平面向量方法總結(jié)

1、平面向量應(yīng)試技巧總結(jié)一.向量有關(guān)概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示， 注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。女口：uuur已知A（ 1,2）, B（4,2），則把向量AB按向量a = （- 1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）2. 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0 ,注意零向量的方向是任意的；uuu3. 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 （與AB共線的單位向量是4. 相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a

2、、b叫做平行向量，記作：a / b , 規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?）；uuu uuur 三點A B、C共線 AB AC共線；6. 相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。女口下列命題：（1 ）若a b，則a b。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若AB DC，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則AB DC。（5）若a b,b c

3、，則a c o （6）若ab,bc，則a/c。其中正確的是 （答：（4） （5） 二.向量的表示方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 AB，注意起點在前，終點在后；2 .符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如 a，b， c等；3. 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為|r r r-*f基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a xi yj x, y，稱x, y為向量a的坐標(biāo)，a =x,y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。.平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對

4、該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)i、2，使a=心+ 2e2。如rrrr(1) 若 a (1,1),b(1, 1),c ( 1,2)，則 c (答:ia -b)；2 2(2) 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. (0,0), e2(1, 2)B. e(1,2),e(5,7)urniruu 13C.(3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3)(,3)(答：B)；uiLT uunuuir r uuu rmwr r(3) 已知AD,BE分別是 ABC的邊BC, AC上的中線，且AD a, BE b ,則BC可用向量a,b表示為(答:弓供)；33(4) 已知 ABC中，點D在B

5、C邊上，且CD 2 DB，CD r AB sAC，則r s的值是(答：0)四. 實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定如下：1 a a, 2當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同，當(dāng) 0，且ab不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件；當(dāng) 為鈍角時，a ? b v0，且a、b不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件；a ?br r r rr r : |a?b| |a|b|。如 ab(1)已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U的取值范圍是(答:已知OFQ的面積為S，且 OFFQ 1，若殳S乎，則OF,FQ夾角的取值范圍是(3)已知

6、 a (cosx,si nx),b (cosy,si ny), a 與 b 之間有關(guān)系式 ka b 73 a kb,其中 k 0 , 用k表示a b ；求a b的最小值，并求此時a與b的夾角的大小r r k2 11(答：ab貢(k 0)；最小值為-，600)六. 向量的運算：1. 幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向uuu r uuur ruur r量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB a,BC b，那么向量AC叫做a與rr r uuu uuu uuurb 的和，即 a b AB BC AC ;unr向量的減法：用“三角形法則”

7、：設(shè)ABr uuura, ACUlT Hlb,那么a b AB AC CA，由減向量uuu的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同luiTAD(1)uuu iuu uir uuu化簡： AB BC CD _； ABluurDC如uuir,；(AB CD)ouuuuuu uiur(AC BD)uuuuur 一-(答： AD ； CB ； 0 )；(2)uuu若正方形ABCD的邊長為1，ABr uuura, BCr uuurb, ACc，則 | a b c| =(答: 23 );(3)若O是VABC所在平面內(nèi)一點,且滿足uuu uult OB OCuuuOBuuur uuuO

8、C 2OA，則VABC的形狀為(4)uuu設(shè)閤|PD|若D為ABC的邊BC的中點,，則的值為ABC所在平面內(nèi)有一點(答：直角三角形)；uuu uuu uuu rP，滿足 PA BP CP 0，(答: 2);(5)若點O是厶ABC的外心，且OAOB CO 0，貝U ABC的內(nèi)角C為(答: 1200 )；2. 坐標(biāo)運算：設(shè)a(Xi,yj,b區(qū)皿)，則:向量的加減法運算：a如Oy1X2uuuAC(R)，則當(dāng) =時，點P在I uuu uuu(1)已知點 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 AP AB第一、三象限的角平分線上(答:：)；2-1 uuu(2) 已知 A(2,3), B(1

9、,4),且丄 AB (sinx,cosy), x, y ()，則 x y2 2 2(答：一或一)；6 2, A unuuuuAir uu uu uu ,(3) 已知作用在點A(1,1)的三個力F (3,4), F2 (2, 5), F3 (3,1)，則合力F F? F3的 終點坐標(biāo)是(答：(9,1) 實數(shù)與向量的積：ax1,y1x1, y1 ouiuu 若A(x1, yi), B(x2, y2)，則ABx2 x1, y2 %，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。如uuu 1 uuuuuiruuu設(shè) A(2,3), B( 1,5)，且 AC -AB，AD 3AB，則

10、 C、D 的坐標(biāo)分別是3(答：(1,-),( 7,9); 平面向量數(shù)量積：a?b x2 y1y2。女口已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1) 若 x=，求向量1ab的最大值為2，求的值33a、c的夾角；(2)若x ，函數(shù)f(x)8 4(答：(1)150;(2)g 或 42 1 );r r 2 r 向量的模：|a|x2 y2, a | a|2 x2 y2。如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么潔3b | = 兩點間的距離：若A ,y1 ,B x2,y2，則 | AB | : X2 % $ y2 yi 2。如如圖，在

11、平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy 60，平面上任一點P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這uun ur uuur uu樣定義的：若OP xe, ye,，其中q,分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，貝U P點斜坐標(biāo)為(x, y)。(1)若點P的斜坐標(biāo)為(2，- 2)，求P到O的距離丨PO|; (2)求以O(shè)為圓心，1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。(答: (1) 2; (2) x2 y2 xy 1 0);F列命題中：a (b c) abac; a (b c)(a b) c :(a b)2 | a |2七.向量的運算律：1 .交換律：r ar br r b a，rr r r r raa， a?b b?a ;2

12、.結(jié)合律：rrr r rr r r r r r rrrr r rabcabc, a b c a b c ，a?ba?b a?3.分配律：rrrr rrrrrrr r r raaa, a ba b， ab?ca?c b ?c。如2r 2 r 2r bF a|b| :若 a b 0 ,貝U a 0或 b 0 ;若 a b c b,則 a c ； |a a ;r r2 2rr2 r r2(a b)2a b :(ab)2a2a bb。其中正確的是 (答：) 提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項， 兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，

13、但不能兩邊同除以一 個向量，即兩邊不能約去一個向量， 切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c) (a?b)c，為什么？八.向量平行(共線)的充要條件：a/b a b (a b)2 (|a|b|)2= 0。女口(i)若向量a (x,i),b (4, x)，當(dāng)x =時a與b共線且方向相同(2)已知 a (1,1)b (4, x)， u a 2b， v 2a b，且 u/v，貝U x=(答:4);、iuduuuuur,(3)設(shè) PA (k,12), PB (4,5), PC (10,k)，則 k =時，A,B,C共線九.向量垂直的充要條件：rr rr r r rb

14、a b 0 | a b|a b |(答：2 或 11)X1X2 y2 0 .特別地uuuururutuurur/ ABAC、/ABAC、(UUhituurr)(-uuu-rUttrr)。AB|AC|AB|AC|utuutu(1)已知OA(1,2),OB(如uuu uuu,m)，若 OA OB，貝U m （答：I）；（2）以原點O和A（4,2）為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB,B 90，則點B的坐標(biāo)是(答:(1,3)或( 3， 1);rr ur ririr(3)已知n (a,b),向量n m，且n m，則m的坐標(biāo)是（答：（b, a）或（b,a）十線段的定比分點：1. 定比分點的概念：設(shè)點P是直

15、線P! P2上異于P!、P2的任意一點，若存在一個實數(shù)，uultuuruuuuuur使PPPP2，貝U叫做點P分有向線段RP2所成的比，P點叫做有向線段PP2的以定比為 的定比分點；2. 的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段P1 P2上時0;當(dāng)P點在線段P1 P2的延長線上時1;當(dāng)P點在線段P?P1的延長線上時10 ;若點P分有uuuuurr1向線段PP2所成的比為，則點P分有向線段F2P所成的比為一。女口若點P分AB所成的比為-，則A分BP所成的比為4（答：7 ）3 urur3線段的定比分點公式：設(shè)P,%）、F2（x2, y2），P（x, y）分有向線段RP2所成的比為X-I x2X

16、 2yiy21=1時，就得到線段P1 P2的中點公式y(tǒng)1 y2。在使用定y 丁比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確(x,y) , (xi,yi)、(X2,y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的 坐標(biāo)。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng) 的定比。女口1(1)若 M(-3，-2)，N(6, -1)，且 MP MN,則點 P的坐標(biāo)為3(答：(6,);3,亠,1uuuu uur(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直線y -ax與線段AB交于M，且AM 2MB，則a等于2(答：2或4)十平移公式：如果點P(x, y)按向量a h,k平移至P(x,y)，則x x

17、h ；曲線 y y kf(x,y) 0按向量a h,k平移得曲線f(x h,y k) 0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如(1) 按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(7,2)平移到點(答:(8，3);(2) 函數(shù)y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是 y cos2x 1,則a =(答：(二,1)412、向量中一些常用的結(jié)論：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；(2) |a|b| |ab| |a| |b|，特別地，當(dāng)a、b同向或有0| a b | | a |b|rrr

18、rfr rrr rrrrr r rr r|a| |b| |ab|;當(dāng)a、b反向或有0|a b|a| |b|a| |b| |a b| ；:當(dāng)a b不共線|；| |b|b| |；|b|(這些和實數(shù)比較類似).(-1 , -1 ),則/ ABC的重心的坐若/ABC勺三邊的中點分別為(2, 1)、(-3 , 4)、標(biāo)為2 4(答：()；uuirPGuuu1(PAuuuPBuuuPC) G為 ABC的重心，特別地uuuPAuuuPBuiur r ”，PC 0 P 為 ABC 的重心；uurPAuuu uuu PB PBuurPCuuu uuuPC PA P為 ABC的垂心;uuu向量(-ABk|AB|unr-AS)(0)所在直線過I AC|ABC的內(nèi)心(是BAC的角平分線所在直線);uuu uur uuu