復(fù)變函數(shù)第二章-2 (1)

1、1 2.3 2.3 初等函數(shù)初等函數(shù) 2 對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù) ，稱，稱iyxz )sin(cosexpyiyezew xz 為為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)。 n對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù) y 有有 , cossin iy eyiy 即，即，歐拉歐拉(Euler)公式公式。 l指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 在全平面上有定義在全平面上有定義。 z ew 定義定義 u等價于：等價于： , 2, 1, 02)Arg(kkye ee z xz l指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 在全平面上解析在全平面上解析，且且 。 l復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)復(fù)變量的指數(shù)函數(shù) 是實變量指數(shù)函數(shù)是實變量指數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面上在復(fù)平面上 的解析拓廣。的解析拓廣。當當y=

2、0時，有時，有 。 2.3.1 2.3.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) xz ee z e x e () zz ee z ew 3 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) u指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的非零性非零性，即總有，即總有 由于由于 ，所以，總有，所以，總有 。 0 z e u加法定理加法定理： 111, zxiy 222. zxiy 由定義有由定義有 )sin(cos)sin(cos 2211 2121 yiyeyiyeee xxzz )sin()cos( 2121 21 yyiyye xx 21 zz e 即即 1212 zzzz eee 0 z e 0 xz ee 1212 zzzz eee 設(shè)設(shè) 證證 4

3、 l從歐拉公式可知，對于任意整數(shù)從歐拉公式可知，對于任意整數(shù)k有有 1)2sin()2cos( 2 kike ik 再由指數(shù)運算法則得到再由指數(shù)運算法則得到 1 2z zzk iz eeee u復(fù)變量指數(shù)函數(shù)復(fù)變量指數(shù)函數(shù) 當當 趨向趨向 時沒有極限。時沒有極限。 z e z 因為，當因為，當z沿實軸正向趨向于沿實軸正向趨向于 時時,有有 0 limlim zx zx z x ee 而當而當z沿實軸負向趨向于沿實軸負向趨向于 時，有時，有 u周期性周期性：指數(shù)函數(shù)是：指數(shù)函數(shù)是以以2ki為周期為周期的周期函數(shù)的周期函數(shù). 因此，因此，z趨向趨向時的極限不存在。時的極限不存在。 證證 0liml

4、im 0 x x z xz z ee 5 【例【例2.15】 計算計算 和和 的值。的值。 解解: 根據(jù)指數(shù)定義根據(jù)指數(shù)定義 3 3 4 (cossin) 44 i eei 4/1expi 1 44 exp1/4 i ie 3 4 i e 1 4 cossin 44 ei 3 22 () 22 ei 33 11 22 22 eei 1 4 1 1 2 ei 6 【例【例 2.16】利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示計算】利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示計算 。 3 1 ) 21 2 ( i i 解解 因為因為 1 1 13 (arctan) 2 3 arctan2 25 125 i i ie ie . 2 , 1 , 0k

5、 故所求之值有故所求之值有3個，即個，即 ， 及及 i e 6 i e 6 5 i e 2 3 , 22 i 3 , 22 i i。 , 也就是也就是 1 11 3 (2)(arctanarctan2) 322 iki ee 7 2.3.2 2.3.2 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)也是定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)也是定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。 定義定義 滿足方程滿足方程 的函數(shù)的函數(shù) ，稱為，稱為對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)。) 0( zzew)(zfw 記作記作 。 Lnwz 令令 ， ，則，則 i rez ivuw iivu ree 所以所以 u er ，kv20, 1, 2,k （）

6、。 即即 lnur，kv2 0, 1, 2,k （）。 由于由于 ，而，而 zr 是是z的輻角，故恰有的輻角，故恰有Argzv LnlnArgwzziz，. 0z ，故有，故有 8 0, 1, 2,k （） 其中：其中： l 是通常正數(shù)是通常正數(shù) 的自然對數(shù)。的自然對數(shù)。 l對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 為為多值函數(shù)多值函數(shù)。并且。并且每兩個值相差每兩個值相差 的整數(shù)倍的整數(shù)倍。 u如果規(guī)定如果規(guī)定 取主值取主值 ，就得，就得 的一個單值的一個單值 “分支分支”，記作，記作 ，把它稱為，把它稱為 的的主值主值。 故故 因此，因此， 可表示為可表示為Lnz l對于每一個固定的對于每一個固定的k, 上式為一單

7、值函數(shù)上式為一單值函數(shù), 稱為稱為 的的一個分支一個分支。 Lnz l當當 時時 的主值的主值 ，這就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)。，這就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)。 LnlnArgwzziz，. 0z zln z Lnwz i2 Argz zarg zln Lnz Lnz 0 xzxzlnlnLnz lnlnargzziz ikzz2lnLn 9 【例【例2.17】 求求 , 及它們相對應(yīng)的主值。及它們相對應(yīng)的主值。Ln( 1) 解解: 1)因為因為 Ln( 1)ln1(2)(21)ikki 【例【例 2.18】求】求 。Ln(23 ) i 解解: 因為因為 2313i 3 arg(23 )arctan 2 i

8、所以所以 13 Ln(23 )ln13(arctan2) 22 iik 2Ln 主值為：主值為： i ) 1ln( 2) （k=0,1,2, ） ik22ln2Ln 主值為：主值為： 2ln ，故，故11 , arg( 1) (k=0,1,2, ) (k=0,1,2, ) 10 【例【例2.19】計算】計算 及及 ln( 23 ) i 解解 根據(jù)定義，根據(jù)定義， )32arg(32ln)32(iiiiLn ) 2 3 arctan(13ln 3 1 i ln( 23 ) i lni iiii 2 arg1lnln 11 u遇到的三種對數(shù)函數(shù)遇到的三種對數(shù)函數(shù): 1) 實變量的對數(shù)函數(shù)實變量的對

9、數(shù)函數(shù) 。 它對一切正數(shù)它對一切正數(shù)x有定義，且是單值的；有定義，且是單值的； 2) 復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)復(fù)變量的對數(shù)函數(shù) Lnz 。 它對于一切不為它對于一切不為0的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z有定義，且每個有定義，且每個z對應(yīng)無窮多值；對應(yīng)無窮多值； 3) 復(fù)變量對數(shù)函數(shù)的主值復(fù)變量對數(shù)函數(shù)的主值 。zln 它對于一切不為它對于一切不為0的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z有定義，且為單值，即取有定義，且為單值，即取Lnz 無窮多值中的一個，其虛部等于無窮多值中的一個，其虛部等于z的主輻角。特別，當?shù)闹鬏椊?。特別，當z為正為正 實數(shù)時，主值實數(shù)時，主值lnz恰與實數(shù)的對數(shù)相一致。恰與實數(shù)的對數(shù)相一致。 利用輻角的相應(yīng)性質(zhì)，容易驗證

10、，對數(shù)函數(shù)具有下列性質(zhì)。利用輻角的相應(yīng)性質(zhì)，容易驗證，對數(shù)函數(shù)具有下列性質(zhì)。 ln x 12 u對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： (1) (1) 運算性質(zhì)運算性質(zhì) 1 212 Ln()LnLnz zzz 1 12 2 Ln()LnLn z zz z l注意：注意： LnLn n znz 1 LnLn n zz n 其中其中n為大于為大于1的整數(shù)。的整數(shù)。 不成立不成立 （） （） 13 【例如【例如】 2222 LnLnln22 2ln220, 1, 2, i zr erik rikk , 2, 1, 042ln2 2ln2Ln2 11 1 kkir kirz 可見，可見， 的值比的值比2Ln

11、z的值多。的值多。 2 Lnz 另外，在實數(shù)范圍內(nèi)，另外，在實數(shù)范圍內(nèi)， 的自變量的自變量z可取負實數(shù)，而可取負實數(shù)，而2Lnz 2 Lnz 的自變量的自變量z只能取正實數(shù)只能取正實數(shù)，所以不正確。所以不正確。 同樣有：同樣有： zzLn 2 1 Ln ，因為，因為 zzLn2Ln 2 14 (2) (2) 解析性解析性 l主值主值w=lnz，在除去原點及負實軸的復(fù)平面上是解析的，在除去原點及負實軸的復(fù)平面上是解析的， 且且 1 (ln )z z 因為因為 lnlnarg(arg).wzzizz z dw dedz zd w 11ln 其中，其中， 除原點外在其他點都是連續(xù)的，而除原點外在其他

12、點都是連續(xù)的，而argz在原在原 點與負實軸上都不連續(xù)。點與負實軸上都不連續(xù)。 在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi) 處處連續(xù)。處處連續(xù)。 ln z 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值是單值 的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知 ln z w ez zvarg 因此，因此，lnz在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析。在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析。 15 l 又由于又由于 （k為整數(shù)），因此為整數(shù)），因此: Lnz的的各分支在除去原點及負實軸的平面內(nèi)也解各分支在除去原點及負實軸的平面內(nèi)也解 析，并且有相同的導(dǎo)數(shù)值。析，并且有相同的導(dǎo)數(shù)值。 今后，我

13、們應(yīng)用對數(shù)函數(shù)時，都是指它在除去原點今后，我們應(yīng)用對數(shù)函數(shù)時，都是指它在除去原點 及負實軸的平面內(nèi)的某一單值分支。及負實軸的平面內(nèi)的某一單值分支。 Lnln2zzk i 16 【例【例2.20】 求下列函數(shù)在復(fù)平面上的可導(dǎo)和解析點集求下列函數(shù)在復(fù)平面上的可導(dǎo)和解析點集. 解：解： 由對數(shù)函數(shù)的解析特征可得，除滿足以下方程的點集外，由對數(shù)函數(shù)的解析特征可得，除滿足以下方程的點集外， f(z)在復(fù)平面上的其它區(qū)域解析，在復(fù)平面上的其它區(qū)域解析， 0)241Re(ziand 0)241Im(zi 即即 021 x and 024y 可得：可得： 2 1 xand 2y 因此，因此，f(z)在復(fù)平面上

14、除去在復(fù)平面上除去 的其它區(qū)域內(nèi)解析。的其它區(qū)域內(nèi)解析。 2 2 1 y x )241ln()(zizf 17 2.2.3 2.2.3 冪函數(shù)冪函數(shù) 定義定義 函數(shù)函數(shù) 規(guī)定為規(guī)定為 a wz Lnaaz ze （a為復(fù)常數(shù)，為復(fù)常數(shù)， ），）， 0z 稱為復(fù)變量的稱為復(fù)變量的冪函數(shù)冪函數(shù)。 還規(guī)定還規(guī)定：當：當a為正實數(shù)且為正實數(shù)且z=0時，時， 。0 a z （由于（由于 是多值函數(shù)，所以是多值函數(shù)，所以 一般也是多值函數(shù)。）一般也是多值函數(shù)。） Lnz Lnaz e u冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)： 1) 冪函數(shù)冪函數(shù) 是是多值函數(shù)多值函數(shù)。 a z 18 4) 當當 時，時，0a 00 L

15、n0 1 z zee 3) 當當 （n為正整數(shù)）時，為正整數(shù)）時， 11 Lnz nn ze 0,1,1kn（） 是一個是一個n值函數(shù)值函數(shù)； 1 a n arg2 1 zk i n n ze 2) 當當a為正整數(shù)為正整數(shù)n時時 是是一個單值函數(shù)一個單值函數(shù)； u冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)： zin n kzizn znn ezeezw arg 2argln Ln 19 5) 當當a為有理數(shù)為有理數(shù) （ 與與 為互質(zhì)的整數(shù)，為互質(zhì)的整數(shù)， ）時，）時， q p pq0q Lnln2 pppp zzi k qqqq zee ，k為整數(shù)。為整數(shù)。 由于由于p 與與q互質(zhì)，當互質(zhì)，當k取取0，1，q-

16、1時，時， q pki q p ki ee 1 )2(2 是是q個不同的值。但若個不同的值。但若k再取其他整數(shù)的值時，將重復(fù)出現(xiàn)上再取其他整數(shù)的值時，將重復(fù)出現(xiàn)上 述述q個值之一，所以個值之一，所以 q p zw 是是q值函數(shù)，有值函數(shù)，有q個不同的分支個不同的分支。 u冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)： 20 6) 當當 為無理數(shù)或復(fù)數(shù)（為無理數(shù)或復(fù)數(shù)（ ）時，）時， 是是無窮多值函數(shù)無窮多值函數(shù)。 aIm0a 例如：例如： )22(ln22ln22ln22lnkikkik ee 2 2(cosln2sinln2) k ei 0, 1, 2,k （） 由于由于Lnz的各個分支在除去原點和負實軸的復(fù)平

17、面內(nèi)是解的各個分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解 析的，因而不難知道析的，因而不難知道 的相應(yīng)分支在除去原點和負實軸的相應(yīng)分支在除去原點和負實軸 的復(fù)平面內(nèi)也是解析的。的復(fù)平面內(nèi)也是解析的。 a zw 7) 解析性解析性： 的的各個分支在除去原點和負實軸的復(fù)平各個分支在除去原點和負實軸的復(fù)平 a zw 面內(nèi)是解析的面內(nèi)是解析的。 a z 1(1)Ln2(1)ln2(arg2 2) 2 iiiik ee u冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)： 21 【例【例2.21】 求求1) , 2) 的值的值. 解：根據(jù)冪函數(shù)定義計算解：根據(jù)冪函數(shù)定義計算 1) kiiii ee 203ln3Ln 3 3lnsin

18、3lncos 2 ie k (0, 1, 2,)k 2) ln1arg(1) 2 Ln(1) 1 iiiiik ii iee )2lnsin2ln(cos ) 4 2( 2ln)2 4 ( )2 4 (2ln ie e e k ik kii i 3 i i1 22 【例【例2.22】求】求 的模和主輻角。的模和主輻角。 解：解： 1(1) ln1arg(1) 2 (1)Ln(1) 1 iiiiik ii iee )2 4 2(ln)2 4 2(ln )2 4 (2ln)1( kik kii e e (0, 1, 2,)k i ei 2 22 i ii 1 12 23 所以所以 (ln22)(l

19、n22) 1 44 2 (ln22)(ln22) 44 (2)(ln22) 44 (2)(ln22) 44 2 12 2 2 2 2 2 kik i i kik kik kik iiee e e ee (0,1,2,)k 因此因此 ： 的模為：的模為： i ii 1 12 )2 4 ( 22 k e 主輻角為：主輻角為： 4 2ln 24 2.3.4 2.3.4 三角函數(shù)三角函數(shù) l歐拉公式將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，即歐拉公式將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，即 yiyeiysincos yiye iy sincos 可得可得 1 cos() 2 iyiy yee，)( 2 1 sin iyi

20、y ee i y l表明：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)來表示。表明：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)來表示。 若將這兩個等式右端的實數(shù)若將這兩個等式右端的實數(shù)y改為復(fù)數(shù)改為復(fù)數(shù)z，它們?nèi)杂幸饬x。，它們?nèi)杂幸饬x。 因此就可以用它們來作為復(fù)變量的正弦和余弦函數(shù)的定義。因此就可以用它們來作為復(fù)變量的正弦和余弦函數(shù)的定義。 25 定義定義 函數(shù)函數(shù) 與與 分別稱為復(fù)變量分別稱為復(fù)變量z的的余弦函數(shù)余弦函數(shù) 與與正弦函數(shù)正弦函數(shù)。記作。記作 與與 ，即，即 2 iziz ee cos, 2 iziz ee z zcossin z i ee iziz 2 i ee z iziz 2 sin 26 u

21、性質(zhì)性質(zhì) （1） 及及 均為單值函數(shù)；均為單值函數(shù)； zcossin z （2） 及及 均為以均為以 為周期的函數(shù)；為周期的函數(shù)； zcossin z2 （3） 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)；為奇函數(shù)； zcossin z 1 12122 cos()coscossinsinzzzzzz（4） 22121 sincoscossin)sin( 1 zzzzzz 1cossin 22 zz（5） （6） 解析性解析性 在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且cos , sinzz (cos )sinzz (sin )coszz 27 注意注意： 域內(nèi)不再成立。域內(nèi)不再成立。 例如例如，

22、當，當 時，時， iyz )( 2 1 coscos yy eeiyz 隨隨 而模而模 也無限增大。也無限增大。yiycos 1) 在實數(shù)域內(nèi)成立的不等式在實數(shù)域內(nèi)成立的不等式 及及 在復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù) 2) 和和 都是無界的。都是無界的。 1sinx1cosx zsinzcos 3) 及及 不總是非負的，可能取任何復(fù)數(shù)值。不總是非負的，可能取任何復(fù)數(shù)值。 z 2 cosz 2 sin 例如例如 22 ( 3 )( 3 )3333 2 2 () sin ( 3 ) 224 iiii eeeeee i ii 就是一個負數(shù)。就是一個負數(shù)。 還可檢驗還可檢驗 是一個虛數(shù)。是一個虛數(shù)。 )1 (cos2i

23、28 u其他復(fù)變函數(shù)的三角函數(shù)的定義如下：其他復(fù)變函數(shù)的三角函數(shù)的定義如下： sin tan, cos z z z cos cot, sin z z z 1 sec, cos z z 1 csc. sin z z 29 2.3.5 2.3.5 反三角函數(shù)反三角函數(shù) 反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)定義如下反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)定義如下: 定義定義 如果如果 , 則則 w 叫做復(fù)變量叫做復(fù)變量 z 的的反余弦函數(shù)反余弦函數(shù),zw cos 記為記為 , 即即Arccosz Arccoswz l將將 兩端同乘以兩端同乘以 , 得得)( 2 1 cos iwiw eewz iw e2 12 2

24、iwiw eze 或或 012)( 2 iwiw zee 于是有于是有 ，再由對數(shù)函數(shù)的定義即得，再由對數(shù)函數(shù)的定義即得 1 2 zzeiw 2 Ln(1)iwzz 所以所以 可見，可見，反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)是是多值函數(shù)多值函數(shù)。 2 ArccosLn(1)zizz 30 用同樣方法可定義反正弦函數(shù)用同樣方法可定義反正弦函數(shù) 及反正切函及反正切函 Arcsinz 數(shù)數(shù) ，并且它們對應(yīng)的函數(shù)有如下關(guān)系：，并且它們對應(yīng)的函數(shù)有如下關(guān)系： Arctanz 2 ArcsinLn(1),ziizz ArctanLn. 2 iiz z iz 它們均是多值的。它們均是多值的。 31 2.3.6 2.3.6 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 定義定義 sh, 2 zz ee z ch, 2 zz ee z th, zz zz ee z ee cth zz zz ee z ee 分別稱作復(fù)變量分別稱作復(fù)變量 z 的的雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)、 雙曲正切函數(shù)以雙曲正切函數(shù)以及及雙曲余切函數(shù)雙曲余切函數(shù)。 l雙曲函數(shù)與三角函數(shù)之間有如下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)之間有如下關(guān)系關(guān)系： chcosziz， zzisinish zzitanithzzicoticoth 32 u雙曲函數(shù)的特點：雙