內(nèi)切球和外接球例題

1、人平等地捉升自我高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題一.直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為27兀例2 個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為. 辰2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例3 （2007年天津高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè) 頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為h2,3,則此球的表面積為 .14%.例4、（2006年全國(guó)卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱髙為4,體 積為16,則這個(gè)球的表面積為（）C.A. 16”B. 20兀c. 24%D. 32兀3求多而體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例

2、5. 個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的9頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為:解 設(shè)正六棱柱的底而邊長(zhǎng)為兀，髙為，則有1=正六棱柱的底而圓的半徑 2 ,球心到底而的 距離 2 .外接球的半徑R = yprVd7 = 球上3二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體例5 （2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 E則其外接球的表面積是W解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，.把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成 一個(gè)棱長(zhǎng)為血的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設(shè)其外接球的半徑為心則有網(wǎng)=W）2W）=9j _94 故其外接球

3、的表面積S = 4叔=9兀.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為“、方、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng) 就是該三棱錐的外接球的直徑設(shè)其外接球的半徑為尺，則有2R+c2 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！纠}】：在四面體血CD中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂宜，其長(zhǎng)度分別為 1用，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。百度文庫(kù)讓每個(gè)解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四而體外接球 的直徑為曲的長(zhǎng)即：=4A2 = l2+32+X = 16所以4 2球的表而積為S = 4衣=1航例6.個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為血，

4、四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表 面積為（）A. 5B. 4兀C. 3屁 D.卜兀解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出髙線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半 徑在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所 以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四而體，四而體A-BDE滿(mǎn)足條件，即 AB=AD=AE=BD=DE = BE = /2t由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1,體對(duì)角線 為羽,從而外接球的直徑也為血，所以此球的表而積便可求得，故選A. 例7.在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2, ZD AB二60, E為AB的中點(diǎn)， 將AADE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,

5、則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）.B. 2C. 8D.解析：因?yàn)?AE=EB=DC二 1, ZDAB=ZCBE=ZDEA=60 ,所以AD = AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱錐P-DCE為正四面體，至此，這2人平等地捉升自我與例6就完全相同了，故選C.例8.已知球。的面上四點(diǎn)A、B、C、D, DA丄平面ABC, ABBC, DA二AB二BC=則球0的體積等于.解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求岀球的半徑.而利用長(zhǎng)方體 模型很快便可找到球的直徑，由于DA丄平HliABC, AB丄BC,聯(lián)想長(zhǎng)方體 中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造長(zhǎng)方體，又因?yàn)镈A=AB=BC=V3 ,則此長(zhǎng)

6、方體為正方 體，所以CD長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3.故球。的體積等97T于2.2、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB丄平IliiBCD, BC丄DC, 若AB = 6, AC=2TH,AD二8 ,則球的體積是.解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下而的長(zhǎng)方體，于是AD為球的直徑，0為 球心，OB=OC=4為半徑，要求b、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求岀ZBOC即 可，在R3BC中，求出BC=4t所以ZBOC=60,故氏C兩點(diǎn)間的球面距4n離是3三多面體幾何性質(zhì)法百度文庫(kù)-讓每個(gè)例10.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這 個(gè)球的表面積是A

7、.龍B.20 兀C.24/rD.32/T解 設(shè)正四棱柱的底而邊長(zhǎng)為x，外接球的半徑為代，則有=16,解得x = 2.2R = V22 +22 +42 = 2/6, :.R = y/6 .這個(gè)球的表面積是= 24.選c.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.尋求軸截面圓半徑法1514例11正四棱錐S - ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為72 ,點(diǎn)S、A、C、。都在同一球面上，則此球的體積為 :解 設(shè)正四棱錐的底而中心為外接球的球心為，如圖1所示，.由球的截而的性質(zhì)，可得丄半面ABCD又SOi丄平面ABCD,球心0必在SOx所在的直線上. MSC的外接圓就是

8、外接球的一個(gè)軸截而圓，外接圓的半徑就是外接球的 半徑在 AASC 中，由 SA = SC = JJ, AC = 2,得 SA2 + SC2 = AC2 .U平等地捉升自我ACAASC是必C為斜邊的RtzX,.2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.五確定球心位法例11.在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè) 直二面角B-AC-D,貝y四面體ABCD的外接球的體積為125125125125兀兀兀71A. 12B. 9C. 6D. 3解 設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為,則由矩形對(duì)角線互相平分，可知OA = OB = OC = ODt：9點(diǎn)到四而體的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、Q的距藹R = OA =匚 相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，外接球的半徑2 故1257T6 選 C.【例題】:已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，川萬(wàn)丄於u且 W 心，刖位，必川，求球。的體積。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升門(mén)我解：山芳丄5(7 |( F = 7 , PB =、氏=極,AC=1Q因?yàn)樨? 汗=102所以知AC2 =曲+PCQ所以必丄加所以可得