實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（二）

1、復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：列方程解應(yīng)用題有哪些步驟列方程解應(yīng)用題有哪些步驟 對(duì)于這些步驟，應(yīng)通過(guò)解各種類型的對(duì)于這些步驟，應(yīng)通過(guò)解各種類型的 問(wèn)題，才能深刻體會(huì)與真正掌握列方程解問(wèn)題，才能深刻體會(huì)與真正掌握列方程解 應(yīng)用題。應(yīng)用題。 上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了解決上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了解決“平均平均 增長(zhǎng)增長(zhǎng)(下降下降)率問(wèn)題率問(wèn)題”，現(xiàn)在，我們要學(xué)，現(xiàn)在，我們要學(xué) 習(xí)解決習(xí)解決“面積、體積問(wèn)題面積、體積問(wèn)題。 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（二）實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（二） 面積、體積問(wèn)題面積、體積問(wèn)題 一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入 1直角三角形的面積公式是什么？直角三角形的面積公式是什么？ 一般三角形的面積公式是什么呢？一般三

2、角形的面積公式是什么呢？ 2正方形的面積公式是什么呢？正方形的面積公式是什么呢？ 長(zhǎng)方形的面積公式又是什么？長(zhǎng)方形的面積公式又是什么？ 3梯形的面積公式是什么？梯形的面積公式是什么？ 4菱形的面積公式是什么？菱形的面積公式是什么？ 5平行四邊形的面積公式是什么？平行四邊形的面積公式是什么？ 6圓的面積公式是什么？圓的面積公式是什么？ 要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面,封面長(zhǎng)封面長(zhǎng)27,寬寬21,正中正中 央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形,如果如果 要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之 一一,上、下邊襯等寬上

3、、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)應(yīng)如何設(shè) 計(jì)四周邊襯的寬度計(jì)四周邊襯的寬度? 27 21 分析分析:這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比是這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比是9:7,依題知正中依題知正中 央的矩形兩邊之比也為央的矩形兩邊之比也為9:7 解法一解法一:設(shè)正中央的矩形兩邊分別為設(shè)正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm 依題意得依題意得 2127 4 3 79 xx 解得解得 2 33 1 x),( 2 33 2 舍去不合題意x 故上下邊襯的寬度為故上下邊襯的寬度為: 左右邊襯的寬度為左右邊襯的寬度為: 8 . 1 4 32754 2 2 33 927 2 927 x 4 . 1 4 32142 2

4、 2 33 721 2 721 x 要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面,封面長(zhǎng)封面長(zhǎng)27,寬寬21,正中正中 央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形,如果如果 要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之 一一,上、下邊襯等寬上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)應(yīng)如何設(shè) 計(jì)四周邊襯的寬度計(jì)四周邊襯的寬度? 27 21 分析分析:這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比是這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比是9:7,正中央的正中央的 矩形兩邊之比也為矩形兩邊之比也為9:7,由此判斷上下邊由此判斷上下邊 襯與左右邊襯的寬度之比也為襯與左右邊襯的寬度之比

5、也為9:7 解法二解法二:設(shè)上下邊襯的寬為設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為，左右邊襯寬為7xcm 依題意得依題意得 2127 4 3 )1421)(1827(xx 解方程得解方程得 4 336 x (以下同學(xué)們自己完成以下同學(xué)們自己完成) 方程的哪個(gè)根合方程的哪個(gè)根合 乎實(shí)際意義乎實(shí)際意義? 為什么為什么? 例例1. (2004年年,鎮(zhèn)江鎮(zhèn)江)學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一 塊長(zhǎng)塊長(zhǎng)40米、寬米、寬20米的長(zhǎng)方形空地上計(jì)劃新建一塊米的長(zhǎng)方形空地上計(jì)劃新建一塊 長(zhǎng)長(zhǎng)9米、寬米、寬7米的長(zhǎng)方形花圃米的長(zhǎng)方形花圃. （1）若請(qǐng)你在這塊空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，）若請(qǐng)你在這

6、塊空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形花圃， 使它的面積比學(xué)校計(jì)劃新建的長(zhǎng)方形花圃的面積使它的面積比學(xué)校計(jì)劃新建的長(zhǎng)方形花圃的面積 多多1平方米，請(qǐng)你給出你認(rèn)為合適的三種不同的方平方米，請(qǐng)你給出你認(rèn)為合適的三種不同的方 案案. （2）在學(xué)校計(jì)劃新建的長(zhǎng)方形花圃周長(zhǎng)不變的情）在學(xué)校計(jì)劃新建的長(zhǎng)方形花圃周長(zhǎng)不變的情 況下，長(zhǎng)方形花圃的面積能否增加況下，長(zhǎng)方形花圃的面積能否增加2平方米？如果平方米？如果 能，請(qǐng)求出長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)和寬；如果不能，請(qǐng)能，請(qǐng)求出長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)和寬；如果不能，請(qǐng) 說(shuō)明理由說(shuō)明理由. 解解: (1) 方案方案1：長(zhǎng)為：長(zhǎng)為 米，寬為米，寬為7米米; 7 1 9 方案方案2：長(zhǎng)為：長(zhǎng)為16米，

7、寬為米，寬為4米米; 方案方案3：長(zhǎng)：長(zhǎng)=寬寬=8米米; 注：本題方案有無(wú)數(shù)種注：本題方案有無(wú)數(shù)種 （2）在長(zhǎng)方形花圃周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)方形花）在長(zhǎng)方形花圃周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)方形花 圃面積不能增加圃面積不能增加2平方米平方米. 由題意得長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和為由題意得長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和為16米米.設(shè)長(zhǎng)方形花圃設(shè)長(zhǎng)方形花圃 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為x米，則寬為（米，則寬為（16-x）米）米. x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0， 046514)16(4 2 2 ac b 此方程無(wú)解此方程無(wú)解. 在周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)方形花圃的面積不能在周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)方形花圃的面積不能 增加增加2平方米平方

8、米 1 1、用、用20cm20cm長(zhǎng)的鐵絲能否折成面積為長(zhǎng)的鐵絲能否折成面積為30cm30cm2 2 的矩形的矩形, ,若能夠若能夠, ,求它的長(zhǎng)與寬求它的長(zhǎng)與寬; ;若不能若不能, ,請(qǐng)說(shuō)明請(qǐng)說(shuō)明 理由理由. . 解解:設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為xcm,則寬為則寬為 cm, ) 2 20 (x 30) 2 20 ( xx即即 x2-10 x+30=0 這里這里a=1,b=10,c=30, 0203014)10(4 2 2 ac b 此方程無(wú)解此方程無(wú)解. 用用20cm長(zhǎng)的鐵絲不能折成面積為長(zhǎng)的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形的矩形. 例例2 2：某校為了美化校園某校為了美化校園,準(zhǔn)備

9、在一塊長(zhǎng)準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)32米米, 寬寬20米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑若干條道路米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑若干條道路,余余 下部分作草坪下部分作草坪,并請(qǐng)全校同學(xué)參與設(shè)計(jì)并請(qǐng)全校同學(xué)參與設(shè)計(jì),現(xiàn)在現(xiàn)在 有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案(如圖如圖),根據(jù)兩根據(jù)兩 種設(shè)計(jì)方案各列出方程種設(shè)計(jì)方案各列出方程,求圖中道路的寬分求圖中道路的寬分 別是多少別是多少?使圖使圖(1),(2)的草坪的草坪面積面積為為540540米米2 2. . (1)(2) (1) 解解:(1):(1)如圖，設(shè)道路的寬為如圖，設(shè)道路的寬為 x米，則米，則 540)220)(232(xx 化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得， 02526 2 x

10、 x 0) 1)(25(xx 1,25 21 xx 其中的其中的 x=25超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去. 圖圖(1)中道路的寬為中道路的寬為1米米. 則橫向的路面面積為則橫向的路面面積為 ， 分析：此題的相等關(guān)系分析：此題的相等關(guān)系 是矩形面積減去道路面是矩形面積減去道路面 積等于積等于540540米米2 2。 解法一、解法一、 如圖，設(shè)道路的寬為如圖，設(shè)道路的寬為x x米，米， 32x 32x 米米2 2 縱向的路面面積為縱向的路面面積為 。 20 x 20 x 米米2 2 注意：這兩個(gè)面積的重疊部分是注意：這兩個(gè)面積的重疊部分是 x x2 2 米米2 2 所列的方程是不

11、是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx ？ 圖中的道路面積不是圖中的道路面積不是 3220 xx米米2 2。 (2) 而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是 2 3220 xxx米米2 所以正確的方程是：所以正確的方程是： 2 32 203220540 xxx 化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得， 2 521000,xx 其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去超出了原矩形的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去. . 取取x=2x=2時(shí)，道路總面積為：時(shí)，道路總面積為： 2 32 2 20 2 2 =100 (米米2) 草坪面積草坪面積= =32 20 100= 540（米（米

12、2） 答：所求道路的寬為答：所求道路的寬為2 2米。米。 12 2,50 xx 解法二：解法二： 我們利用我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)， 它的面積大小不會(huì)改變它的面積大小不會(huì)改變”的道理，的道理， 把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的 寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖 的位置修路）的位置修路） (2)(2) 橫向路面橫向路面 ， 如圖，設(shè)路寬為如圖，設(shè)路寬為x x米，米， 32x32x米米2 2 縱向路面面積為縱向路面面積為 。20 x20 x米米2 2 草坪矩形的長(zhǎng)（橫向）為草坪矩形

13、的長(zhǎng)（橫向）為 ， 草坪矩形的寬（縱向）草坪矩形的寬（縱向） 。 相等關(guān)系是：草坪長(zhǎng)相等關(guān)系是：草坪長(zhǎng)草坪寬草坪寬=540=540米米2 2 (20-x)(20-x)米米 （32-x)32-x)米米 即即 3220540.xx 化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得： 2 12 521000,50,2xxxx 再往下的計(jì)算、格式書(shū)寫(xiě)與解法再往下的計(jì)算、格式書(shū)寫(xiě)與解法1 1相同。相同。 1.如圖是寬為如圖是寬為20米米,長(zhǎng)為長(zhǎng)為32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑 同樣寬的三條道路同樣寬的三條道路(兩條縱向兩條縱向,一條橫向一條橫向,且互相垂且互相垂 直直),把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地把耕地分成六塊大小相等的

14、試驗(yàn)地,要使試驗(yàn)要使試驗(yàn) 地的面積為地的面積為570平方米平方米,問(wèn)問(wèn):道路寬為多少米道路寬為多少米? 解解: :設(shè)道路寬為設(shè)道路寬為x x米，米，則則 570)220)(232(xx 化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，03536 2 x x 0) 1)(35(xx 1,35 21 xx 其中的其中的 x=35超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去. 答答:道路的寬為道路的寬為1米米. 2.如圖如圖,長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外 圍環(huán)繞著寬度相等的小路圍環(huán)繞著寬度相等的小路,已知小路的面積為已知小路的面積為 246m2,求小路的寬度求小路的寬度. A BC D 解解:

15、 :設(shè)小路寬為設(shè)小路寬為x x米，米，則則 2015246)215)(220(xx 化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，012335 2 2 x x 0)412)(3(xx 2 41 ,(3 21 xx 舍去） 答答:小路的寬為小路的寬為3米米. 例例3. (2003年年,舟山舟山)如圖，有長(zhǎng)為如圖，有長(zhǎng)為24米的籬笆，一面米的籬笆，一面 利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度a為為10米），圍成中間隔米），圍成中間隔 有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃。設(shè)花圃的寬有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃。設(shè)花圃的寬AB為為x米，米， 面積為面積為S米米2， （1）求）求S與與x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式;（2）如果要圍成面積為）如果

16、要圍成面積為 45米米2的花圃，的花圃，AB的長(zhǎng)是多少米？的長(zhǎng)是多少米？ 【解析】【解析】(1)(1)設(shè)寬設(shè)寬ABAB為為x x米，米， 則則BCBC為為(24-3x)(24-3x)米，這時(shí)面積米，這時(shí)面積 S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x (2)(2)由條件由條件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45 化為：化為：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=3 0024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8 xx2 2不合題意，不合題意，AB=5AB=5，即花圃的寬，即花圃的

17、寬ABAB為為5 5米米 1.如圖，用長(zhǎng)為如圖，用長(zhǎng)為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠的籬笆（虛線部分），兩面靠 墻圍成矩形的苗圃墻圍成矩形的苗圃.要圍成苗圃的面積為要圍成苗圃的面積為81m2,應(yīng)該應(yīng)該 怎么設(shè)計(jì)怎么設(shè)計(jì)? 解解:設(shè)苗圃的一邊長(zhǎng)為設(shè)苗圃的一邊長(zhǎng)為xm, 則則 81)18( xx 化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得， 08118 2 x x 0)9( 2 x 答答:應(yīng)圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為應(yīng)圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為9米的正方形米的正方形. 9 21 xx 例例4某林場(chǎng)計(jì)劃修一條長(zhǎng)某林場(chǎng)計(jì)劃修一條長(zhǎng)750m，斷面為，斷面為 等腰梯形的渠道，斷面面積為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2， 上上 口寬比渠深多口寬比渠深多

18、2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？ （2）如果計(jì)劃每天挖土）如果計(jì)劃每天挖土48m3，需要多，需要多 少天才能把這條渠道挖完？少天才能把這條渠道挖完？ 分析：分析：因?yàn)榍钭钚?，為了便于?jì)算，不妨因?yàn)榍钭钚?，為了便于?jì)算，不妨 設(shè)渠深為設(shè)渠深為xm，則上口寬為，則上口寬為x+2， 渠底為渠底為 x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建 模模 解：（解：（1）設(shè)渠深為）設(shè)渠深為xm 則渠底為（則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（，上口寬為（x+2）m 依題意，得：依題意，得： 6 .

19、1)4 . 02( 2 1 xxx 整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8m，x2=-2（不合題意（不合題意,舍去）舍去） 上口寬為上口寬為2.8m，渠底為，渠底為1.2m （天）25 48 7501.6 (2) 答：渠道的上口寬與渠底深各是答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和和1.2m； 需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道 1.如圖，寬為如圖，寬為50cm的矩形圖案由的矩形圖案由10個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成，個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成， 則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為【 】 A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm2 2. 在一幅

20、長(zhǎng)在一幅長(zhǎng)80cm，寬，寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金 色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè) 掛圖的面積是掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么，那么x 滿足的方程是滿足的方程是【 】 Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0 Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=0 3.如圖，面積為如圖，面積為30m2的正方形的四個(gè)角是面積為的正方形的四個(gè)角是面積為2m2的小的小 正方形，用計(jì)算器求得正方形，用計(jì)算器求得a的長(zhǎng)為（保留的長(zhǎng)為（保留3個(gè)有效數(shù)字）個(gè)有效數(shù)字）【 】 A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m 80cm x x x x 50cm a A B C 4如圖，是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)平面示意圖，一邊如圖，是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)平面示意圖，一邊 靠