高數(shù)輔導(dǎo)之專題五間斷點(diǎn)

1、專題五基礎(chǔ)知識(shí)如果f（X）在點(diǎn)Xo處有下列三種情況之一，則點(diǎn)Xo是f（X）的一個(gè)間斷點(diǎn):（1）在點(diǎn)Xo處，f（X）沒有定義（2）lim f（x）不存在X X0（3） 雖然 lim f （x）存在，但 lim f（x）f（x0）X XoX Xo簡(jiǎn)單地說，不連續(xù)的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類：（1）左右極限都存在的間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)又可分為跳躍間斷點(diǎn)（左右極限不等）和可去間斷點(diǎn)（左右極限相等）。（2）左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn)。例題11. x o是函數(shù)y arctan 的X間斷點(diǎn)。511解：y arctan 在x o處沒有定義，故Xo是y arctan的間斷點(diǎn)，且

2、XX11lim arctan lim arctan-X oX22 X ox1從而x o是函數(shù)y arctan 的跳躍間斷點(diǎn)。X12X 12. X o是函數(shù)y 1 的間斷點(diǎn)。2X 1112X 12X 11在x o處沒有定義，故x o是y1的間斷點(diǎn)，且2X 12X 1解：y121 0 1lim T1x 010 12x 1121112 xlim廠lim4x 01x 012x112x口 11 012x 1從而x 0是函數(shù)y ?的跳躍間斷點(diǎn)。2x 1斷點(diǎn)，且是僅有的兩個(gè)間斷點(diǎn)。下面分別0和1的間斷點(diǎn)類型:3.函數(shù)f(x)2x ex(x11)的可去間斷點(diǎn)為解：f (x)2xx(x1)0和1處沒有定義，故0

3、和1是f(x)e2x 1x(x 1)的間斷點(diǎn)，且是僅有的兩個(gè)間斷點(diǎn)(因?yàn)閒 (x)是一個(gè)初等函數(shù),f (x)在它的定義域內(nèi)都是連續(xù)的)面分別0和1的間斷點(diǎn)類型:2xx(x2xx(x 1)limx 0 x 12xx(x11)2x1lim x 1 x 1(e2 1)從而x 0是函數(shù)f (x)e2x 1x(x 1)的可去間斷點(diǎn),x 1是第二類間斷點(diǎn)。4.函數(shù)f (x)X|1 x|ln |x|的可去間斷點(diǎn)為解：f (x)X|1 x|In | x | 在 x0和1處沒有定義，故0和1是f (x)|1xx|xIn |1 x|x|Xm0xl n|x|xm0In |x|1xnimx (1 斤)1lim x 0

4、12 x1叫(x)In|1 x|x|lim In xx 1 1 xIn x lim x x(x 1)(x 2)2 1 x1lim x 111limxIn | x | liml nxx 1 |1 x |x 1 x 1lim血x 1 x 1lim x 11從而x 0是函數(shù)f (x)X|1 x|In |x|的可去間斷點(diǎn),5.討論函數(shù)f (x)limnx(x2n2n衛(wèi)的定義域、連續(xù)性,1x 1是跳躍間斷點(diǎn)。若有間斷點(diǎn)，指出其分類。解：f(X)limnx(x2n1)x2n 1limnx(x2n 1)2x2n1x (1limn2 n(X )X (12 lim(x2)n n分三種情形說明:(1 )當(dāng) 0 x21 時(shí)，f (X) X (1 二)X0 1(2) 當(dāng) X21 時(shí)，2f(X) X (1)01 1(3) 當(dāng) X21 時(shí)，2f (X) X (1) X1亦即X,X 10,x1f (x) X, 1 X 10,x1x,x 1故定義域?yàn)?),X 1為僅有的兩個(gè)(跳躍)間斷點(diǎn)，在其它點(diǎn)處連續(xù)。習(xí)題1.討論函數(shù)f (x)的定義域、連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其分類。3X X2.討論函數(shù)f(x)lim arctanQ xn)的定義域、連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其分類。13. 設(shè)f(x) lim 需，則在(，)內(nèi)f (x)是 n 1 xA.初等函數(shù)