暑期生活專題50001

1、專題5全等三角形（一）全等三角形是平面幾何最為重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)平面幾何的關(guān)鍵階段，對(duì)于計(jì)算和證明線段之間或角之間的數(shù)量關(guān)系，證明線段之間的位置關(guān)系起著重要作用。特別是通過(guò)這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)能更好地接受數(shù)學(xué)思維方法、解題技巧和表達(dá)規(guī)范方面的訓(xùn)練。學(xué)好全等三角形的知識(shí)，要注意弄清全等三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的概念。在兩個(gè)全等三角形中，一般地有：1若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角為對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊；若兩條邊相等，則這兩條邊為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角。2兩個(gè)對(duì)應(yīng)角的夾邊為對(duì)應(yīng)邊；兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角為對(duì)應(yīng)角。3公共邊或公共角為對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角；最大邊或最小邊為對(duì)應(yīng)邊；最大角或最小角為對(duì)應(yīng)角。要順利

2、解題，必須熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定方法，同時(shí)應(yīng)善于聯(lián)系已學(xué)過(guò)的 圖形性質(zhì)，會(huì)把隱含在圖形內(nèi)部的間接條件揭示出來(lái)，轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的直接條件。 至于畫(huà)圖，則要明確畫(huà)圖時(shí)每一步的依據(jù)，規(guī)范作圖過(guò)程。作圖中一般應(yīng)保留作圖的主要痕跡。在計(jì)算和證明時(shí)，應(yīng)理清思路，確定突破點(diǎn)，分析、推理應(yīng)有據(jù)、合理，通過(guò)實(shí)踐逐步學(xué)會(huì)用綜合法和分析法思考問(wèn)題。注意由已知看可知，由未知看需知，如果可知和需知之間的關(guān)系一旦明確，將使解題途徑暢通無(wú)阻，特別在條件和結(jié)論之間關(guān)系不易尋求時(shí)，要逐步學(xué)會(huì)有目的地添設(shè)輔助線，就在如在列方程（組）解應(yīng)用題時(shí)，思路受阻，可以用多設(shè)未知 數(shù)加以溝通一樣，可以幫助架起一座思維的橋梁，從

3、而實(shí)現(xiàn)由已知條件向所求結(jié)論的過(guò)渡。例1.如果ABC也ADE且AB = AD ,如圖所示，那么這兩個(gè) 三角形另外兩組對(duì)應(yīng)邊是 與, 與;對(duì)應(yīng)角是二與二，二仝玄:解：因?yàn)锳BC也ADE且AB = AD，則另兩組對(duì)應(yīng)邊為 AC =AE , BC = DE;對(duì)應(yīng)角為/ BAC =Z DAE，/ ABC =Z ADE，/ ACB =Z AED。例2.在ABC中，AB = AC,高AD、BE、CF相交于O,如圖所示，圖中全等三角形 的對(duì)數(shù)是（）BC于M，作MN丄交(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7解：應(yīng)選(D) 根據(jù)全等三角形的判定方法，可知：例 3 .已知ABC 中，CA = CB，/ C= 90

4、。，AM 平分/ BAC ,BOF 也COE(AAS); BOD 也COD(HL); ABD 也ACD(HL); ABE 也ACF(AAS);AB 于 N。求證：CM = BN。分析：CM和BN分別所在的CMA和BNM不是全等三 角形，但可尋找一條和 CM、BN都相等的線段。由于CA = CB , / C = 90。，因此/ CAB =Z CBA = 45。，又 MN 丄AB 于 N,則/ BMN=Z B= 45。，所以BN= MN MN即為要尋找的線段，只須證明Rt AC曜 Rt ANM即得 MC= MN證明：略例4 .在凸四邊形 ABCD中, BC= CD,且對(duì)角線 AC平分/ BAD 求

5、證：/ BCD和/ BAD互補(bǔ)。證明：作CF丄AD的延長(zhǎng)線于 F,作CEL AB于E。在Rt ACE和Rt ACF中，AC為公共邊，/ CAE=Z CAF （已知），所 以Rt ACE Rt ACF（AAS）,得CE= CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相 等）。又 CB= CD（已知），所以 Rt BCE Rt DCF,得/ CDF=Z CBE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），因?yàn)? CDF + Z CDA= 180。，所以/ CDA與/ CBA互補(bǔ)，則/ BCD與/ BAD 也互補(bǔ)。例5 .以ABC的三邊為邊長(zhǎng)，在BC的同側(cè)作等邊 ABD BCE ACF 求證：AF= DE EF= AD證明：由/ EBC=

6、Z DBA= 60。，得/ ABG=Z DBE 又 BC= BE, BA= BD,所以DBE ABC （SAS,所以DE= AC （全等三角形對(duì) 應(yīng)邊相等），因?yàn)锳C= AF,因此DE= AF。同理可證FE3 ABC 得 EF= AB 而 AB= AD所以 EF= ADb例 6 如圖所示,/ BOM=Z AON / OAB=Z OMN AB= MN 就圖中已給出的字母判斷：共出現(xiàn)幾對(duì)全等三角形，并對(duì)你的判 斷作出證明。L解：判斷 AOB MON BOIW NOA 由/ BOM=Z AON 得出/ AOB=/ MON.（已知；等量公理）又/ OA=Z OMNAB= M（已 知），所以AOB2 M

7、OINAAS）,即得出 OA= OM OB= ON（全等三 角形對(duì)應(yīng)邊相等），因?yàn)? BO=Z AON所以BO陣NOA（ SAS例7 .如果點(diǎn) D是ABC的/ BAC的平分線上的一點(diǎn)，又 AB AC 則 AB- AC BD- CD分析：由于 AB AC DB DC分散在兩個(gè)三角形中，因此很難比 較AB-AC和BD- CD的大小，必須作適當(dāng)?shù)妮o助線把這些分散的條件聚 攏在一起，才有利于使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯關(guān)系，于是，我們可 利用條件：ABAC,在AB上截取 AF= AC 連結(jié)DF。因?yàn)锳D公用，/BDAF=Z DAC（已知），AF= AC （作法），所以ADF ADC（ SAS,所 以DF=

8、 DC BF= AB- AC利用BDF把AB- AC BD CD聚集在一起，由于三角形兩邊之差 小于第三邊，所以 BD- DFV BF= AB- AC 亦即 AB- AC BD- CD證明：略例8 .若D為等腰直角ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn) 分別作BA AC的延長(zhǎng)線的垂線 PE、PF,垂足分別為E、F。求 證：DEI DR證明：連結(jié) AD,則ADL BC于 D （ D為BC的中點(diǎn)；等腰三 角形三線合一），因?yàn)锳D公用，BD= CD所以ABD ACD （SAS,則/ BAD=Z CAD= 45。，又/ ABC=Z ACB= 45。，所以AD= CD因?yàn)?PE! B

9、E, PFL AF,所以 AE= FP,又/ FCF=Z ACD= 45。，所以 FC= FP, 即卩 AE= FC, 又/ DAE= 135。=Z DCF所以ADE CDF（ SAS,得出/ ADE=Z CDF（全等三角形對(duì)應(yīng)角 相等），因?yàn)? ADEZ EDG= 90。，所以/ FD冉/ EDC= 90。，即 DEI DF練習(xí)題一、選擇題1兩根木棍的長(zhǎng)分別為 3m和5m要選第三根木棍將它們釘成一個(gè)三角形，若第三根木 棍的長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三根木棍的長(zhǎng)為（）(A) 4m(B) 2m(C) 4m(D) 5m或6m或6m或8m 或6m2已知三個(gè)銳角之和大于180,則至少有一個(gè)銳角大于(A) 81 (

10、B) 76 (C) 68 (D) 60 3 在等腰ABC 中，AB = AC，/ A= 30 繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)， 使CB與CB重合， 么，/ AA B%()(A) 30 (B) 25 (C) 22 .30(D) 20 4在ABC中，/ B = 60, AB AC,則/ A的取值范圍應(yīng)為()(A) 30 / A v 90(B) 30 / A 60(C) 0 Z A 60(D) 0 Z AZ A; ( 2)1PA+ PB+ PO - (AB+BC+CA ).218 在ABC 中，+ CF的大小關(guān)系,D是BC的中點(diǎn)， 并證明你的結(jié)論。DE丄DF。試判斷 EF與BEBDC18胚)參考答案1.A2.D3.C4.C5.D6.D7.B8.B9等邊三角形10.2a (提示：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)AM )11.10。12.1013.a14.60。15.可先證ACE也DCB ,再證明ACIWRt CBE從而得到DE=AD+ BE;若直線I通過(guò)ABC的內(nèi)部，貝U DE=| AD-BE|17. (1)可連結(jié)AP并延長(zhǎng)之，使與BC交于D,利用“三角形的外角大于和它不相鄰的內(nèi)角”，可證得/ BPOZ BAD/ CPDZ CAD所以/ BPOZ A; (2)根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”，因此PA+ PBAB PB+ PC BC, PC+ PA AC,三式相加得 2 ( PA+ PB+ PC)