(新課標)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語1.1集合及其運算習(xí)題理

1、第一章 集合與常用邏輯用語1. 集合(1) 集合的含義與表示了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.(2) 集合間的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.在具體情境中，了解全集與空集的含義.(3) 集合的基本運算理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.能使用 venn 圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算2 常用邏輯用語(1) 理解命題的概念(2) 了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題

2、的相互關(guān)系.(3) 理解必要條件、充分條件與充要條件的含義(4) 了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義(5) 理解全稱量詞和存在量詞的意義(6) 能 正 確 地 對 含 一 個 量 詞 的 命 題 進 行 否 定1.1 集合及其運算5 / 241.集合的基本概念(1)我們把研究對象統(tǒng)稱為,把一些元素組成的總體叫做 (2)集合中元素的三個特性： , , (3)集合常用的表示方法： 和2.常用數(shù)集的符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號3.元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系(1)元素與集合之間存在兩種關(guān)系：如果 a是集合a中的元素，就說 a 集合a,記作；如果a不是集合 a中的元素

3、，就說 a 集合a,記作(2)集合與集合之間的關(guān)系:表 示 關(guān) 系文字語后何語日相等集合a與集合b中的所用兀 素都相同? a= b子集a中任意一個元素均為b中的兒系或真子集a中任意一個元素均為b中的元素，且 b中至少有一個元 素不是a中的兀素或空 集空集是任何集合的子集，是任何的真子集? a, ?b回?)結(jié)論：集合ai, a2,，an的子集有 個，非空子集有 個，非空真子集有 個.4.兩個集合a與b之間的運算集合的并集集合的交集集合的補集若全集為u,則集合a的補集記為5.集合運算中常用的結(jié)論an ba; an a=； an b bn a.(2) au ba; au a=; au bbu a.？

4、u( ?ua) =?u? =；an (?ua) =an b b； an ?=；au bb;au ?=;？uu=； au ( ?ua) =.(4) ah b= a? ? au b= b; ah b= au b? .(5)記有限集合a, b的元素個數(shù)為card( a), card( b),則:card( au b)=card ?u(au b) =自查自糾1.(1)元素 集合(2)確定性 互異性 無序性(3)列舉法描述法*_2. n n(n+) z q r c3. (1)屬于 ac a不屬于a?a a? b 且 b? a a? b b? a aba非空集合2n 2n-1 2n-24. aub an

5、b ?ia x|xca或 xcb *八且*玲x|xcu且 x?a5. (1)？a？;(2)？aa:(3)a？u？ua?ba=b(5)card( n + card( b) card( aa b)card( 4 card(0card(均 + card( an 功6/24(2015 安徽)設(shè)全集 u=1 , 2, 3,4, 5, 6, a=1 , 2, b=2 , 3, 4,則 an ( ?ub)=()a 12 5 6b 1c 2d 12 3 4解：.yub= 1 , 5, 6, .-an (?ub) = 1.故選 b.(2015 陜西)設(shè)集合 m= x|x2=x,n= x|lg x 0，則 mu

6、n=()a 0 ， 1b (0 ， 1c. 0, 1)d. (8, 1解：m= x|x2 = x=0, 1 ,n= x|lgx0 =x|0x 1, munl=0 , 1.故選a.(2015 全國n )已知集合 a= 2,-1, 0, 1, 2 , b=x|( x1)( x+2)0,貝u an b=()a 1 ， 0b 0 ， 1c 1 ， 0， 1d 0 ， 1 ， 2解：由已知得 b= x| -2x0,集合 b=x|x2- 2ax-10.若 an b中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍是解：a= x|x2+2x 30 =x| x1 或 x3,若an b中恰含有一個/口 34 34得4口0,

7、由對稱性知,4一 4a- 1 & 0,整數(shù)，則這個整數(shù)為2,，f(2) w0且f(3)0 ,即96a10,類型一集合的概念(1)若集合 a= xc r|ax2 + ax+1 = 0中只有一個元素，則 a=()a. 4 b . 2c. 0 d.0或 4解：由ax2+ax+1 = 0只有一個實數(shù)解，可得當a=0時，方程無實數(shù)解；當 awo 時，a = a24a=0,解得 a= 4.故選 a.(2)已知集合 a= m 2, 2m2+n,若3c a,則m的值為.232解：由題息得 2 = 3 或 2m+ mi= 3,則 mi= 1 或 mi=-當 mi= 1 時，vm- 2=3, 2m +，一，一一，

8、一1一，3 ,12-mi= 3,根據(jù)集合中兀素的互異性可知不滿足題意；當m= 2時，mh2=2, 2m+mi= 3,綜3 3上知，mi= 2.故填2.【點撥】（1）用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合.（2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.（2015 蘇州一模）集合12xn*|7-”中含有的兀素個數(shù)為4,a. 4b. 6c. 8d. 12解：令 x=1, 2, 3, 4, 5,6, 12時，12cz,即集合中有 x6, 7, 8, 9, 10, 11,6個元素.故選b.12,

9、代入驗證，得x=1, 2, 3,(2)已知 acr,bcr,若 a, b, 1 =a2,a+b, 0,則a2 017 +b2 017 =.a解：由已知得b= 0及aw0, b=0,于是a2=1,即a= 1或a=1,又根據(jù)集合中 a元素的互異性可知a= - 1, .a2 017 + b2 017 = 1.故填一1.類型二 集合間的關(guān)系已知集合 a=x| x23x 10w0.(1)若b= x| m 1wxw2mr 1, b? a,求實數(shù) m的取值范圍；若b= x| m-6 x2m- 1, a= b,求實數(shù) m的取值范圍；(3)若b= x| m-6 x2m- 1, a b,求實數(shù) m的取值范圍.解：

10、由八=x|x2 3x 10w0,得 a= x| -2x2m- 1,即 m 2,此時滿足 b? a;1- 2,解得 2wmc3.2m-1&5,由得，m的取值范圍是(一8, 3.m- 6 = _ 2,一(2)若a= b,則必有解得m ?,即不存在實數(shù) m使得a= b.2m- 1=5,2 m- 1 m- 6,(3)若 a? b,則 m- 6& 2,2m- 15,解得3mc 4.m的取值范圍為3 , 4.【點撥】 本例主要考查了集合間的關(guān)系，“當b? a 時， b 可能為空集”很容易被忽視，要注意這一“陷阱”15 / 24集合 a= x| -2 x5, b= x| n 1 x2m- 1,即 n2時，要

11、使b? a成立，則可得2w me3.2m- k5,綜上，m的取值范圍是(8, 3.(2)當 xcz 時，a= -2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .a的非空真子集個數(shù)為 28-2= 254.(3) . xc r,且 an b= ?,當b= ?時，即1 2m- 1,得m 2,滿足條件；當bw ?時，mu 1 & 2m-1,1 5,2 m- 1v 2,解得m 4.綜上，m的取值范圍是(一8, 2)u(4, +8).類型三集合的運算(1)已知全集u= r,集合a= x|lgx 0 , b= x|2x3/2,則 au b=()1a. ?b. 0,-3c. ；, 1d. (-8, 13解：

12、由題意知，a= (0 , 1 , b= ,3.au b= ( 8, 1.故選 d.(2)已知集合a,b均為全集u=1 , 2, 3, 4的子集，且?u(aub)= 4 ,b= 1 , 2,貝u an( ?ue) =.解：. ul= 1 , 2, 3, 4, ?u(au b) = 4 ,au b= 1 , 2, 3.又b= 1 , 2 ,3 ? a? 1 , 2, 3.又？ub= 3 , 4 ,an ( ?ub)=3.故填 3.(3)已知集合 a= x r| x + 2|3,集合 b= x r|( x-m)( x-2)0,且 an b=( 1, n),貝u mi=, n =.解：a= xc r|

13、 x+2|3 =x r| -5x1,由 an b= (- 1, n),可知 m1,由 b= x| mx2,畫出數(shù)軸，可得 m= - 1, n= 1.故填1,1.【點撥】（1）在進行集合的運算時要盡可能地借助 venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時用venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時需注意端點值的取舍.（2）在解決有關(guān) ah b= ?的問題時，往往忽略空集的情況，一定要先 考慮丹或b）=?是否成立，以防漏解.另外要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(1)已知集合a=x|y=x, b=.1 xx| -2 4,則(？削 n b 等于()b. x| - 1x0a.

14、 x| 1x2d. x| - 2x0c. x| x0 ,?ra=x|x0.又 b= x|：2x4 = x 1x2, .-.(?ra) n b= x| -1x0,故選 b.(2)( 2015 唐山模擬)集合m= 2, log3a,n=a,b,若mt n=1,則mjn=b. 0, 1, 3a. 0, 1, 2d. 1 , 2, 3c. 0, 2, 3解：. ivn n=1 , log 33=1,即 a=3, .-.b=1. . . ivh2 , 1, n=3 , 1, mu n=1 , 2, 3.故選 d.(3)設(shè)集合 a=x| x-a|1 ,b=x|1x5, xc 段，若 an b= ?,則實數(shù)

15、 a 的取值范圍是()b. 2|2忘2或24a. a|0 a 6d. a|2 a4c. a|awo 或 ar6解：|xa|1? - 1x-a1? a-1xa+1,由 aab=?知，a+15,解得a6.故選g類型四 venn圖及其應(yīng)用設(shè)m p是兩個非空集合，定義 m與p的差集為: wp=x|xc m且x?p,則 w(wf)等于()d. m c. mjp b.ivpp a. p16/24解：作出venn圖.當mp pw ?時，由圖知，m- p為圖中的陰影部分，則m-(m- p)顯然是 mn p.當 mm p= ?時，ml-(m- p) =m- m= x| xe m 且 x?m = ?=ma p.故

16、選 b.【點撥】 這是一道信息遷移題，屬于應(yīng)用性開放問題.“m- p”是我們不曾學(xué)過的集合運算關(guān)系，根據(jù)其元素的屬性，借助 venn 圖將問題簡單化已知集合 a= 1, 0, 4,集合b= x| x2-2x-30 , xcn,全集為u,則圖中陰影部分表示的集合是 解：b= x|x2-2x-30 , xc n =x| 1wxw3 , x c n = 0 , 1, 2, 3,圖中陰影 1， 4 故填 1， 4 部分表示的為屬于a 且不屬于 b 的元素構(gòu)成的集合，該集合為類型五 和集合有關(guān)的創(chuàng)新試題在整數(shù)集 z 中，被 5 除所得余數(shù)為 k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為k,即k =5 n+k| nc

17、 z, k= 0, 1, 2, 3, 4.給出如下四個結(jié)論： 2 017 c 2;3c3; z=0 u1 u 2 u3 u4;“整數(shù) a, b屬于同一類”的充要條件是“a-b0 中,其中正確命題的個數(shù)是 ()d 4c 3b 2a 1解：2 017=403x 5+ 2,2 017 2,結(jié)論正確；一 3 = 1x5+ 2,一3 c 2 , 3?3,結(jié)論不正確；整數(shù)可以分為五“類”，這五“類”的并集就是整數(shù)集，即z=0 u1 u2 u3 u4,結(jié)論正確；若整數(shù)a, b屬于同一 “類，則 a =5n+k, b=5m k, a b= 5( nm)+0c 0,反之,若 a - b 0,則 a, b被 5

18、除有相同 的余數(shù)，故a, b屬于同一 “類”，結(jié)論正確，綜上知，正確.故選c.【點撥】 (1) 以集合語言為背景的新信息題，常見的類型有定義新概念型、定義新運算型及開放型，解決此類信息遷移題的關(guān)鍵是在理解新信息并把它納入已有的知識體系中，用原來的知識和方法來解決新情境下的問題 (2) 正確理解創(chuàng)新定義，分析新定義的表述意義，把新定義所表達的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚，轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境，并能夠應(yīng)用到具體的解題之中，這是解決問題的基礎(chǔ)設(shè) s 為復(fù)數(shù)集 c 的非空子集，若對任意x, yc s,都有x+y, x-y, xy c s,則稱s為封閉集，下列命題：集合s=a+bi| a, b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位為封

19、閉集；若s為封閉集，則一定有 0c s；封閉集一定是無限集；若s為封閉集，則滿足 s? t? c的任意集合t也是封閉集.其中的真命題是 (寫出所有真命題的序號)解：對，當a, b為整數(shù)時，對任意 x, ycs, x+y, x-y, xy的實部與虛部均為整數(shù)；t當x= y時，0cs;錯，當s=0時，是封閉集，但不是無限集；錯，設(shè) s= 0 ? t, t= 0,1,顯然t不是封閉集.因此，真命題為.故填.25 / 24首先要弄清構(gòu)成集合的元素是什么，如是數(shù)集還是點集，要明了集合x|y 1.= f(x)、yy=f(x)、(x, y)| y = f(x)三者是不同的.2 .集合中的元素具有三性一一確定

20、性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合 中元素的個數(shù)以及在含參的集合運算中，常因忽視互異性，疏于檢驗而出錯.3 .數(shù)形結(jié)合常使集合間的運算更簡捷、直觀.對離散的數(shù)集間的運算或抽象集合間的 運算，可借助 venn圖實施；對連續(xù)的數(shù)集間的運算，常利用數(shù)軸進行；對點集間的運算，則往往通過坐標平面內(nèi)的圖形求解.這在本質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運用.4 .空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能.另外，不可忽視空集是任何元素的子集.5 .五個關(guān)系式a?b,ah b= a,aub= b,?ub?ua以及ah ( ?ub)= ?是兩兩等價的.對這五個式子的等價

21、轉(zhuǎn)換，常使較復(fù)雜的集合運算變得簡單.6 .正難則反原則對于一些比較復(fù)雜、比較抽象、條件和結(jié)論不明確、難以從正面入手的涉及集合的數(shù)學(xué)問題，在解題時要調(diào)整思路，考慮問題的反面，探求已知與未知的關(guān)系，化難為易、化隱為顯，從而解決問題.例如：已知 a= x| x2+x+ a0 , b= x| x2x+2a1 v 0 , o x| ax4a- 9, 且a, b, c中至少有一個不是空集，求a的取值范圍.這個問題的反面即是三個集合全為空集，14av0,.一 5即 14 (2a1) 0,解得5wa4a9, .5 .從而所求a的取值氾圍為a|av8或a3 .1. （2015 全國 i）已知集合 a= x|x=

22、3n+2, ncn, b= 6, 8, 10, 12, 14,則集合an b中元素的個數(shù)為（）d. 2c. 3b. 4a. 5解：ah b= x|x = 3n+2, ncnn6, 8, 10, 12, 14 = 8 , 14.故選 d.2.設(shè)集合 m= 1, 0, 1, n=x|x2wx,則 mp n=（）c -1, 1b. 0 , 1a. 0d. 1, 0, 1解：. nl= x|0x1, m= -1, 0, 1,mp n= 0 , 1.故選 b.3. （2013 遼寧）已知集合 a= x0 log 4x1, b= x|x2,貝u ah b=（）b.（0, 2a.（0, 1）d.（1, 2c

23、.（1, 2）解：易知 a= x|1x4,.an b= （1, 2.故選 d.4. （2013 山東）已知集合 a= 0, 1, 2,則集合 b= x y|xca, yc a）中元素的個數(shù)是（）d. 9c. 5b. 3a. 1解：由題意知，x-y=0, 1, 2, 1, 2.故b中元素個數(shù)為5,故選c.5. 設(shè)全集 u 為整數(shù)集，集合 a= x n|y = 7x-x2-6, b= xz| -1x 0 = x c n|1 w xw 6,由題意知，圖中陰影部分表示的集合為an b=1 ,2,3,其真子集有：？，1 , 2 , 3,1 , 2, 1 , 3, 2, 3,共 7 個.故選 c6. 給定

24、集合a,若對于任意a, bca,有a+bca,且abca,則稱集合a為閉集合，給出如下三個結(jié)論：集合a= 4, 2, 0, 2, 4為閉集合；集合a= n|n=3k, kcz為閉集合；若集合ai, a2為閉集合，則au a為閉集合.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）d. 3c. 2b. 1a. 0解：（一4） + （ 2） = 6?a,不正確；設(shè) m, n2c a, m=3k1, n2= 3k2,匕，kzc z,則 m + nzca, m稟ca,正確；令 a=n|n=5k, kc z , a2=n| n=2k, kc z,則 a, a2 為閉集合，但 aua2 不 是閉集合，不正確.故選b.7. （20

25、14 重慶）設(shè)全集 u= nc n|1 & n10 , a= 1 , 2, 3, 5, 8 , b= 1 , 3, 5,7, 9,則（?ua） n b=.解：3=1, 2, 3,，9, 10, a= 1 , 2, 3, 5, 8, . ?ua= 4, 6, 7, 9,10 .（?ua） n b= 7, 9.故填7, 9.8 .已知集合 s=0, 1, 2, 3, 4, 5, a是s的一個子集，當 xca時，若有x-1?a,且x+ 1?a,則稱x為a的一個“孤立元素”，那么 s中無“孤立元素”的4個元素的子集共有 個.解：由成對的相鄰元素組成的四元子集都沒有“孤立元素”，如0, 1, 2, 3, 0,1, 3, 4, 0,1, 4, 5, 1 , 2, 3, 4, 1 , 2, 4, 5, 2, 3,4, 5這樣的集合，共有6個.故填6.9 . （2014 天津）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合 m= 0,1, 2,，q- 1,集合 a= x| x = xi +x2q+xnqn1, x ml, i=1, 2,，n,當 q=2, n = 3 時，用列舉法表示集合 a解：當 q=2, n= 3 時，m= 0 , 1, a= x| x= xi + 2x2+4