圓錐體體積公式的證明

1、-作者xxxx-日期xxxx圓錐體體積公式的證明【精品文檔】圓錐體體積公式的證明證明需要幾個(gè)步驟來解決：1)圓柱體的微分單元是三棱柱, 而圓錐體的微分單元是三棱錐。所以, 只要證明三棱錐的體積，是等底等高的三棱柱的體積的1/3，即可知題目所求正確。2）如圖，一個(gè)三棱柱可以切分成三個(gè)三棱錐：(上圖中,第二個(gè)“等底等高”的“高”是橫著的，而“底”是豎著的。)現(xiàn)在需要證明，這三個(gè)三棱錐，體積都是相等的，也就是各自的體積都是圖中三棱柱的體積的1/3.證明需要的命題是：底面全等，且高度相等的三棱錐，體積必然相同。3）如圖，底面全等，且高度相等的三棱錐，體積必然相同。這個(gè)命題的證明，需要基本的一個(gè)原理：祖

2、暅原理。注釋：祖暅原理祖暅原理也就是“等積原理”。它是由我國南北朝杰出的數(shù)學(xué)家、祖沖之(429-500)的兒子祖暅(gng)首先提出來的。祖暅原理的內(nèi)容是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。 在西方，直到17世紀(jì)，才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)發(fā)現(xiàn)。于1635年出版的連續(xù)不可分幾何中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為“卡瓦列里原理”。其實(shí)，他的發(fā)現(xiàn)要比我國的祖暅晚1100多年。 祖暅原理的思想我們都知道“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”這句話，直線由點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)

3、的多少表示直線的長(zhǎng)短；面由線構(gòu)成，也就是由點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)的多少表示面積的大?。粠缀误w由面構(gòu)成，就是由線構(gòu)成，最終也就是由點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)的多少也表示了體積的大小，要想讓兩個(gè)幾何體的體積相等，也就是讓構(gòu)成這兩個(gè)幾何體的點(diǎn)的數(shù)量相同，祖暅原理就運(yùn)用到了它。 兩個(gè)幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個(gè)幾何體平行面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定，若視距離為一條線段，那么這個(gè)距離上就有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，過一個(gè)點(diǎn)，可以畫出一個(gè)平行于兩平行面的截面，若兩幾何體在被過每一點(diǎn)的平行截面截出的截面面積兩兩相等，則說明兩幾何體在同一高度下的每?jī)蓚€(gè)截面上的點(diǎn)的數(shù)量相同。有無數(shù)個(gè)截面，同一高度每?jī)蓚€(gè)幾何體的截面上的點(diǎn)的數(shù)量相

4、同，則說明，這兩個(gè)幾何體所擁有的點(diǎn)數(shù)量相同，那么也就是說，它們的體積相同。所以我們可以用這種思想來理解祖暅原理。這個(gè)原理說：如果兩個(gè)高度相等的立體，在任何同樣高度下的截面面積都相等，那么，這兩個(gè)立體的體積就相等。所以，下圖可證明：若兩三棱錐的底面（三角形）全等，高度相等，那么它們?cè)谌魏胃叨壬系慕孛妫ㄈ切危┮脖厝蝗取Ｓ谑强梢愿鶕?jù)祖暅原理斷言：等底等高的三棱錐，體積都相等：三棱柱的體積，與立方體的體積一樣，是底面積乘以高，（三棱柱可來自于半個(gè)立方體）：知道有關(guān)三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成題目的證明。=下面這個(gè)圖, 說明了一個(gè)直接的、有趣的推論：注意上面這個(gè)圖，在推算球體的體

5、積的時(shí)候，還可以用到。下面再給幾個(gè)有趣的推論，直到求出球體的體積和表面積公式:1) 金字塔錐的體積也是: (1/3)x底面積x高.這是由于金字塔錐是兩個(gè)三棱錐構(gòu)成的:2）下面的圖說明，球體的微分單元是金字塔錐體。由此可知，球體的體積 = （1/3）x 球的表面積 x 球半徑.上面的公式說明，球體的體積和表面積，只要知道其中一個(gè)信息，那么就可知道另一個(gè)信息。實(shí)際上，根據(jù)球體半徑推算球體的體積，可以更先一步。3）球體的體積。先看半球的體積：這還要用到祖暅原理。上圖中，左邊的內(nèi)部被挖空一個(gè)圓錐體的圓柱體，我們前面見過，右邊是一個(gè)半球，高度（球半徑）與左邊的挖空?qǐng)A柱體高度相同，都是R.根據(jù)圖，在任何一個(gè)高度h上的水平截面，左邊的被截環(huán)（綠色）面積是：R2 - h2. 而右邊的圖里，被截的圓（綠色）面積是:r2 = (R2- h2).可見，兩形體在任何高度上的截面面積都是相等的。于是，根據(jù)祖暅原理，上面兩形體的體積相同。左邊形體的體積=圓柱體的體積-圓錐體的體積=(2/3)R3.所以，右邊的半球的體積也是=(2/3)R3. 可知整個(gè)球體的體積公式是：V=(4/3)R3.