2014屆北京市西城區(qū)高三4月一模文科數(shù)學試題及答案

1、北京市西城區(qū)2014年高三一模試卷 數(shù) 學（文科） 第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設全集，集合，則集合（ ）（A）（B）（C）（D）2已知平面向量，那么等于（ ）（A）（B）（C）（D）3已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為（ ）（A）（B）（C）（D）4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）正(主)視圖俯視圖側(cè)(左)視圖23121（A）（B）（C）（D）5下列函數(shù)中，對于任意，同時滿足條件和的函數(shù)是（ ）（A）（B）（C）（D）6 設，且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在

2、上是增函數(shù)”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn). 第一年需運營費用2萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加2萬元，該設備每年生產(chǎn)的收入均為11萬元. 設該設備使用了年后，盈利總額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n等于（ ） （A）（B）5（C）6（D）78. 如圖，設為正四面體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點P到四個頂點的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有（ ）B A D C. P（A） 4個（B）6個（C）10個（D）14個

3、第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9設復數(shù)，其中，則_ 10若拋物線的焦點在直線上，則_；的準線方程為_11已知函數(shù)若，則實數(shù)_；函數(shù)的最大值為_12執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為_ 開始輸出a結(jié)束否是輸入a, b 13若不等式組表示的平面區(qū)域是一個四邊形，則實數(shù)的取值范圍是_. A BD CP 14如圖，在直角梯形中，P為線段（含端點）上一個動點. 設，記，則_； 函數(shù)的值域為_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c

4、. 已知.（）求的大小；（）如果，求的值.16（本小題滿分13分）某批次的某種燈泡共200個，對其壽命進行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下. 根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品. 壽命（天）頻數(shù)頻率10307060合計200（）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b，c的值；（）某人從這200個燈泡中隨機地購買了1個，求此燈泡恰好不是次品的概率；（）某人從這批燈泡中隨機地購買了個，如果這n個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值.17（本小題滿分14分）B CA DSN

5、如圖，在四棱錐中，底面是矩形， N是棱的中點.（）求證：平面； （）求證：平面；（）在棱SC上是否存在一點P，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（）如果對于任意，都有，求的取值范圍19（本小題滿分14分）已知橢圓的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，O為坐標原點.（）求橢圓W的方程. （）設斜率為的直線l與W相交于兩點，記面積的最大值為，證明：. 20（本小題滿分13分）在數(shù)列中，. 從數(shù)列中選出項并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項子列. 例如數(shù)列為的一個4項子列.（）試寫出數(shù)列

6、的一個3項子列，并使其為等比數(shù)列； （）如果為數(shù)列的一個5項子列，且為等差數(shù)列，證明：的公差滿足；（）如果為數(shù)列的一個6項子列，且為等比數(shù)列，證明：.北京市西城區(qū)2014年高三一模試卷參考答案及評分標準 高三數(shù)學（文科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1C 2B 3D 4C 5D 6A 7B 8C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9 10 11 12 13 14 注：第10、11、14題第一問2分，第二問3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15（本小題滿分13分） （）解：因為 ， 所以 ， 4分 又因為

7、，所以 . 6分（）解：因為 ，所以 ， 8分由正弦定理 ， 11分得 . 13分16（本小題滿分13分）（）解：，. 3分（）解：設“此人購買的燈泡恰好不是次品”為事件. 4分由表可知：這批燈泡中優(yōu)等品有60個，正品有100個，次品有40個，所以此人購買的燈泡恰好不是次品的概率為. 8分（）解：由（）得這批燈泡中優(yōu)等品、正品和次品的比例為. 10分所以按分層抽樣法，購買燈泡數(shù) ，所以的最小值為 13分17（本小題滿分14分）（）證明：因為底面是矩形， 所以 ， 1分 又因為 平面，平面， 所以 平面. 3分（）證明：因為 ，所以 平面SAD， 5分又因為 平面，所以 . 6分因為 ，且N為A

8、D中點，所以 . 又因為 ，所以 平面. 8分（）解：如圖，連接BD交NC于點F，在平面SNC中過F作交于點P，連接PB，PD. B CA DSNFPN因為 平面，所以 平面. 11分又因為 平面，所以平面平面. 12分在矩形中，因為，所以 .在中，因為， 所以.則在棱SC上存在點P，使得平面平面，此時. 14分18.（本小題滿分13分）（）解：由，得， 2分 所以 ， 又因為 ， 所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為. 4分（）解：由 ，得， 即 . 6分 設函數(shù)， 則 ， 8分 因為， 所以， 所以當時， 10分 故函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以當時，. 11分 因為對于任意，都有成立， 所以對于任

9、意，都有成立. 所以. 13分19（本小題滿分14分）（）解：由題意，得橢圓W的半焦距，右焦點，上頂點， 1分 所以直線的斜率為， 解得 ， 3分 由 ，得， 所以橢圓W的方程為. 5分（）證明：設直線l的方程為，其中或2，. 6分由方程組 得， 7分 所以 ， （*）由韋達定理，得, . 8分所以 . 9分因為原點到直線的距離， 10分所以 ， 11分當時，因為， 所以當時，的最大值， 驗證知（*）成立； 12分當時，因為， 所以當時，的最大值； 驗證知（*）成立.所以 . 14分注：本題中對于任意給定的，的面積的最大值都是.20（本小題滿分13分）（）解：答案不唯一. 如3項子列：，. 2分（）證明：由題意，知，所以 .