同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》word教案

1、-作者xxxx-日期xxxx同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用word教案【精品文檔】 第 9 次課 2 學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)：本次課題（或教材章節(jié)題目）：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)要求： 理解導(dǎo)數(shù)的定義，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的區(qū)別，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重 點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義，可導(dǎo)與連續(xù)的聯(lián)系和區(qū)別難 點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義及不同形式的掌握教學(xué)手段及教具：板演式，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配： 引例 15分鐘 導(dǎo)數(shù)的定義 25分鐘 倒數(shù)的幾何意義 10分鐘 連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系 15分鐘 求導(dǎo)舉例 35分鐘課后作業(yè)習(xí)題 2-1 3 4 5 （5 7） 9 11 12

2、 13 15 18參考資料高等數(shù)學(xué)同步精講一書第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)和微分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是今后討論一切問題的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)反映出函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢的程度，而微分則指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)函數(shù)大體上變化多少，它從根本上反映了函數(shù)的變化情況。本章主要學(xué)習(xí)和討論導(dǎo)數(shù)和微分的概念以及它們的計(jì)算方法，以后將陸續(xù)的介紹它們的用途。 2、1 導(dǎo)數(shù)的概念一、 引例1、 切線問題：切線的概念在中學(xué)已見過。從幾何上看，在某點(diǎn)的切線就是一直線，它在該點(diǎn)和曲線相切。準(zhǔn)確地說，曲線在其上某點(diǎn)的切線是割線當(dāng)沿該曲線無限地接近于點(diǎn)的極限位置。設(shè)曲線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，要求出曲線在點(diǎn)的切線

3、，只須求出點(diǎn)切線的斜率。由上知，恰好為割線的斜率的極限。我們不難求得的斜率為：；因此，當(dāng)時(shí)，其極限存在的話，其值就是，即。若設(shè)為切線的傾角，則有。2、速度問題：設(shè)在直線上運(yùn)動(dòng)的一質(zhì)點(diǎn)的位置方程為（表示時(shí)刻），又設(shè)當(dāng)為時(shí)刻時(shí)，位置在處，問：質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度是多少？為此，可取近鄰的時(shí)刻，也可取，在由到這一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的平均速度為,顯然當(dāng)與越近，用代替的瞬時(shí)速度的效果越佳，特別地，當(dāng)時(shí)，某常值，那么必為點(diǎn)的瞬時(shí)速度，此時(shí)， 二、 導(dǎo)數(shù)的定義綜合上兩個(gè)問題，它們均歸納為這一極限（其中為自變量在的增量，為相應(yīng)的因變量的增量），若該極限存在，它就是所要講的導(dǎo)數(shù)。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)

4、自變量在點(diǎn)有一增量（仍在該鄰域中）時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有增量，若增量比極限：即存在，就稱函數(shù) 在x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為，或。即等等，這時(shí)，也稱在點(diǎn)可導(dǎo)或有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)存在。注 1：導(dǎo)數(shù)的常見形式還有：； ； ； （h即自變量的增量） 2：反映的是曲線在上的平均變化率，而是在點(diǎn)的變化率，它反映了函數(shù)隨而變化的快慢程度。 3：這里與中的與是一個(gè)整體記號(hào)，而不能視為分子或與分母，待到后面再討論。 4：若極限即不存在，就稱在點(diǎn)不可導(dǎo)。特別地，若，也可稱在的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)榇藭r(shí)在點(diǎn)的切線存在，它是垂直于軸的直線。若在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處均可導(dǎo)，就稱在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)，均有一導(dǎo)數(shù)值，這時(shí)就構(gòu)造了一新的

5、函數(shù)，稱之為在內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記為，或，等。事實(shí)上， 或注 5：上兩式中，為內(nèi)的某一點(diǎn)，一旦選定，在極限過程中就為不變，而與是變量。但在導(dǎo)函數(shù)中，是變量。 6：在的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的值，不要認(rèn)為是； 7：為方便起見，導(dǎo)函數(shù)就稱為導(dǎo)數(shù)，而是在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)?！纠?】 設(shè)，證明欲，那么。證明：因?yàn)樗??！纠?】 若在點(diǎn)可導(dǎo)，問：？解： 。反過來，亦證明：。三、 求導(dǎo)數(shù)舉例【例1】求函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解： 即注：這里是指在任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均為0，即導(dǎo)函數(shù)為0?！纠?】求（為正整數(shù)）在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。解：即，亦即，若將視為任一點(diǎn)，并用代換，即得注：更一般地，（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為，由此可見， , 。【例3】 求在點(diǎn)的導(dǎo)

6、數(shù)。解： ,即 同理：若視為任意值，并用代換，使得，即。注：同理可證：?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：所以。注：特別地，?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：。注 1：等最后講到反函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，可將作為的反函數(shù)來求導(dǎo)； 2：一般地說，求導(dǎo)有四步：一、給出；二、算出；三、求增量比；四、求極限。3、?！纠?】 討論在處的導(dǎo)數(shù)。解：考慮，由不存在，故在點(diǎn)不可導(dǎo)。 然而，及，這就提出了一個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的問題，一般地，若，即即 存在，就稱其值為在點(diǎn)的右（左）導(dǎo)數(shù)，并記為，即 。定理1：在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均存在且相等，即 。注1：例6的左導(dǎo)數(shù)為-1，右導(dǎo)數(shù)為1。因?yàn)?，所以在點(diǎn)不可導(dǎo)； 2：例6也說明左可導(dǎo)又右可導(dǎo)，也不

7、能保證可導(dǎo)； 3：左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)； 4：若在內(nèi)可導(dǎo)，且在點(diǎn)右可導(dǎo)，在點(diǎn)左可導(dǎo)，即存在，就稱在上可導(dǎo)。四、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面的討論知：函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)就是該曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，或?yàn)榍芯€的傾角。從而，得切線方程為。若，或 切線方程為：。過切點(diǎn)，且與點(diǎn)切線垂直的直線稱為在點(diǎn)的法線。如果，法線的斜率為，此時(shí)，法線的方程為：。 如果=0，法線方程為。【例7】 求曲線在點(diǎn)處的切線與法線方程。解：由于，所以在處的切線方程為： 當(dāng)時(shí)，法線方程為： 當(dāng)時(shí)，法線方程為： ?！纠?】求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為 由于

8、 于是 從而所求的切線方程為 即所求的法線斜率為 于是所求的法線方程為 ，即 五 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2：如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，那么在該點(diǎn)必連續(xù)。證明：由條件知：是存在的，其中， 由1、5定理1(i) （為無窮?。?顯然當(dāng)時(shí)，有，所以由1、9定義1，即得函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，證畢。注：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導(dǎo)。 反例：在點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo)。【例9】 求常數(shù)使得在點(diǎn)可導(dǎo)。解：若使在點(diǎn)可導(dǎo)，必使之連續(xù)，故 。 又若使在點(diǎn)可導(dǎo)，必使之左右導(dǎo)數(shù)存在，且相等，由函數(shù)知，左右導(dǎo)數(shù)是存在的，且， 所以若有，則，此時(shí)在點(diǎn)可導(dǎo)，所以所求常數(shù)為 。由以上討論知，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但

9、不是充分條件。 小結(jié) 本節(jié)講述了導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。同學(xué)們一定要掌握和理解導(dǎo)數(shù)的定義，并會(huì)用定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第 10 次課 2 學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)定義的幾種不同形式本次課題（或教材章節(jié)題目）第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則教學(xué)要求： 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，掌握基本初等函數(shù)的的求導(dǎo)公式 會(huì)計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重 點(diǎn)：求導(dǎo)法則難 點(diǎn)：法則的證明教學(xué)手段及教具：板演式教學(xué)，以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配：函數(shù)和、差、的求導(dǎo)法則 15分鐘函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 15分鐘函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 25分鐘運(yùn)

10、算法則的應(yīng)用舉例 25分鐘處理習(xí)題1 -11 20分鐘課后作業(yè)習(xí)題 22 2、（2 5 8 12 14 19） 3、（3）參考資料高等數(shù)學(xué)同步精講一書2、2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則上一節(jié)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)定義，利用定義可求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)直接用定義求導(dǎo)往往很困難。下面介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和公式。法則 1：若函數(shù)和在點(diǎn)都可導(dǎo)，則在點(diǎn)也可導(dǎo)，且 。即兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和（差）。證明： = 所以。注 ：本法則可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形。 ：本法則的結(jié)論也常簡(jiǎn)記為。 例如法則2：若和在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且有。證明： = = = =即函數(shù)

11、積的求導(dǎo)法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與第二個(gè)因子的乘積，加上第一個(gè)因子與第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)的乘積。 注 ：若取為常數(shù)，則有：； ：本法則可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積上去，例如： 等。法則3：若都在點(diǎn)可導(dǎo)，且，則在點(diǎn)也可導(dǎo)，且。證明： = = =即 函數(shù)商的求導(dǎo)法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的乘積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的乘積，再除于分母的平方。注：本法則也可通過，及的求導(dǎo)公式來得；：本公式簡(jiǎn)化為；：以上法則13中的，若視為任意，并用代替，使得函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)函數(shù)公式。【例1】 設(shè)，求。解： ?！纠?】 設(shè)，求。解：?！纠?】 求解 即 正切函數(shù)求導(dǎo)公式

12、【例4】 求 解 即 正割函數(shù)求導(dǎo)公式用類似的方法，還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的求導(dǎo)公式： 第 13 次課 2學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三節(jié)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)要求： 掌握反函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握復(fù)合函數(shù)的求到發(fā)則，會(huì)求常見的反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重 點(diǎn)： 反函數(shù)的求導(dǎo) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)難 點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)教學(xué)手段及教具：板演式教學(xué)，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配： 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 20分鐘 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 30分鐘 反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 20分鐘 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則應(yīng)用舉例 20分鐘

13、課后作業(yè)習(xí)題2-3 1 （7、9、10） 2（7、8、9、10）3 （5、7、8） 4 5參考資料高等數(shù)學(xué)同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁2.3 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理1：設(shè)為的反函數(shù)，若在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且，則在（即點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)），且。證明： , 所以 。注：，因?yàn)樵邳c(diǎn)附近連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)； ：若視為任意，并用代替，使得或，其中均為整體記號(hào)，各代表不同的意義； ：和的“”均表示求導(dǎo)，但意義不同；：定理1即說：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)； ：注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)，解：由于，是的反函數(shù)，由定理1得：。注：同理可證：；

14、 ：?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自己做。二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式到目前為止，對(duì)于 ，那樣的函數(shù)我們還不知其可導(dǎo)否，若可導(dǎo)怎樣求導(dǎo)數(shù)。這就是要學(xué)習(xí)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題是最最常見的問題，對(duì)一復(fù)合函數(shù)往往有這二個(gè)問題：1.是否可導(dǎo)2.即使可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如何求？復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式解決的就是這個(gè)問題。 定理2（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）：如果在點(diǎn)可導(dǎo)，且在 點(diǎn)也可導(dǎo)，那么，以為外函數(shù)，以為內(nèi)函數(shù)，所復(fù)合的復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且，或證明： =所以。注 ：若視為任意，并用代替，便得導(dǎo)函數(shù)：，或或。 ：與不同，前者是對(duì)變量求導(dǎo)，后者是對(duì)變量求導(dǎo)。：注意區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)

15、。：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可推廣到有限個(gè)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)上去，如：等。【例3】 求的導(dǎo)數(shù)。解：可看成與復(fù)合而成， 。【例4】 求（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解：是，復(fù)合而成的。所以。這就驗(yàn)證了前面2、1的例4。由此可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)必須熟悉(i)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；(ii)復(fù)合函數(shù)的分解； (iii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式；只有這樣才能做到準(zhǔn)確。在解題時(shí)，若對(duì)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程非常熟悉，可不必寫出中間變量，而直接寫出結(jié)果。【例5】，求。解。 【例6】，求。解： 。【例7】，求。解：=?！纠?】，求。解：?！纠?】，即。同理，?！纠?0】，求。解：。同理： 。第 14 次課 2 學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)：本次課題（或教材章

16、節(jié)題目）：第四節(jié) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)要求： 會(huì)計(jì)算雙曲和反雙曲函數(shù)的倒數(shù)、掌握萊布尼茲公式 會(huì)求簡(jiǎn)單的高階導(dǎo)數(shù)重 點(diǎn)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問題難 點(diǎn)：握萊布尼茲公式教學(xué)手段及教具：板演式，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配： 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 20分鐘 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 25分鐘 高階導(dǎo)數(shù) 35分鐘 處理前幾節(jié)課的部分習(xí)題 20分鐘課后作業(yè)習(xí)題 2-4 2（3 8 ） 3（2 9） 習(xí)題2-5 1（3 9 10） 10（3 5） 11 （3）參考資料高等數(shù)學(xué)同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁2、4 初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一

17、、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1、 數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：（1） （2）（3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10）（11） （12） （13） （14） （15） （16）（17） （18）（19） （20）（21）（22）2、 函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則：設(shè)，則(i) (ii) (iii) (iv) 3、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)的導(dǎo)數(shù)為： 或 或 二、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)都可有前面的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出。由 ， 有所以，雙曲正弦的求導(dǎo)公式為 類似地，由 得 由 得 即 由 得 由 得 由 得以上幾個(gè)公式可由同學(xué)們自己推導(dǎo)出來。

18、 2.5 高階導(dǎo)數(shù) 前面講過，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，則物體的運(yùn)動(dòng)速度為，或 ，而加速度是速度對(duì)時(shí)間的變化率，即是速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)： 或，由上可見，加速度是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下面的定義： 定義：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，就稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為，即，此時(shí)，也稱函數(shù)在點(diǎn)處二階可導(dǎo)。 注：若在區(qū)間上的每一點(diǎn)都二次可導(dǎo)，則稱在區(qū)間上二次可導(dǎo)，并稱為在上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱二階導(dǎo)數(shù)； ：仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)可定義三階導(dǎo)數(shù)，由三階導(dǎo)數(shù)可定義四階導(dǎo)數(shù)，一般地，可由階導(dǎo)數(shù)定義階導(dǎo)數(shù)； ：二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)函數(shù)分別記為：，或與或； ：開始所述

19、的加速度就是對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，依上記法，可記或；：未必任何函數(shù)所有高階導(dǎo)數(shù)都存在； ：由定義不難知道，對(duì)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)（也稱為一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為四階導(dǎo)數(shù)，一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)。因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐次向上求導(dǎo)的過程，無須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了?！纠?】，求。解：?！纠?】，求各階導(dǎo)數(shù)。解：，顯然易見，對(duì)任何，有，即?！纠?】，求各階導(dǎo)數(shù)。解： 一般地，有，即 。同樣可求得 ?！纠?】，求各階導(dǎo)數(shù)。解：，一般地，有 即 ?！纠?】，為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)。解：，一般地， 即 。(i) 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，時(shí)，； 時(shí)，；時(shí)，；(ii

20、)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，必存在一自然數(shù)，使得當(dāng)，在處不存在。如：然而，在處是無意義，即說明在處無導(dǎo)數(shù)，或在處不存在?！纠?】，求。解： ，。注：高階導(dǎo)數(shù)有如下運(yùn)算法則：(1)，(2)，+。其中。 Leibinz公式【例7】上例中，求。解： =?！纠?】驗(yàn)證滿足關(guān)系式：（其中為任意常數(shù)）。解：所以?！纠?】驗(yàn)證滿足關(guān)系式：。解：又所以。第 15 次課 2 學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)： 雙曲和反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)萊布尼茲公式本次課題（或教材章節(jié)題目）：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第六節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率教學(xué)要求： 掌握隱函數(shù)的概念，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

21、了解相關(guān)變化率重 點(diǎn)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)難 點(diǎn)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)手段及教具：板演式，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 25分鐘 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 35分鐘 相關(guān)變化率 25分鐘 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 15分鐘課后作業(yè)習(xí)題 2-6 1（2 3 ）2 3（3） 4 （1 3）5（1）7（2）8（2 4）9（2） 12參考資料高等數(shù)學(xué)同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁2、6 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)表示兩個(gè)變量與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用各種不同方式表達(dá)。前面我們遇到的函數(shù)，例如，等，這種函數(shù)表達(dá)方式的特點(diǎn)是：等號(hào)左

22、端是因變量的符號(hào)，而右端是含有自變量的式子，當(dāng)自變量取定義域內(nèi)任一值時(shí)，由這式子能確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。用這種方式表達(dá)的函數(shù)叫做顯函數(shù)。有些函數(shù)的表達(dá)方式卻不是這樣，例如，方程表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)變量在內(nèi)取值時(shí)，變量有確定的值與之對(duì)應(yīng)。例如，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等等。這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。一般地，如果在方程中，當(dāng)取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的值存在，那么就說方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)。隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的，甚至是不可能的。但在實(shí)際問題中，有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，我們希望有一種方法，不管

23、隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來。下面通過具體例子來說明這種方法。例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：我們把方程兩邊分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，注意是的函數(shù)。方程左邊對(duì)求導(dǎo)得，方程右邊對(duì)求導(dǎo)得 。由于等式兩邊對(duì)x的導(dǎo)數(shù)相等，所以，從而 。在這個(gè)結(jié)果中，分式中的是由方程所確定的隱函數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié)：（1）方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，注意把當(dāng)作復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量來看待，例如。（2）從求導(dǎo)后的方程中解出來。（3）隱函數(shù)求導(dǎo)允許其結(jié)果中含有。但求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)不但要把值代進(jìn)去，還要把對(duì)應(yīng)的值代進(jìn)去。例2 ，確定了是的函數(shù)，求。解：，時(shí)，。課堂練習(xí)：（1），求。（2），求。（3），求。

24、（4），求。特殊方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)于冪指函數(shù)是沒有求導(dǎo)公式的，我們可以通過方程兩端取對(duì)數(shù)化冪指函數(shù)為隱函數(shù)，從而求出導(dǎo)數(shù)。例3 求的導(dǎo)數(shù)。解：這函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)。為了求這函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以先在兩邊取對(duì)數(shù)，得；上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，得，于是 。由于對(duì)數(shù)具有化積商為和差的性質(zhì)，因此我們可以把多因子乘積開方的求導(dǎo)運(yùn)算，通過取對(duì)數(shù)得到化簡(jiǎn)。例4 求的導(dǎo)數(shù)。解：先在兩邊取對(duì)數(shù)（假定），得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，得，于是 。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果。注：關(guān)于冪指函數(shù)求導(dǎo)，除了取對(duì)數(shù)的方法也可以采取化指數(shù)的辦法。例如，這樣就可把冪指函數(shù)

25、求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；例如求的導(dǎo)數(shù)時(shí)，化指數(shù)方法比取對(duì)數(shù)方法來得簡(jiǎn)單，且不容易出錯(cuò)。二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，如果函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)，且此反函數(shù)能與函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)、復(fù)合而成的函數(shù)?，F(xiàn)在，要計(jì)算這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。為此，再假定函數(shù)、都可導(dǎo)，而且。于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，就有，即 。上式也可寫成 。如果、還是二階可導(dǎo)的，由還可導(dǎo)出對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)公式：，即 【例1】 求在處切線方程。解、當(dāng)時(shí)，曲線上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，曲線在點(diǎn)的切線斜率為；代入點(diǎn)斜式方程，即得曲線在點(diǎn)的切線方程 ，化簡(jiǎn)后得 【例

26、2】已知， 求。解 n為整數(shù) （， 為整數(shù)） 三、相關(guān)變化率設(shè)及都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量與間存在某種關(guān)系，從而變化率與間也存在一定的關(guān)系。這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率。我們研究它們之間的關(guān)系，便可從一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率?！纠?】 一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升，其速率為140m/min（分）。當(dāng)氣球高度為500m時(shí)，觀察員視線的仰角為增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升ts（秒）后，其高度為h，觀察員視線的仰角為,則tan=其中及h都是時(shí)間t的函數(shù)。上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，可得sec=已知=140/min.又當(dāng)h=500m時(shí)，tan=1,sec=2.帶如上式得2=.140，所以 =0

27、.14(rad(弧度)/min).第 16 次課 2 學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)： 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 本次課題（或教材章節(jié)題目）：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第七節(jié) 函數(shù)的微分教學(xué)要求： 理解函數(shù)的微分概念，掌握函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)之間，熟悉微分的運(yùn)算法則，會(huì)計(jì)算函數(shù)的微分。重 點(diǎn)：微分得定義，可導(dǎo)與可微之間的聯(lián)系難 點(diǎn)：微分形式的不變性教學(xué)手段及教具：板演式，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配： 微分的定義 20分鐘 基本初等函數(shù)的微分公式 15分鐘 微分四則運(yùn)算法則 15分鐘 復(fù)合函數(shù)的微分法則 20分鐘 求導(dǎo)微分舉例 30分鐘課后作業(yè)習(xí)題 2-7 1 3（3 7 9） 4 （4 7

28、）參考資料高等數(shù)學(xué)同步精講一書注：本頁為每次課教案首頁7 函數(shù)的微分一、微分的定義計(jì)算函數(shù)增量是我們非常關(guān)心的。一般說來函數(shù)的增量的計(jì)算是比較復(fù)雜的，我們希望尋求計(jì)算函數(shù)增量的近似計(jì)算方法。圖2-1先分析一個(gè)具體問題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到（圖2-1），問此薄片的面積改變了多少？設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為，面積為，則是的函數(shù)：。薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量自取得增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量，即。從上式可以看出，分成兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，而第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當(dāng)時(shí)，第二部分是比高階的無窮小，即。由此可見，如果邊長(zhǎng)改變很微小，即很小時(shí)，面積的改變量可近似地用第一部分來代替。一般地，如果函數(shù)滿足一定條件，則函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的常數(shù)，因此是的線性函數(shù)，且它與之差，是比高階的無窮小。所以，當(dāng)，且很小時(shí)，我們就可近似地用來代替。定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為 ， 其中是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即 。下面討論函數(shù)可微的條件。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則按定義有式成立。式兩邊除以，得 。于是，