第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列-副本 (2)

1、數(shù)列概念及等差數(shù)列三要點精講1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如，數(shù)列的通項公式是= （7，），數(shù)列的通項公式是= （）。說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.41

2、4，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：1 2 3 4 5 6項 ：4 5 6 7 8 9上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的

3、遞推公式。2等差數(shù)列（1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。（2）等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。（3）等差中項的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，成等差數(shù)列。（4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。四典例解析題型1：數(shù)列概念例1根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。例2數(shù)列中，已知，（1）寫出，； （2）是否是數(shù)列中的項？若是，

4、是第幾項？題型2：數(shù)列的遞推公式例3（1）已知數(shù)列適合：，寫出前五項并寫出其通項公式； （2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項。題型3：數(shù)列的應(yīng)用例4設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點若用表示這條直線交點的個數(shù)，則=_；當(dāng)時， （用表示）。題型4：等差數(shù)列的概念例7設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）例8（2006年江蘇卷）設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常數(shù)）

5、（n=1,2,3,）數(shù)列為等差數(shù)列。充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,）， 得：= 從而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,），則（常數(shù)）故從而得：，故（常數(shù)）（n=1,2,3,），數(shù)列為等差數(shù)列。綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）。證法二：令A(yù)n = a n+1- a n，由b nb n+1知a n - a n+2a n+1- a n+3。從而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AnAn+2（n=1,2,3,）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+

6、1 + 2a n+2 - 3 a n+3得c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. 由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. -得(An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 因為An-An+20，An+1- An+30，An+2- An+40,所以由得An-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, 從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 由和得4An+2An+1=2An

7、+4An+1,故An+1= An ,即a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,)，所以數(shù)列a n是等差數(shù)列。點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。題型5：等差數(shù)列通項公式例9（2006年全國卷I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D解析：，將代入，得，從而。選B。點評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。例10（1）（2005湖南16）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項公式； （）證明解析：（1）（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d。由即d=1。

8、所以即（II）證明因為，所以 點評：該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。題型6：等差數(shù)列的前n項和公式例11（1）（2002京皖春，11）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ）A.13項B.12項C.11項D.10項（2）（2001全國理，3）設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6（3）（2006年全國卷II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則（ ）A B C D解析：（1）答案：A設(shè)這個數(shù)列有n項n1

9、3（2）答案：B前三項和為12，a1a2a312，a24a1a2a348，a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作為方程的兩根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，選B.（3）答案為A；點評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題、解決問題的能力。例12（1）（2000全國文，18）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。（2）（1998全國文，25）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項bn；（）設(shè)數(shù)列an的通項an=lg（1+），記Sn是數(shù)列

10、an的前n項和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項為2，公差為，Tnn2n（2）（）設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得解得 bn=2n1.（）由bn=2n1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）=lg（1+1）（1+）（1+），lgbn+1=lg.因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）（1+）與的大小.取n=1，有（1+1），取n=2，有（1+1）（1+），由此推測（1+1）（1+）（1+）.若式

11、成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Snlgbn+1。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式。（i）當(dāng)n=1時已驗證式成立。（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k1）時，式成立，即（1+1）（1+）（1+）.那么，當(dāng)n=k+1時，（1+1）（1+）（1+）1+（1+）=（2k+2）。（2k+2）2（）2，.因而 這就是說式當(dāng)n=k+1時也成立.由（i），（ii）知式對任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Snlgbn+1。評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13（1）（2002上海春，16）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S6，

12、S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）（1994全國理，12）等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由題設(shè)a7=0，a80，顯然C選項是錯誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，。解法二：設(shè)前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b

13、2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種

14、變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例14（2000上海，21）在XOY平面上有一點列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），對每個自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=2000（）x（0a10的圖象上，且點Pn、點（n，0）與點（n+1，0）構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形。（）求點Pn的縱坐標(biāo)bn的表達式；（）若對每個自然數(shù)n，以bn，bn1，bn2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；（）（理）設(shè)Bnb1，b2bn（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)。（文）設(shè)cnlg（bn）（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列

15、cn前多少項的和最大?試說明理由。解析：.解：（）由題意，ann，bn2000（）。（）函數(shù)y=2000（）x（0a10）遞減，對每個自然數(shù)n，有bnbn1bn2則以bn，bn1，bn2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn2bn1bn，即（）2（1）0，解得a5（1）或a5（1），5（1）a10（）（理）5（1）a10，a=7，bn2000（）。數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個自然數(shù)n2，BnbnBn1。于是當(dāng)bn1時，BnBn1，當(dāng)bn1時，BnBn1，因此，數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn1且bn11。由bn2000（）1，得n20.8，n=20。（文）5（1）a10，a=7，

16、bn2000（）。于是cnlg2000（）3lg2（n）lg0.7數(shù)列cn是一個遞減的等差數(shù)列.因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn0，且cn10時，數(shù)列cn的前n項的和最大。由cn3lg2（n）lg070，得n20.8，n=20。點評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.五思維總結(jié)1數(shù)列的知識要點：（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n，）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），f（n），。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點構(gòu)成的。（2）對于數(shù)列的通項公式

17、要掌握：已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；在數(shù)列an中，前n 項和Sn 與通項公式an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認(rèn)真掌握之。即an。特別要注意的是，若a1 適合由anSnSn1（n2）可得到的表達式，則an 不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子。2等差數(shù)列的知識要點：（1）等差數(shù)列定義an1and（常數(shù)）（n N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如a3a2a2a1d（常數(shù)）就說an是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由anan22 an1 即an2an1an1an 來判斷。（2）等差數(shù)列的通項為ana1（n1）d可整理成anan（a1d），當(dāng)d0時，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點的集合。（3）對于A 是a、b 的等差中項，可以表示成2 Aab。（4）等差數(shù)列的前n 項和公式Snnna1d，可以整理成Snn2。當(dāng)d0時是n 的一個常數(shù)項為0的二次式。（