勾股定理知識點總結(jié)匯編.doc

1、學(xué)習(xí) - 好資料勾股定理全章知識點歸納總結(jié)一基礎(chǔ)知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、 b 的平方和等于斜邊c 的平方。（即： a2+b 2c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系， 是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（ 1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC 中，C 90 ，則 ca 2b2 ，bc2a2 ， ac2 b 2 ）（ 2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（ 3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、 b、c，則有關(guān)系 a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆

2、定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（ 1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（ 2）驗證 c2 與 a2+b2 是否具有相等關(guān)系，若 c2a2+b2，則 ABC 是以 C為直角的直角三角形222222（若 c a +b ，則 ABC 是以 C為鈍角的鈍角三角形；若c a +b ，則 ABC為銳角三角形）。（定理中 a ， b ， c 及 a 2b 2c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長 a ， b ， c 滿足 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形

3、，但是 b 為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；DCHE GF聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三bacBA角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)， 這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜

4、邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長222a，b， c 有下列關(guān)系： a +b c ，?那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法5.?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對 “數(shù)形結(jié)合 ”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后，只要沒有

5、重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：4S正方形 EFGH122，化簡可證SS正方形 ABCD， 4ab(b a )c2更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為ba122aS2ab ccb4ab cc2cbca大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以 a2b2c2abDCHEGF111ba方法三： S梯形( ab)(ab) ， S梯形2S ADES ABE2abc2 ，化AcB222AaD簡得證cb6：勾股數(shù)cEa 能夠構(gòu)成直

6、角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即BbCa 2b2c2 中， a ， b ， c 為正整數(shù)時，稱 a ， b ， c 為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)： n21,2n, n21（ n2, n 為C正整數(shù)）；22n,2 n22n 1 （ n 為正整數(shù)） m222n2D2n 1,2nn ,2 mn, mBA（ mn, m ， n 為正整數(shù)）二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 .在 ABC 中，C90已知 AC6， BC8求 AB 的長已知 AB17， AC 15

7、 ，求 BC 的長分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2b2c2解： AB22ACBC10更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料 BCAB2AC28題型二：利用勾股定理測量長度例題 1 如果梯子的底端離建筑物 9 米，那么 15 米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后， . 已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理2222222所以 AC=12.AC+BC=AB,即 AC+9 =15 , 所以 AC=144,例題 2如圖（ 8），水池中離岸邊D點 1.5 米的 C處，直立長著一根蘆葦，出水部分

8、BC的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊， 它的頂端 B 恰好落到 D點，并求水池的深度AC.解析： 同例題 1 一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知 ACD中, ACD=90 , 在 Rt ACD中，只知道 CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖 2，根據(jù)勾股定理，222AC+CD=AD設(shè)水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.5 2=（ x+0.5 ）2更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料解之得 x=2.故水深為2 米.題型三 ：勾股定理和逆定理并用例題3如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中

9、點， F 是AB上一點，且 FB1 AB4那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FB1 AB 可以設(shè) AB=4a，那4么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF和 Rt CDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細解題步驟如下：解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為 4a, 則 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a222222在 Rt CDE中， DE=CD+CE=(4

10、 a)+(2 a) =20a同理 EF2=5a 2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a 2+ 20a 2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90 .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四 ：利用勾股定理求線段長度例題 4 如圖 4，已知長方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在邊 CD上取一點 E，將 ADE 折疊使點 D恰好落在 BC邊上的點 F，求 CE的長 .更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料解析： 解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細解題過程如下：解：根據(jù)題意得Rt ADERt AEF AFE=90 , A

11、F=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm，則 DE=EF=CD CE=8 x在 Rt ABF中由勾股定理得：222222AB +BF=AF，即 8 +BF=10 ， BF=6cm CF=BC BF=106=4(cm)在 Rt ECF中由勾股定理可得：222222EF =CE+CF，即 (8 x) =x +4 64 16x+x2=2+16 x=3(cm), 即 CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題 5 如圖 5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和 CD邊，他測得 AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，A

12、D邊與 AB邊垂直嗎？怎樣去驗證 AD邊與 CD邊是否垂直？解析： 由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料通常截取部分長度來驗證。如圖 4，矩形 ABCD表示桌面形狀，在 AB 上截取 AM=12cm,在AD上截取 AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？ ) ，連結(jié) MN，測量 MN的長度。222如果 MN=15,則 AM+AN=MN, 所以 AD邊與 AB邊垂直；如果 MN=a15, 則 92+122=81+144=225, a2 225, 即 92+122 a2，所以 A 不是直角。利用勾股定理解決實際問題例題 6 有一個傳感器控制的燈，安裝在

13、門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5 米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高 1.5 米的學(xué)生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？解析： 首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5 米還是腳先距離燈 5 米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 6 所示， A 點表示控制燈， BM表示人的高度， BC MN,BC AN當(dāng)頭（ B 點）距離 A有 5 米時，求 BC的長度。已知AN=4.5 米 , 所以 AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米 .即使要走到離門4 米的時候燈剛好打開。題型六 ：旋轉(zhuǎn)問題：例 1、如圖， ABC 是直角三角形， BC 是斜邊，將 ABP 繞點 A 逆時

14、針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP重合，若 AP=3，求 PP的長。變式 1：如圖， P 是等邊三角形ABC內(nèi)一點， PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的邊長 .分析：利用旋轉(zhuǎn)變換， 將 BPA繞點 B逆時針選擇 60，將三條線段集中到同一個三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.變式 2、如圖， ABC為等腰直角三角形，BAC=90， E、 F是 BC上的點，且 EAF=45，試探究 BE 2、CF 2、 EF 2 間的關(guān)系，并說明理由.更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料題型七 ：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片 ABCD 的邊 AB=10cm ，BC=6cm ，E 為 B

15、C 上一點，將矩形紙片沿 AE 折疊，點 B 恰好落在 CD 邊上的點 G 處，求 BE 的長 .變式：如圖， AD 是 ABC 的中線， ADC=45，把 ADC 沿直線 AD 翻折，點 C 落在點 C的位置， BC=4,求 BC的長 .題型八 ：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：例 1、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在 P 點處交匯， 點 A 處有一所中學(xué)， AP=160 米，點 A 到公路 MN 的距離為 80 米，假使拖拉機行駛時，周圍100 米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN 上沿 PN 方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18 千米 / 小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？題型九 ：關(guān)于最短性問題更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料例 5、如右圖119 ，壁虎在一座底面半徑為2 米，高為 4 米的油罐的下底邊沿A 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正