三余弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用

1、-作者xxxx-日期xxxx三余弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用【精品文檔】三余弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用教材研究1.公式的推證及兩個(gè)重要推論2OABCl1圖1 命題：設(shè)OB平面，B為垂足，OA是平面的斜線，A為斜足.OAB=，l是平面內(nèi)的任一直線，l與AB所成的角為，l與OA所成的角為，如圖1.則： （三余弦公式）. 證法1：過斜足A引l的平行線AC，則OAC=,BAC=. 再過B作BCAC，連OC，則易知ACOC， 由直角三角形中三角函數(shù)的定義有： .證法2：設(shè)，則 , . 又 ， .由于0190. 所以cos10，則，由此可得：推論1：此即三垂線及其逆定理.又由于01 所以cos1，從而1，由此可得：推論

2、2：（最小角定理）平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角.2.公式的應(yīng)用舉例ASBC圖22.1.在幾何論證方面的應(yīng)用： 例1.求證:將長(zhǎng)方體截取一角后的截面是銳角三角形. 證明：如圖2，設(shè)四面體SABC是長(zhǎng)方體截取一角，則易知： AS平面BSC，由三余弦公式知： cosABC= cosABScosCBS， CBS，ABS都是銳角 cosABS, cosCBS都大于0，從而cosABC大于0. 又 ABC是三角形的一內(nèi)角, ABC是銳角. 同理可得：BAC、BCA也都是銳角.故 三角形ABC是銳角三角形.注：此問題的證法很多,上述證法是證明此結(jié)論的

3、所有證法中較為簡(jiǎn)單的一種.想一想：已知平面，直線AB與、所成的角分別為，則（ ）. A.等于90， B.小于90， C.不大于90， D.不小于90.2.2利用它處理與線面所成角有關(guān)的問題： 例2.PA、PB、PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（ ）. A. ， B. ， C. ， D.PCABD圖3 解：如圖3， CPB=APC=60 PC在平面APB上的射影PD 是APB的角平分線，即DPB=30.由三余弦公式得： cos60=cos30cosDPC 則cosDPC=. 即直線PC與平面PAB所成角的余弦值為.故選C.例3.有一東西

4、方向的河流，離河岸若干米處有一探照燈，照著岸邊的某點(diǎn)B，探照燈在點(diǎn)B的正東北方向，照射B點(diǎn)的光線與地面成60角，求該光線與岸邊所成角的余弦值.DBCA東圖4解：如圖4，設(shè)AD為探照燈，BC為河岸，則AD水平面ABC， 由已知有：ABC=45，ABD=60.由三余弦公式得： cosDBC=cos45cos60=. 即 燈光與岸邊所成角的余弦值是. 想一想： 設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，求點(diǎn)A到平面BCD的距離AO及其體積. 【引申】通常情況下與2是銳角.若與2同為鈍角時(shí)，三余弦公式仍成立，且有更廣泛的用途.ABCDC1l圖5例4.如圖5.在直二面角的棱l上有點(diǎn)A,在內(nèi)各有一條射線AB、AC，它

5、們與l均成45的角，且AB在平面內(nèi)， AC在平面內(nèi)，求BAC的大小. 解：（1）當(dāng)AB、AC是如圖所示狀態(tài)時(shí)， 二面角是直二面角， .過B作BD垂直l于D，由三余弦公式得: cosBAC =cos45cos45=, BAC=60. （2）當(dāng)AC是如圖所示AC1狀態(tài)時(shí)，cosBAC =cos45cos135= - BAC=120 綜上知 BAC=60或120.ABNMOCDDCNMABO圖6 例5.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是邊AD、BC上的點(diǎn)，MNAB,MNAC=O.現(xiàn)正方形ABCD沿MN折成直二面角(如圖6),時(shí), AOC是否發(fā)生變化?試說明理由. 解：此題的常規(guī)方法是：通過計(jì)

6、算，將AO、OC、AC分別用x表示出來，然后由余弦定理算出cosAOC= -是常數(shù)(計(jì)算量較大).從而得出結(jié)論.若換個(gè)角度來看：則易知：NOC=45, NOA=135,由三余弦公式有：cosAOC =cos45cos135= -，可很快可得結(jié)論. 點(diǎn)評(píng)：由以上幾例可以看出，在涉及直線與平面所成角的問題時(shí).若能充分利用三余弦公式，可做到思路簡(jiǎn)單、計(jì)算簡(jiǎn)便，收到事半功倍之效.FBFAEDCMOAEDBCMO圖7 想一想：如圖7.把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角BACD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，O是正方形的中心，求折起后EOF的大小. 2.3.利用它處理與兩異面直線所成角有關(guān)的問題：例

7、6.如圖8所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在B1C1、C1C上，且ABCDD1A1B1C1FE圖8,求異面直線A1B與EF所成角的余弦值.解： A1B1平面BB1C1C A1B與平面BB1C1C所成角為45. 又, EFC1=30 即EF與C1C所成角為30, 亦即EF與B1B所成角為30.設(shè)A1B與EF所成角為，則由三余弦公式可得：cos= cos450cos30= . 異面直線A1B與EF所成角的余弦值為. 例7.已知異面直線a、b所成的角為=60，點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn).（1）過P點(diǎn)與直線a、b所成的角均為=45的直線有幾條？（2）過P點(diǎn)與直線a、b所成的角均為

8、=60的直線有幾條？（3）過P點(diǎn)與直線a、b所成的角均為=70的直線有幾條？ 解：（1）如圖9，過點(diǎn)O引異面直線a、b的平行線OA、OB，OPADBab圖9l則問題轉(zhuǎn)換為求過點(diǎn)P與OA、OB所成的角均為45的直線的條數(shù). OP與OA、OB成等角45 OP 在由OA、OB確定的 平面內(nèi)的射影OD是AOB的平分線，即DOB=30. 由三余弦公式可得：cosPOB = cos45cosPOD,cos45= cos30cosPOD，1， 這樣的直線OP如圖9存在一條，又由對(duì)稱性在l的另一側(cè)也存在一條. 再考慮到AOBD的補(bǔ)角的情形，由三余弦公式，cos45 = cos60cosPOD1, 1, 此種情

9、形的直線不存在. 綜上所述知，滿足條件的直線有2條. （2）同（1）的分析，滿足條件的直線存在與否就是看等式：1（有2條）,=1（只1條）,從而知滿足條件的直線有3條. （3） 1（有2條）,1（有2條）, 滿足條件的直線有4條. 點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)異面直線a、b所成的角為，過P且與a、b所成的等角為.則當(dāng)：1“1”（2條）；“=1”（1條）；“1”（0條）. 2“1”（2條）；“=1”（1條）；“1”（0條）.然后將上述1、2兩種情形合并即可. 想一想： 設(shè)異面直線a、b所成的角為50，點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn),問過P點(diǎn)與直線a、b所成的角均為45的直線有幾條？PBAO圖10變式:(09重慶高考)已

10、知二面角的大小為1=50，點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn),過P且與平面和平面所成的角均為1=25的直線的條數(shù)為( ) A、2, B、3, C、4, D、5. 解:如圖10.過點(diǎn)P分別作平面、的垂線PA、PB. 設(shè)由垂線PA、PB確定的平面與交于點(diǎn)O，則易知： AO，BO，即AOB為二面角的平面角. AOB=50，則APB=130.又過P的直線與平面和平面所成的角均為25， 問題轉(zhuǎn)化為為過點(diǎn)P與PA、PB均成65的直線的條數(shù)問題了.由例4（3）我們已知滿足條件的直線有3條.故選B.AFEBCBCAFE圖11點(diǎn)評(píng)：一般地，此類問題可轉(zhuǎn)化為=180-1，=90-1時(shí),例4的情形.【練習(xí)】1.如圖11.在RtAB

11、C中，AB=BC，E、F分別是AC，AB的中點(diǎn)，以EF為棱把它折成直二面角AEFBC，設(shè)AEC=，求cos.并將此與上述例5及想一想進(jìn)行比較.DABC圖12 2.已知平面內(nèi)有xoy=60，OA是的斜線，且OA=10，Aox=Aoy=45，則A到平面的距離為（ ）. 3.在三棱錐DABC中，DA平面ABC，ACB=90，ABD=30,AC=BC，求異面直線AB與CD所成的角.AB21CD圖13【部分問題參考答案】想一想 解析:如圖,過A、B分別作棱的垂線AC、BD，則易知，ABC=，BAD=,又設(shè)ABD=，由最小角定理知，.而90，則 90， 故選C.ABCDO圖14想一想 解： 四面體ABCD是正四面體 AB在底面BCD上的射影是CBD的角平分線，如圖，由三余弦公式得：cos60=cosABOcos30， cosABO=.于是sinABO= ， AO=a. 其體積為：.想一想 解:過點(diǎn)E作EMAC于M， 在折疊的過程中，EOA=45, FOA=135,沒有發(fā)生變化，由三余弦公式, cosEOF=cos45cos135= -， EOF=120. 想一想 提示:2條. 【練習(xí)】 1.提示:120，此問題與例4等實(shí)質(zhì)上是一致的. 2.解：設(shè)OA與平面所成的角為，則