磁場(chǎng)邊界條件

1、在實(shí)際工程中，往往要遇到由不同的媒質(zhì)組成的電磁系統(tǒng)。在不同 媒質(zhì)分界面上，由于媒質(zhì)的特性發(fā)生了突變，相應(yīng)的場(chǎng)量一般也將發(fā)生突變。在這一節(jié)中，我們將研究電磁場(chǎng)在兩種媒質(zhì)分界面上的變化規(guī)律。決定分界面兩側(cè)電磁場(chǎng)變化關(guān)系的方程稱為邊界條件。研究邊界條件的出發(fā)點(diǎn)，仍然是麥克斯韋方程組。但在不同媒質(zhì)的 交界面處，由于媒質(zhì)不均勻，媒質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生了突變，因此，微分形式 的方程不再適用，只能從麥克斯韋方程組的積分形式出發(fā)，推導(dǎo)邊界條 件。3.5.1電場(chǎng)法向分量的邊界條件E 3. 9電場(chǎng)法向分壘的邊界條件如圖3.9所示的兩種媒質(zhì)的分界 面，第一種媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和 電導(dǎo)率分別為【，切和J，第二種媒質(zhì) 的介

2、電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率分別為亠，-丄和在這兩種媒質(zhì)分界面上取一個(gè)小的 柱形閉合面，如圖3.9所示，其高為無限小量，上下底面與分界面平行，并分別在分界面兩側(cè)，且底面積非常小，可以認(rèn)為在上的電位移矢量匚和面電荷密度二是均勻的。一 -，1 分別為上下底面的外法線單位矢量，在柱形閉合面上應(yīng)用電場(chǎng)的高斯定律= ft審” 心：=禹+爲(wèi)q(3.48a)若規(guī)定*為從媒質(zhì)U指向媒質(zhì)I為正方向,，式(3.48a)可寫為威(耳-鳥)二扇(3.48b)(3.48c)式(3.48)稱為電場(chǎng)法向分量的邊界條件因?yàn)槎?二，所以式(3.48)可以用匸的法向分量表示(3.49a)(3.49b)若兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)時(shí)，除非特意

3、放置，一般在分界面上不存在自由面電荷，即 一，所以電場(chǎng)法向分量的邊界條件變?yōu)?3.50a)(3.50b)若媒質(zhì)I為理想介質(zhì)，媒質(zhì)U為理想導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，即，在導(dǎo)體表面存在自由面電荷密度，則式(3.48)變?yōu)椋琠【*(3.51a)(3.51b)3.5.2電場(chǎng)切向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面上取一小的矩形閉合回路abed，如圖3.10所示，該回路短邊為無限小量，其兩個(gè)長(zhǎng)邊為 匚，且平行于分界面，并分別在分 界面兩側(cè)。在此回路上應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律因?yàn)楹?3.52a)E 3.10電場(chǎng)切向分壘的邊界奚件若”為從媒質(zhì)U指向媒質(zhì)I為正方向，式(3.52a)可寫為宀倒?fàn)?wèi))二。(3.52b)式(

4、3.52)稱為電場(chǎng)切向分量的邊界條件。該式表明，在分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的 切向分量總是連續(xù)的。用匸表示式(3.52a)得 二 二(3.53)若媒質(zhì)U為理想導(dǎo)體時(shí)，由于理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，故與導(dǎo)體相鄰 的媒質(zhì)I中電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必然為零。即恥(3.54)因此，理想導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)總是垂直于導(dǎo)體表面， 對(duì)于時(shí)變場(chǎng)，理想 導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，因此理想導(dǎo)體的切向電場(chǎng)總為零，即電場(chǎng)也總是垂直 于理想導(dǎo)體表面。3.5.3標(biāo)量電位的邊界條件tt在兩種媒質(zhì)分界面上取兩點(diǎn)，分別璋J為A和B,如圖3.11所示。A，B分別位于分界面兩側(cè)，且無限靠近，兩點(diǎn)二二I-的連線丄，且丄與分界面法線壬平行，從標(biāo)量電位的物理意

5、義出發(fā)，得由于J和J為有限值，而匸所以由上式可知廠丄 ，即(3.55) 式中S為兩種媒質(zhì)分界面。該式表明在兩種媒質(zhì)分界面處，標(biāo)量電位是連續(xù) 的。標(biāo)量電位在分界面上的邊界條件在靜電場(chǎng)求解問題中是非常有用的?？紤]到電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系:(3.49b)得宜 s，由電場(chǎng)的法向分量邊界條件式式(3.56)稱為靜電場(chǎng)中標(biāo)量電位的邊界條件。若兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)時(shí)，在分界面上無自由電荷,(3.56)標(biāo)量電位的邊界條件為(3.57)(3.59a)或若在理想導(dǎo)體表面上，標(biāo)量電位的邊界條件為(3.58a)3.5.4與分界面平行，底面積-很小，議為從嘰(常數(shù))讎場(chǎng)法向分量的邊界條件媒質(zhì)U指向媒質(zhì)I法線方向矢量，在該

6、閉合面上應(yīng)用磁場(chǎng)的高斯定律0 B=蒂場(chǎng)牙場(chǎng)AS = 0則】(3.59b)式(3.59)為磁場(chǎng)法向分量的邊界條件。該式表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在 分界面處是連續(xù)的。因?yàn)橐?&，所以式(3.59b)也可以用匚的法向分量表示(3.60)若媒質(zhì)U為理想導(dǎo)體時(shí)，由于理想導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，故(3.61)因此，理想導(dǎo)體表面上只有切向磁場(chǎng)，沒有法向磁場(chǎng)3.5.5磁場(chǎng)切向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面處作一小矩 形閉合環(huán)路，如圖3.13所示。環(huán)路 短邊二.；，兩長(zhǎng)邊分別位于分界面兩側(cè)，且平行于分界面。在此穿過閉合回路中的總電流 為環(huán)路上應(yīng)用安培環(huán)路定I =佔(zhàn)十十幾加竺5-22祝 2 di 2式中為分界面

7、上面電流密度，分別為兩種媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流體dDx dD2密度，-和二 分別為兩種媒質(zhì)中的位移電流密度。因?yàn)?】，除外，回路中的其他電流成分均趨向零，即7-，于是(3.62a)式中-方向與所取環(huán)路方向滿足右手螺旋法則 用矢量關(guān)系，式(3.62a)可表示為(3.62b)式(3.62)為磁場(chǎng)切向分量的邊界條件。式中冠為從媒質(zhì)U指向媒質(zhì)I的法線 單位矢量。用丄表示式(3.62a)得(3.63)若兩種媒質(zhì)為理想介質(zhì)，分界面上面電流密度L ，則磁場(chǎng)切向分量邊界條件為(3.64a)(3.64b)或由式(3.59b)和式(3.64b)可得tan 4若媒質(zhì)u為高磁導(dǎo)率材料丿、,當(dāng)I小于時(shí)，二將非常小。換 句話說

8、，在鐵磁質(zhì)表面上磁力線近乎垂直于界面。 當(dāng)上一 時(shí)，丨,即 在理想鐵磁質(zhì)表面上只有法向磁場(chǎng)，沒有切向磁場(chǎng)。(3.6 5)若媒質(zhì)之一為理想導(dǎo)體，電流存在于理想導(dǎo)體表面上f ，因理想導(dǎo) 體內(nèi)沒有磁場(chǎng)，理想導(dǎo)體表面切向磁場(chǎng)為也二兀(3.66a)或%月応(3.66b)若媒質(zhì)的電導(dǎo)率才有限，即媒質(zhì)中有電流通過，其電流只是以體電流分布 的形式存在，在分界面上沒有面電流分布，即，則分界面上磁場(chǎng)切向分量是連續(xù)的，即03.5.6矢量磁位的邊界條件根據(jù)矢量磁位-所滿足的旋度和散度表示式，及磁場(chǎng)的基本方程，可推導(dǎo)出二的法向分量和切向分量在兩種媒質(zhì)分界面處是連續(xù)的， 所以二矢量在分界面處也應(yīng)是連續(xù)的，即4|* J 5

9、(3.67)由式(3.63)可得1 亠 1 一-(Vx4-丄(血甩)嚴(yán)兀(3.68)3.5.7標(biāo)量磁位的邊界條件在無源區(qū)域，即無電流區(qū)域，安培環(huán)路定律的積分和微分形式為推莊二09x = 0(3.69)(3.70)根據(jù)矢量運(yùn)算，由式(3.70)可引入一標(biāo)量函數(shù)二，令育=(3.71)該標(biāo)量函數(shù);稱為標(biāo)量磁位，其單位是安培(A)。式(3.71)中的負(fù)號(hào)是為了與靜電場(chǎng)中.。相對(duì)應(yīng)而引入的。引入標(biāo)量磁位的概念完全是為了在某些情況下使磁場(chǎng)的計(jì)算簡(jiǎn)化，并無實(shí)際的物理意義。類似于電位差的計(jì)算，a點(diǎn)和b點(diǎn)的磁位差為%=爐袒-滋“L乩圧根據(jù)標(biāo)量磁位定義和磁場(chǎng)的邊界條件可得(3.72)(3.73a)(3.73b)式

10、(3.73)為標(biāo)量磁位的邊界條件3.5.8電流密度的邊界條件在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面處作一小柱形閉合面。如圖 3.14所示，其高度 -，上下底面位于分界面兩側(cè)，且與分界面平行，底面面積 二；很小。汀為從媒質(zhì)U指向媒質(zhì)I法線方向矢量。根據(jù)電流連續(xù)性方程在圖3.14所示的閉合曲面上,(3.75)苗険(3.74)(3.76)(3.77)式中-為閉合曲面包圍的總電荷,當(dāng)f時(shí)，有將式(3.77)代入式(3.76)得(3.78)將式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得(3.79a)(3.79b)根據(jù)導(dǎo)電媒質(zhì)中的物態(tài)方程，又已知在分界面處電場(chǎng)切向分量連續(xù)，即I 【，所以電流密度的切向分量滿足- J腫1 r(3.80a)或A_A=0 (3.80b)式(3.79)和式(3.80)為電流密度滿足的邊界條件，對(duì)靜態(tài)場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)均適用。 在這一節(jié)中，我們?cè)敿?xì)討論了電磁場(chǎng)中各參量的邊界條件，為明晰起見, 歸納如下。矢量形式腫( -鳥)=厲標(biāo)量形式%