明（1）不等式的有關內容將在選修4-5中作進一步討論。（2）淡化

30、解不等式的技巧性要求，突出不等式的實際背景及其應用；（3）突出用基本不等式解決問題的基本方法，不必推廣到三個變量以上的情形。3綱標比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標教材數學第二冊（上）第六章 不等式（16課時）數學5第3章 不等式（約16課時）6.1不等式的性質(約3課時)3.1 不等關系與不等式(含不等式性質)(約2課時)6.2算術平均數與幾何平均數(約2課時)3.2 一元二次不等式及其解法(約3課時)6.3不等式的證明(約5課時)3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 (約2課時)6.4不等式解法舉例(約2課時)3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(約3課時)6.5含有絕對值的不等式(約2課時

31、)(閱讀與思考 錯在哪兒?)(閱讀材料 n個正數的算術平均數與幾何平均數)(信息技術應用 用excel解線性規(guī)劃問題舉例)小結與復習(約2課時)3.4 基本不等式(約3課時)數學第二冊（上）第七章 直線和圓的方程小結與復習(約3課時) 7.4簡單的線性規(guī)劃(約3課時)7.5研究性課題與實習作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應用（約4課時）3.2 內容主要變化原大綱教材中，一元二次不等式安排在“集合與簡易邏輯”之后，是學生剛步入高一就要學習的內容，而課標教材則安排在模塊5中，意圖在高二（上）學習，簡單的線性規(guī)劃問題從解析幾何直線和圓的方程中移到模塊5的不等式中，與二元一次不等式組成一個單元。不等式內容進一步整

32、編，刪除一元高次、分式不等式，把不等式證明后移到選修中，基本不等式則控制難度,只用于解決求最值問題。3.3 幾個特點 內容安排上的特點把簡單的線性規(guī)劃和不等式放在一起，將線性規(guī)劃問題作為不等式來處理，突出了不等式的幾何意義以及在解決優(yōu)化問題中的作用，有利于理解不等式的本質，體現優(yōu)化思想。 教學要求上的特點在不等式求解方面，課標對學生的基本要求進一步弱化，在大綱教材刪除了指、對數不等式和無理不等式的基礎上，又刪除了分式不等式、一元高次不等式求解，將絕對值不等式移至選修4-5(不等式選講)；不等式證明采取分步到位、螺旋上升的做法，在本章教學中，其基本要求是降低的。但在選修1-2（文科必選）、選修2

33、-2（理科必選）的推理與證明中，均提出用綜合法與分析法證明不等式。在選修4-5中，介紹了不等式證明的常用方法比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，進一步介紹了柯西不等式、排序不等式、均值不等式及其應用，還介紹了數學歸納法與貝努利不等式。二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題學習要求基本不變。 教學價值上變化不等式是原教材中的一個重點和難點，是培養(yǎng)學生思維能力和推理能力的一個很好素材，所以它強調理論敘述、推理嚴密、變化技巧，而課標則更加關注不等式的背景和實際應用，把不等式作為刻畫現實世界中不等關系的數學工具，作為描述優(yōu)化問題的一種數學模型，而不再把重點放在純理論的數學探究上。4. 教學內容分

34、析 章頭圖本章的章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望。3.1不等關系與不等式這一節(jié)的要求和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎，所以對它們歸結為幾個定理和推論，并給出了證明。而現在把所有的定理和推論整理為不等式的八大性質，并作一些簡要的說明，強調這些關于不等式的事實和性質是解決不等式問題的依據。建議在教學中不要對這些性質的證明作過多的糾纏，而應該在說明這些性質的合理性上舉例說明，引導學生進一步挖掘一些感興趣的和富有時代感的

35、素材，通過分析其中的基本數量關系，以加深學生對“不等關系是客觀事物的基本數量關系”的認識。也可以類比等式的基本性質，對一些不等式的推斷作一些分析驗證，通過類比，使學生認識不等式與等式性質之間的相同點與不同點。3.2 一元二次不等式及其解法在大綱教材的函數部分，借助于二次函數安排了二次不等式的內容。這樣安排已為廣大教師所接受，其好處也是多方面的。課標教材則把二次不等式的內容移至“必修5”，在“必修1”的函數內容中，強調函數“是描述現實世界變量之間的依賴關系的數學模型”，把重點放在函數概念的本質的理解、函數性質討論以及函數的實際應用上，其用意固然是為了防止教師在集合的學習與函數概念的教學中，在求解

36、定義域、值域等“細枝末節(jié)”的問題上對學生進行大量人為的、繁瑣的訓練，但這種“釜底抽薪”的做法似乎更多的是因為受到各個模塊課時的限制而造成的無奈，許多首批參與實驗的教師也對此提出質疑，認為這樣處理值得商榷。一元二次不等式解集的求法對于高一學生而言并不會感到困難，但理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關系，則要經歷觀察、思考、探究的過程。課標教材著眼于讓學生體驗知識形成過程的精心設計值得我們在教學中細心體味，無論是一元二次不等式模型的建立、解法的歸納，還是以填空的形式讓學生嘗試設計求解一般一元二次不等式過程的程序框圖，都為學生的思維活動留足了空間。這種從特殊到一般的處理方式符合學生

37、的認知規(guī)律，有助于學生了解知識的形成過程和來龍去脈，加深對知識的理解，以及對隱藏在知識發(fā)生過程中的數學思想方法的領悟。另外，教學中要控制不等式的難度，一般不要超出教科書的要求，一元二次不等式的求解只要達到基本要求即可，要淡化解不等式技巧性要求，要注意加強與函數、方程的聯系，積極滲透算法思想，突出不等式的實際背景及其應用，有關內容將在選修系列45中作進一步討論。3. 3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題不等式作為用來刻劃不等關系的有效工具，有著豐富的現實背景，不等式也是刻劃區(qū)域的重要工具，刻劃區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟，在現實生產、生活中，經常遇到的資源利用、人力調配、生產安排

38、等問題常?？蓺w結為二元線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是數學規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，它能解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題。教學中要注意從實際問題引入，著眼于不等式與實際問題的聯系，使學生明確數學問題源于生活且用于生活。由于線性規(guī)劃屬于多元條件極值問題，對高一學生有一定難度，因此教學中應當強調借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導學生體會線性規(guī)劃的基本思想，在其它方面的一些應用不宜作過多展開。另外，直線方程是平面解析幾何內容，根據指導意見先上模塊5、后上模塊2的順序，學生對直線的斜率、截距、平行直線系等概念尚不清晰，無疑這也將增加學習線性規(guī)劃的難度，有

39、人提出“讓線性規(guī)劃回去”，也是有一定道理的。 在本節(jié)內容的后面，教材安排了閱讀材料“錯在哪兒”和信息技術應用“用excel解線性規(guī)劃問題舉例”。前者提出的問題既有思考性又有挑戰(zhàn)性，對于同一道習題得到不同答案的類似問題情境學生常常經歷，也常常給學生帶來困惑，引導學生辨析糾錯，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性和反思意識。后者借助計算機為研究二元一次不等式組的解集表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題提供試驗探索平臺，從動手實踐、觀察猜想中發(fā)現規(guī)律，且有較強的操作性，可指導學生課外完成。3.4基本不等式： 本節(jié)主要內容是使學生了解基本不等式的代數、幾何背景及基本不等式的證明，通過基本不等式的實際應用，感受數學

40、的應用價值，重點是應用數形結合的思想理解基本不等式并從不同的角度探究其證明過程。根據課標立足基礎、螺旋上升的教學要求，教學時要突出用基本不等式解決問題的基本方法和基本的應用，如運用基本不等式可解決周長、面積、造價的最大（小）值問題等。對不等式證明的教學不必加深，基本不等式僅限于二元均值不等式，不必推廣到三個以上變量的情形，有關內容會在后續(xù)學習的選修1-2和選修2-2的推理與證明、選修4-5中的不等式選講中得到加強。教學中的幾點建議1關注數學情境的建立，重視反映數學的應用價值要關注數學情境的建立，充分挖掘現實世界和實際生活中有關數學實例，解三角形、數列和不等式三章內容有著豐富的實際背景，除了教科

41、書中的實例還有很多很好的相關的素材，教學過程中應該充分給予挖掘，力求問題的引入能夠反映一定的生活背景，激發(fā)學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值。在第一章“解三角形”中，引言就是從一個測量問題引入，在解三角形的過程中不斷與一些實際測量問題相聯系，如怎樣航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂的海拔高度？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？等等。第二章“數列”應自始至終貫徹“數列作為一種特殊函數，是反映自然規(guī)律的基本數學模型”的思想，創(chuàng)造性地發(fā)掘日常生活中的實際問題，深入探討教科書中大量實例，如存款利息、出租車收費、校園網問

42、題、希爾賓斯基三角形、斐波那契數列、放射性物質的衰變、諾貝爾獎金發(fā)放金額問題、商場計算機銷售問題、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數學等等。使學生充分感受到數列是反映現實生活的數學模型，體會數學是來源于現實生活，并應用于現實生活的。第三章“不等式”可從日常生活中經常用到的“長與短、”“大與小”、“多與少”、“遠與近”等實際情境中引入不等關系，如通過學生感興趣的上網問題引入一元二次不等式的有關概念，從中認識到學習不等關系及不等式的必要性。從銀行貸款中的資金分配問題中引入二元一次不等式組的數學模型，從現實生產、生活中，經常遇到的資源利用、人力調配、生產安排等問題中引入二元線性規(guī)劃問題。再如，結合北京召開

43、的第24屆國際數學家大會的會標，聯系我國古代數學家趙爽的弦圖，緊緊抓住弦圖中相關面積間存在的數量關系引入不等式。2重視各部分內容之間的聯系數學各部分的內容構成一個有機的整體，教師應充分注意這一點，并在教學中力求體現這種聯系。例如，在第一章中，對于正弦定理和余弦定理，應注意它們與已經學習的關于三角形的定性研究的結論的聯系。余弦定理的證明使用了向量的方法，不僅使定理的證明簡潔而明快，而且也能夠體現向量及其運算的作用。第二章則可有意識的關注數列與函數的關系，強調數列作為一種特殊函數的意義，有條件的話也可注意聯系算法和微積分思想，揭示“離散”和“連續(xù)”之間的關系。第三章則強調不等式與函數、方程的關系，在一元二次不等式的解法和簡單的線性規(guī)劃問題中，始終注意數與形的聯系，通過對不等式、函數與方程關系的理解來解決所面臨的不等式的問題。另外，在各章習題、探究性問題和