2021屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題訓(xùn)練球1?含解析?

1、球1三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，若三棱錐的體積的最大值為，則球的體積為ABCD解：因?yàn)椋?，所以，過(guò)的中點(diǎn)作平面的垂線，則球心在直線上，設(shè)，球的半徑為，則棱錐的高的最大值為，所以，解得，在中，則，由解得，所以球的體積為故選：2四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球上，且，則球的表面積為ABCD解：如圖，取，的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，所以，又，故，則，所以為等腰直角三角形，所以，取上一點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，只需使得，則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，設(shè)，則，所以，解得，所以，故球的表面積為故選：3已知四棱錐的底面是矩形，其中，平面平面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為ABCD解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，平面平面

2、，且平面平面，平面，平面，設(shè)四棱錐的外接球的球心為，連接，設(shè)，連接，則底面，直線與所成角的余弦值為，即，設(shè)，則，平面平面，且平面平面，平面，平面，則，又，解得，可得，又，四棱錐的外接球的半徑滿足：，四棱錐的外接球表面積為故選：4已知三棱錐中，是以角為直角的直角三角形，為的外接圓的圓心，那么三棱錐外接球的體積為ABCD解：如圖，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，連結(jié)，由已知可得，為圓的直徑，則，因?yàn)?，在中，由余弦定理可得，則，又，所以為鈍角，由正弦定理可得，即，解得，所以，因?yàn)?，三線共面，則，在中，在中，所以，解得，故三棱錐的外接球的體積為故選：5九章算術(shù)卷五商功中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底面為矩形

3、，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽(yáng)馬（如圖），平面，點(diǎn)，分別在，上，當(dāng)空間四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為ABCD解：如圖所示，把，剪開(kāi)，使得與矩形在同一個(gè)平面內(nèi)延長(zhǎng)到，使得，則四點(diǎn)，在同一條直線上時(shí)，取得最小值，即空間四邊形的周長(zhǎng)取得最小值可得，點(diǎn)為的中點(diǎn)如圖所示，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為，則取分別為，的中點(diǎn)設(shè)，則，解得設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則三棱錐外接球的表面積故選：6已知三棱錐的底面是正三角形，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的射影是的垂心，當(dāng)三棱錐體積最大值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為ABCD解：延長(zhǎng)交于，連接，是的垂心，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，連接并延長(zhǎng)交于，連接，由平面可得

4、，又，平面，設(shè)在平面上的射影為，延長(zhǎng)交于，連接，平面，是的中心，是的中點(diǎn)，當(dāng)，兩兩垂直時(shí)，三棱錐體積取得最大值時(shí)，將，作為正方體的相鄰的三條棱補(bǔ)成正方體，則外接球的直徑即為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，所以三棱錐的外接球的半徑滿足：，解得，所以球的表面積為，故選：7三棱錐中，的面積為，則此三棱錐外接球的體積為ABCD解：如圖所示：，又，則，又由三角形的面積為，得三角形的高，求解直角三角形可得，在中，由余弦定理可得，即，解得（舍，或，則，得到，根據(jù)球的性質(zhì)可得為三棱錐的外接球的直徑，得，此三棱錐外接球的體積為故選：8如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，且平面，若，則四棱錐的外接球的體積為ABCD解：過(guò)點(diǎn)，作球

5、的截面如圖1，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理，所以，所以到等腰梯形各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，過(guò)點(diǎn)，作球的截面，如圖2，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以平面，所以，又，所以，所以點(diǎn)是四棱錐外接球的球心，在中，所以，所以四棱錐的外接球的體積：，故選：9在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為解：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因，所以，所以即為二面角的平面角，即，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以的外接圓圓心即為三角形的重心，過(guò)作平面，而為的外接圓圓心，過(guò)作平面，所以與的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，作平面截面圖，則，而，則，所以，所以三棱錐外

6、接球的表面積為故答案為：10已知三棱錐外接球的球心在線段上，若與均為面積是的等邊三角形，則三棱錐的體積為解：如圖，三棱錐外接球的球心在線段上，又與均為面積是的等邊三角形，設(shè)，則，得，即，可得，進(jìn)一步求得，得到，設(shè)中點(diǎn)，連接，求得且，又，平面，在中，則故答案為：11已知球是三棱錐的外接球，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則球的表面積為解：由，得由點(diǎn)是 的中點(diǎn)及，求得，又，得，又且，平面，平面球心到底面 的距離，由正弦定理得 的外接圓半徑，球的半徑為，球的表面積為故答案為：12在正三棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則該三棱錐外接球的表面積為解：如圖，取中點(diǎn)，連接，在正三棱錐中，、平面，平面平面，又，、平面，平面又平面，平面，平面、平面，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面全等，、兩兩垂直，且可將正三棱錐補(bǔ)成正方體正三棱錐外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線正三棱錐的外接球的表面積為13在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為解：連結(jié)，取中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)