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文檔簡(jiǎn)介

1、球1三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上,若三棱錐的體積的最大值為,則球的體積為ABCD解:因?yàn)椋?,所以,過(guò)的中點(diǎn)作平面的垂線,則球心在直線上,設(shè),球的半徑為,則棱錐的高的最大值為,所以,解得,在中,則,由解得,所以球的體積為故選:2四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球上,且,則球的表面積為ABCD解:如圖,取,的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)?,所以,又,故,則,所以為等腰直角三角形,所以,取上一點(diǎn),連結(jié),因?yàn)?,只需使得,則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心,設(shè),則,所以,解得,所以,故球的表面積為故選:3已知四棱錐的底面是矩形,其中,平面平面,且直線與所成角的余弦值為,則四棱錐的外接球表面積為ABCD解:如圖,取的中點(diǎn),連接,則,平面平面

2、,且平面平面,平面,平面,設(shè)四棱錐的外接球的球心為,連接,設(shè),連接,則底面,直線與所成角的余弦值為,即,設(shè),則,平面平面,且平面平面,平面,平面,則,又,解得,可得,又,四棱錐的外接球的半徑滿足:,四棱錐的外接球表面積為故選:4已知三棱錐中,是以角為直角的直角三角形,為的外接圓的圓心,那么三棱錐外接球的體積為ABCD解:如圖,設(shè)三棱錐外接球的球心為,半徑為,連結(jié),由已知可得,為圓的直徑,則,因?yàn)?,在中,由余弦定理可得,則,又,所以為鈍角,由正弦定理可得,即,解得,所以,因?yàn)?,三線共面,則,在中,在中,所以,解得,故三棱錐的外接球的體積為故選:5九章算術(shù)卷五商功中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底面為矩形

3、,一棱垂直于底面的四棱錐”,現(xiàn)有陽(yáng)馬(如圖),平面,點(diǎn),分別在,上,當(dāng)空間四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí),三棱錐外接球的表面積為ABCD解:如圖所示,把,剪開(kāi),使得與矩形在同一個(gè)平面內(nèi)延長(zhǎng)到,使得,則四點(diǎn),在同一條直線上時(shí),取得最小值,即空間四邊形的周長(zhǎng)取得最小值可得,點(diǎn)為的中點(diǎn)如圖所示,設(shè)的外心為,外接圓的半徑為,則取分別為,的中點(diǎn)設(shè),則,解得設(shè)三棱錐外接球的半徑為,則三棱錐外接球的表面積故選:6已知三棱錐的底面是正三角形,點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的射影是的垂心,當(dāng)三棱錐體積最大值時(shí),三棱錐的外接球的表面積為ABCD解:延長(zhǎng)交于,連接,是的垂心,平面,平面,又平面,平面,平面,又平面,連接并延長(zhǎng)交于,連接,由平面可得

4、,又,平面,設(shè)在平面上的射影為,延長(zhǎng)交于,連接,平面,是的中心,是的中點(diǎn),當(dāng),兩兩垂直時(shí),三棱錐體積取得最大值時(shí),將,作為正方體的相鄰的三條棱補(bǔ)成正方體,則外接球的直徑即為正方體的對(duì)角線長(zhǎng),所以三棱錐的外接球的半徑滿足:,解得,所以球的表面積為,故選:7三棱錐中,的面積為,則此三棱錐外接球的體積為ABCD解:如圖所示:,又,則,又由三角形的面積為,得三角形的高,求解直角三角形可得,在中,由余弦定理可得,即,解得(舍,或,則,得到,根據(jù)球的性質(zhì)可得為三棱錐的外接球的直徑,得,此三棱錐外接球的體積為故選:8如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,且平面,若,則四棱錐的外接球的體積為ABCD解:過(guò)點(diǎn),作球

5、的截面如圖1,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,同理,所以,所以到等腰梯形各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等,過(guò)點(diǎn),作球的截面,如圖2,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則,所以平面,所以,又,所以,所以點(diǎn)是四棱錐外接球的球心,在中,所以,所以四棱錐的外接球的體積:,故選:9在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為解:取的中點(diǎn),連接、,因?yàn)槭堑冗吶切?,所以,又因,所以,所以即為二面角的平面角,即,因?yàn)槭堑冗吶切?,所以的外接圓圓心即為三角形的重心,過(guò)作平面,而為的外接圓圓心,過(guò)作平面,所以與的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心,作平面截面圖,則,而,則,所以,所以三棱錐外

6、接球的表面積為故答案為:10已知三棱錐外接球的球心在線段上,若與均為面積是的等邊三角形,則三棱錐的體積為解:如圖,三棱錐外接球的球心在線段上,又與均為面積是的等邊三角形,設(shè),則,得,即,可得,進(jìn)一步求得,得到,設(shè)中點(diǎn),連接,求得且,又,平面,在中,則故答案為:11已知球是三棱錐的外接球,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,則球的表面積為解:由,得由點(diǎn)是 的中點(diǎn)及,求得,又,得,又且,平面,平面球心到底面 的距離,由正弦定理得 的外接圓半徑,球的半徑為,球的表面積為故答案為:12在正三棱錐中,點(diǎn)是的中點(diǎn),若,則該三棱錐外接球的表面積為解:如圖,取中點(diǎn),連接,在正三棱錐中,、平面,平面平面,又,、平面,平面又平面,平面,平面、平面,正三棱錐的三個(gè)側(cè)面全等,、兩兩垂直,且可將正三棱錐補(bǔ)成正方體正三棱錐外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線正三棱錐的外接球的表面積為13在棱長(zhǎng)為2的正方體中,是的中點(diǎn),是上的動(dòng)點(diǎn),則三棱錐外接球表面積的最小值為解:連結(jié),取中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)

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