課堂實錄(數(shù)學(xué)太原進山中學(xué)劉媛媛)2 (2)

1、課堂實錄1.3.1單調(diào)性與最大(小)值第一課時劉媛媛單位：太原進山中學(xué)聯(lián)系電話：130153835361.3.1單調(diào)性與最大（?。┲档谝徽n時教學(xué)目標：1.建立增（減）函數(shù)的概念從初中知識入手，通過觀察一些函數(shù)圖像的升降，形成增（減）函數(shù)的直觀認識。再通過具體函數(shù)值的大小比較，認識函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）的規(guī)律，由此得出增（減）函數(shù)的定義。掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法與步驟。2.函數(shù)的單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學(xué)語言，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程，在這個過程中，讓學(xué)生通過自主探究活動，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程，使學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)思考的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)

2、學(xué)思維能力。課堂實錄：師：同學(xué)們好!生：老師好！師：我是來自太原進山中學(xué)的劉媛媛老師，今天來和大家共同學(xué)習一節(jié)課。在開課之初，老師想問一下同學(xué)們你們認識羅納爾多、貝利么？生：認識，是踢足球的，是球星。（學(xué)生的興趣很高）師：那你們肯定知道足球中有一個術(shù)語叫“過頂長傳”。同學(xué)們可以描述一下，在球王踢出過頂長傳后，足球距離地面的高度隨時間的變化而如何變化呢？生：剛開始時，足球被球王踢起來，足球距離地面的高度隨著時間的增加而增加，當達到最高點時，足球距離地面的高度隨著時間增加反而減小。（學(xué)生回答不很準確，互相之間補充完整）師：足球距離地面的高度隨著時間的增加而增加或減小的這種性質(zhì)，就是我們這節(jié)課要研究

3、的內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性。板書課題:1.3.1函數(shù)的單調(diào)性。師：初中我們學(xué)過函數(shù)，那么學(xué)過哪些函數(shù)呢?生：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、三角函數(shù)。（同學(xué)搶答，大多數(shù)同學(xué)都指出前四種函數(shù)，只有個別學(xué)生指出三角函數(shù)）師：正比例函數(shù)和一次函數(shù)之間有沒有聯(lián)系？生：正比例函數(shù)是特殊的過原點的一次函數(shù)，可以包括在一次函數(shù)里面。（學(xué)生們互相之間解答問題）。師：學(xué)過這么多的函數(shù)，我們想要研究函數(shù)的性質(zhì)，可以采取什么辦法？借助什么工具？生：借助函數(shù)的圖象。（開始學(xué)生想不到，但提示后很快說出）師：現(xiàn)在來看一下我們所熟悉的兩個函數(shù)的圖象。幾何畫板演示：y=-2x+1與 y=x2圖象上的點，隨著橫坐標的變化

4、，縱坐標的變化情況。師：一次函數(shù)y=-2x+1的圖象，當直線上的點在運動時，觀察它的橫縱坐標，也就是x、y的變化情況。（初中曾講過）生：x在逐漸變大，對應(yīng)的y在減小。（問題對于學(xué)生很簡單，很快做出回答，且答案很準確）師：那么大家會發(fā)現(xiàn)y隨著x的增大如何變化？生：y隨著x的增大而減小。師：板書：y隨著x的增大而減小。師：來看第二個函數(shù)y=x2，在對稱軸左側(cè)y隨著x的變化情況？生：y隨著x的增大而減小。師：在對稱軸右側(cè)呢？生：y隨著x的增大而增大。師：板書：y隨著x的增大而增大。我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)有兩種變化情況，y隨著x的增大而增大，y隨著x的增大而減小。那么結(jié)合圖象來看，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而

5、減小時，圖象從左向右看呈什么變化趨勢？生：下降趨勢。（只是說出了變化趨勢，沒有說明從什么方向看，有個別同學(xué)說的比較完整，教師要強調(diào)）師：而在對稱軸右側(cè)呢？生：圖象從左向右看呈上升趨勢。師：總結(jié)出函數(shù)有兩種變化趨勢，那么老師怎樣畫圖象就能表示y隨著x的增大而增大呢？生：圖象畫成上升的。師：圖象從左向右看是上升的。板書圖象：xyo那么同樣類似的，y隨著x的增大而減小時呢？生：圖象從左向右看是下降的。師：板書圖象 xyo師：大家會看到，我們用圖形語言去描述函數(shù)圖像的上升、下降趨勢，用自然語言描述了y隨著x的變化情況，那老師想問：數(shù)學(xué)是符號的語言，大家可以用符號表述這樣的變化規(guī)律呢？也就是怎么樣用數(shù)學(xué)

6、式子表示y隨著x的變化情況呢？提示學(xué)生：y隨著x的增大而增大，怎么體現(xiàn)x的增大呢？生：取幾個值，然后對應(yīng)的y值進行比較。師：那么取幾個值合適呢？生：取兩個。（學(xué)生對此問題爭論較大，有兩個、三個、四個、五個等，意見不統(tǒng)一，但大多數(shù)說兩個，舉手回答的同學(xué)說是兩個）師：取兩個x的值x1 與 x2，板書：xyo這兩個值的大小關(guān)系呢？生：x1 x2師：板書x1 x2那么f（x1）與f（x2）呢？生：f（x1）f（x2）（該學(xué)生在教師作圖后才得出結(jié)論）師：板書：xyo f（x1）f（x2）師：剛才有同學(xué)說五個才夠，到底取x的幾個值合適呢？生：兩個就夠了，因為兩個就體現(xiàn)了它們的大小關(guān)系了。（大多數(shù)學(xué)生對這個

7、問題不太理解，學(xué)生爭議較大，在后面設(shè)置專門的問題來解決）師：三個、四個、五個等等都應(yīng)該滿足這個關(guān)系才行，更準確的說，要讓所研究的x的值都滿足這個規(guī)律才行?，F(xiàn)在我們來下個定義，滿足這個關(guān)系的，我們稱之為？生：增函數(shù)。（學(xué)生提前預(yù)習，很快得出）師：板書不完全的定義：x1 x2 f（x1）f（x2） 那么就說f（x） 是增函數(shù) 類似的，當y隨著x的增大而減小呢？生：當x1 f（x2）， f（x）為減函數(shù) 師：配合學(xué)生作圖xyo板書不完全定義：x1 f（x2） 那么就說f（x） 是減函數(shù) 接下來，我們通過一些具體函數(shù)，來看一下，我們大家一起得到的定義有沒有忽略掉一些情況。展示幻燈片分析下面函數(shù)的圖象x

8、yo根據(jù)大家剛才得到的定義，分析一下這個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？學(xué)生討論后由一名學(xué)生代表發(fā)言。生：y軸左邊是減函數(shù)，y軸右邊是增函數(shù)，是分情況的，也就是f（x）在(-,0上是減函數(shù)，在（0，+）上是增函數(shù)。（學(xué)生很容易說出y軸左邊是減函數(shù)，y軸右邊是增函數(shù)，是分情況的，而后面區(qū)間的表示，學(xué)生在老師的提示下，才得到）師：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，所以我們在定義中應(yīng)指出：函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域上的某個區(qū)間上的性質(zhì)。由學(xué)生歸納總結(jié)：師：補充板書定義：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I， 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的 兩個自變量的值x1 、x2 在這個區(qū)間D上 在這個區(qū)間D上師：展示幻燈片：y=

9、1/xyxo結(jié)合定義和圖象，分析該函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？學(xué)生思考，同桌互相討論。生：取x1=-2，y1=-，x2=2，y2=，當x1x2時,y1y2所以是減函數(shù)。生：不是，根據(jù)定義是增函數(shù)。（學(xué)生爭論，結(jié)論不一）師：那么大家從圖象的上升、下降趨勢看呢？生：在（-，0）上是減函數(shù)，在（0，+）上是減函數(shù)。師：那么為什么由定義得到的結(jié)論和從圖象上直觀得到的結(jié)論有所不同呢？生：換兩個值就行如取2、3 師：我們看到只取兩個特定的自變量的值行么？生：不行。師：所以應(yīng)該取定義域上某個區(qū)間上的怎樣的兩個自變量的值呢？生：任意的。師：由于是任意取的兩個自變量的值，所以隨著自變量的值的任意性，可以取到定義域上

10、某個區(qū)間內(nèi)所有的自變量的值，使它們都滿足這個條件。師：我們一起來補充完整定義：(師生共同完成)板書：一、定義任意 都有 都有師：如果只是對自變量的某幾個值成立，則不能稱之為增函數(shù)或減函數(shù)。如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間。展示幻燈片：函數(shù)的單調(diào)性的定義。師：學(xué)了單調(diào)區(qū)間的定義，大家能指出這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間么？（y=-2x+1，y=x2）生：第一個是實數(shù)集R。師：那么大家可以發(fā)現(xiàn)這個區(qū)間有時可以是整個定義域區(qū)間。那第二個呢?生：第二個是(-,0),0，+）。師：老師和大家寫的不一樣,(-,0

11、（0，+）。為什么呢？那0應(yīng)該包含在那個區(qū)間呢？生：兩個都行。師：為什么呢？生：因為是一個點，不存在單調(diào)性。（學(xué)生有多種回答，但主要思想差不多，可是不是很準確）師：對了，因為單點不存在上升或下降的趨勢，所以不存在單調(diào)性，如果定義域中包含這個點，那么把它放在兩個單調(diào)區(qū)間其中之一都行。師：我們學(xué)習了函數(shù)的單調(diào)性，現(xiàn)在我們來實戰(zhàn)演習一下。展示幻燈片例1.給定y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出y=f（x)在-5，5 上的單調(diào)區(qū)間和它在每一單調(diào)區(qū)間上的增減性學(xué)生自己做題，教師詢問個別學(xué)生，此題難度不大，很多同學(xué)可脫口而出，但區(qū)間的端點易丟。生：函數(shù)在-5, -2）上是減函數(shù), 在-2, 1）上是增函數(shù),在

12、1, 3）上是減函數(shù)，在3, 5上是增函數(shù)師：單調(diào)區(qū)間呢？生：-5, -2）、 -2, 1）、 1, 3）、 3, 5師：大家剛才是根據(jù)什么很快得到結(jié)論了呢？生：從左向右看圖象呈上升趨勢，函數(shù)是增函數(shù)，反之，從左向右看圖象呈下降趨勢，函數(shù)是減函數(shù)。師：大家可以根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性。展示幻燈片：例2.證明函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù)Oxyy=-2x+1y1y2x2x1學(xué)生思考一段時間，但是學(xué)生似乎沒有什么思路，所以教師做了適當?shù)奶崾尽煟何覀儚膱D象上可以很快的觀察出來，但是如何嚴格的證明呢？生：用定義。生：任取定義域上的兩個自變量的值x1，x2師：這個函數(shù)定義域是什么？生：R師：板

13、書：設(shè)x1、x2是R上的任意兩個實數(shù)。那么取兩個特殊值的可以么？生：不行，必須是任意的。師：那么取出任意的兩個自變量的值，接下來要驗證什么，才能說明這個函數(shù)是減函數(shù)呢？生：證明當x1 f（x2）。師：板書x1 f（x2）有同學(xué)說出x1 x2，所以教師給與了適當?shù)慕忉尅煟耗侨绻窃O(shè)x1 x2呢，那么要證明什么呢？生：f（x1）f（x2）師：不妨以x1 x2為例，怎么才能證明呢？已知是x的關(guān)系式，所要求證的是f（x）的關(guān)系？生：根據(jù)解析式。師：板書：（學(xué)生口答）f（x1）=-2x1+1，f（x2）=-2x2+1我們找到了f（x）與x的關(guān)系，可是怎么通過這些條件，比較兩個值的大??？生：減。師：也

14、就是作差，那作差后要干什么呢？生：如果結(jié)果是正數(shù)，那么就是大數(shù)減小數(shù)，如果是負的，就是小數(shù)減大數(shù)。師：也就是結(jié)果要和0比較大小，從而知道兩個數(shù)的大小。板書：f（x1）-f（x2）師：作差后呢？生：代入。師：為什么要代入呢？生：已知條件是x的關(guān)系式，而所求證的是f（x）的關(guān)系式，而解析式可以聯(lián)系兩者。師：板書：（學(xué)生口答）f（x1）-f（x2）=-2x1+1-（-2x2+1）接下來怎么做？生：變形。師：板書（學(xué)生口答）f（x1）-f（x2）=-2x1+1-（-2x2+1）=-2（x1-x2）師：變形到什么時候就可以了呢？生：可以判斷符號。師：板書（學(xué)生口答） x1 x2x1-x20f（x1）-f（x2）0f（x1）f（x2）f（x）=-2x+1在R上是減函數(shù)。師：咱們來回顧一下用定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程。生：首先設(shè)出定義域某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2接著作差比較f（x1）與f（x2）大?。ㄗ冃蔚娇梢耘袛嗾摓橹梗┳詈笙陆Y(jié)論：函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。師：結(jié)合書上的思考題，做一道練習題。練習：學(xué)生思考，獨立完成后，互相討論，大多數(shù)學(xué)生都能得出正確的解答，但有一些學(xué)生在作差后變形，不知該變形到什么程度就可以，還有一些同學(xué)說：0x1 x2，所以這種方法是否正確。師：展示學(xué)生的結(jié)果。讓學(xué)生互