均值不等式專題20道-帶答案

1、-作者xxxx-日期xxxx均值不等式專題20道-帶答案【精品文檔】均值不等式專題3學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、填空題1若log4(a+4b)=log22ab, 則a+b的最小值是_2若a,bR,且a2b2=1, 則|a|+1b 的最大值為_.3已知a,bR，且a+3b2=0，則2a+8b的最小值為_4已知正數(shù)x,y滿足x+y=1，則4x+1+9y+2的最小值是_.5若直線2ax-by+2=0（a0，b0）被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則1a+1b的最小值是_6設(shè)正實數(shù)m,n滿足m12,n1，則4m2n1+n22m1的最小值為_7已知a,bR，且2a3b=1，則9a

2、+127b 的最小值是_ 8已知正實數(shù)x，y滿足x+y=1，則1x4yy+1的最小值是_9已知a2b(a,bR)，函數(shù)f(x)=ax2+x+2b的值域為0，+，則a2+4b2a2b的最小值為_10已知x0，y0，且1x+2y=1，則xy+x+y的最小值為_11若正數(shù)x，y滿足x+5y=3xy，則5x+y的最小值是_12已知正實數(shù)x，y滿足x+y4=1，則1x+4y-2xy的最小值為_13若x0，y0，2x+y-xy=0，則x+2y的最小值為_14若a+b0，則a2+b2+1a+b2的最小值為_.15已知a，b都是正數(shù)，滿足2a+b=3，則a+2bab的最小值為_16已知a0，b1且a+b=2，

3、則a2+3a+b2+2b-1的最小值為_17已知點P(x,y)在圓x2+y2=2上運動，則11+x2+11+y2的最小值為_18若函數(shù)f(x)=mx2+(n1)x+2(m0,n0)的單調(diào)遞增區(qū)間為12,+)，則1m+1n的最小值為_19已知正實數(shù)x，y滿足x+2y=4，則2x(y+1)的最大值為_.20已知x0，y0，則x2+3y2xy+y2的最小值為_【精品文檔】參考答案194【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)相等得到14b+1a=1，利用基本不等式求解a+b14b+1a的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】log4a+4b=log22a+4b=12log2a+4b=log2a+4b=log22ab則a+4b

4、=2ab，即a+4b=4ab 14b+1a=1a+b=a+b14b+1a=a4b+ba+1+14由題意知ab0，則a4b0，ba0則a+b=a4b+ba+542a4bba+54=94當(dāng)且僅當(dāng)a4b=ba，即a=2b時取等號本題正確結(jié)果：94【點睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對數(shù)相等得到14b+1a=1的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.22【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【詳解】當(dāng)a=0時，b2=1，|a|+1b=1，所以|a|+1b最大值為1，當(dāng)a0時，因為(a+1b)2=a2+2a+1b2=1+2aa2+11+2a2a=2，當(dāng)且僅當(dāng)a

5、=1時取等號，所以-2a+1b2，即|a|+1b最大值為2，綜上|a|+1b 的最大值為2.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.34.【解析】【分析】直接利用代數(shù)式的恒等變換和利用均值不等式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】a+3b-2=0，a+3b=2，2a+8b22a+3b=222=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=13時取等號，故答案為：4.【點睛】本題考查的知識要點：代數(shù)式的恒等變換，均值不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型4254【解析】【分析】由題得x+1+y+2=4，所以4x+1+9y+2=14(4x+1+9y+2)(x+1)+(y+2)，再根

6、據(jù)基本不等式即可求出答案【詳解】正數(shù)x，y滿足x+y=1，則x+1+y+2=4，則4x+1+9y+2=14(4x+1+9y+2)(x+1)+(y+2)=14(4+9+4(y+2)x+1+9(x+1)y+2)14(13+12)=254，當(dāng)且僅當(dāng)4(y+2)x+1=9(x+1)y+2時，即x=35，y=25時取等號，故答案為：254【點睛】本題考查了條件等式下利用基本不等式求最值，考查了變形的能力，考查了計算能力，屬于中檔題54【解析】【分析】由題意可得2axby+2=0(a0,b0)經(jīng)過圓心，可得a+b=1，再對1a+1b變形后利用基本不等式求得它的最小值【詳解】圓x2+y2+2x4y+1=0，

7、即(x+1)2+(y2)2=4，表示以(1,2)為圓心、半徑等于2的圓再根據(jù)弦長為4，可得2axby+2=0(a0,b0)經(jīng)過圓心，故有2a2b+2=0，求得a+b=1，則1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，取等號，故則1a+1b的最小值為4，故答案為：4【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題68【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求最小值.【詳解】令x=n1,y=2m1，則x0,y0,4m2n1+n22m1=(y+1)2x+(x+1)2y=(y2x+x2y)+2(yx+xy)+(1x+1y)2y2xx2y+22yxxy+21x1y

8、=4+2xy+2xy4+22xy2xy=8當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取等號.即4m2n-1+n22m-1的最小值為8.【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.723【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求最小值.【詳解】因為9a+127b29a127b=232a3b=23,當(dāng)且僅當(dāng)9a=127b，2a=3b=12時取等號，所以9a+127b 的最小值是23.【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等

9、式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.812【解析】【分析】由已知分離1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+1-4，然后進(jìn)行1的代換后利用基本不等式即可求解【詳解】正實數(shù)x，y滿足x+y=1，則1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+1-4=12(1x+4y+1)x+(y+1)-4=12(5+y+1x+4xy+1)-412(5+4)-4=12當(dāng)且僅當(dāng)y+1x=4xy+1且x+y=1即y=13，x=23時取得最小值是12故答案為：12【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求

10、解最值，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行分離后利用1的代換，在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.92【解析】【分析】由函數(shù)fx=ax2+x+2b的值域為0，+，可得8ab=1，a2+4b2a2b化為a2b+12a2b，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】fx=ax2+x+2b的值域為0，+，a01242ab=0,8ab=1，a2+4b2a2b=a2b2+4aba2b=a2b+12a2b，a2b,a2b0，a2b+12a2b2a2b12a2b=2，當(dāng)

11、a2b=12a2b，即a2b=22是等號成立，所以a2+4b2a2b的最小值為2，故答案為2.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題. 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.107+43【解析】【分析】由已知將xy+x+y化為一次式，運用 “1”的變換，再利用基本不等式可得.【詳解】因為1x+2y=1，所以xy=y+2x，xy+x+y=3x+2y=(3x+2y)(1x+2y)=7+2yx+6xy

12、7+43（當(dāng)且僅當(dāng)y=3x，即x=1+233，y=2+3時取等號），所以xy+x+y的最小值為7+43，故答案為7+43.【點睛】本題考查基本不等式及利用基本不等式求最值,將所求式運用“1”的變換，化為積為常數(shù)的形式是關(guān)鍵，屬于中檔題.1112【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出【詳解】正數(shù)x，y滿足x+5y=3xy，則1y+5x=3，5x+y=13(5x+y)(1y+5x)=13(25+1+5xy+5yx)13(26+25xy5yx)=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時取等號，故5x+y的最小值是12，故答案為：12【點睛】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題122【解析】【分析

13、】利用“1”的代換，求1x+4y得最值，再對x+y4=1直接利用基本不等式求xy得最值，再結(jié)合題意求解即可【詳解】正實數(shù)x，y滿足x+y4=1，1=x+y42xy4=xy，1x+4y-2xy=(1x+4y)(x+y4)-2xy=1+4xy+y4x+1-2xy2+2-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)y=4x4xy=y4x，即y=2，x=12時，取等號，1x+4y-2xy的最小值為2故答案為：2【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，熟記不等式應(yīng)用條件，多次運用基本不等式要注意“=”是否同時取到，是中檔題139【解析】【分析】由條件可得1x+2y=1，即有x+2y=x+2y1x+2y=1+4+2yx+2xy，由基本不等

14、式可得所求最小值【詳解】若x0，y0，2x+yxy=0，即1x+2y=1，則x+2y=x+2y1x+2y=1+4+2yx+2xy5+22yx2xy=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3取得最小值9，故答案為：9【點睛】本題考查基本不等式的運用，注意運用“1”的代換，考查化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題142【解析】【分析】由基本不等式，可得到a2+b2=(a2+b2)+(a2+b2)2a2+b2+2ab2=(a+b)22，然后利用a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)2212，可得到最小值，要注意等號取得的條件。【詳解】由題意，a2+b2=(a2+b2)+(a2+b2)2a2+b2+2ab2=(a+

15、b)22，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，所以a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)2212=2，當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)22=1(a+b)2時取等號，所以當(dāng)a=b=234時，a2+b2+1(a+b)2取得最小值2【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：各項都是正數(shù)；和（或積）為定值；等號取得的條件。153【解析】【分析】由已知可知，a+2bab=1b+2a=13(2a+b)(2a+1b)，整理結(jié)合基本不等式可求.【詳解】解：a，b都是正數(shù)，滿足2a+b=3，則a+2bab=1b+2a=13(2a+b)(2a+1b)=13(5+2ba+2ab)13(5+4)=3，當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2a

16、b且2a+b=3，即a=b=1時，a+2bab取得最小值3，故答案為：3【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本題的關(guān)鍵是進(jìn)行1的代換配湊基本不等式的應(yīng)用條件，屬于基礎(chǔ)題.1615【解析】【分析】對a2+3a+b2+2b-1變形可得原式=3+(3a+3b-1)，由a+b-1=1，利用3+(3a+3b-1)=3+(3a+3b-1)a+(b-1)=3+3+3(b-1)a+3ab-1+3，利用基本不等式求最值即可?！驹斀狻拷猓篴0，b1且a+b=2，a+b-1=1，故a2+3a+b2+2b-1=a+3a+b-1+2+3b-1=3+3a+3b-1=3+(3a+3b-1)a+(b-1)=3+

17、3+3(b-1)a+3ab-1+39+23(b-1)a3ab-1=9+6=15（當(dāng)且僅當(dāng)3(b-1)a=3ab-1時取“=”）.故答案為：15【點睛】本題考查了求代數(shù)式的最值問題，利用基本不等式是解決本題的一個常見方法，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是一道中檔題。171【解析】【分析】由題意可知，點P(x,y)在橢圓x2+y2=2上運動，得y2=2-x2，則11+x2+11+y2=11+x2+13-x2，構(gòu)造基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】點P(x,y)在橢圓x2+y2=2上運動，x2+y2=2即y2=2-x2，則11+x2+11+y2=11+x2+13-x2=1411+x2+13-x21+x2+3

18、-x2=14(2+3-x21+x2+1+x23-x2)14(2+23-x21+x21+x23-x2)=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取等號，即所求的最小值為1.【點睛】本題主要考查了利用橢圓的方程，利用基本不等式求解最小值，解題的關(guān)鍵是利用了1=141+x2+3-x2的代換，從而把所求的式子變形為積為定值的形式，根據(jù)基本不等式即可求出結(jié)果.184【解析】【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求得m+n=1，再利用1m+1n=1m+1nm+n=2+nm+mn，利用基本不等式可求最小值【詳解】fx的對稱軸為x=n12m=12，故m+n=1，又1m+1n=1m+1nm+n=2+nm+mn2+2nmmn=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=12時等號成立，從而1m+1n的最小值為4