例析數(shù)形結(jié)合思想在高考中的應(yīng)用

1、例析數(shù)形結(jié)合思想在高考中的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)重要思想方法之一，也是高考常考的一種思想方法.“數(shù)形結(jié)合”是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，化抽象為直觀(guān).在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用這種思想方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和能力.以下例析數(shù)形結(jié)合思想在高考中的應(yīng)用. 一、在函數(shù)中的應(yīng)用 例1（2011年陜西理科卷）函數(shù)f（x）=xcosx在0，+）內(nèi) a.沒(méi)有零點(diǎn) b.有且僅有一個(gè)零點(diǎn) c.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) d.有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn) 解析在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=x和y=cosx的圖象，如圖1所示，當(dāng)x1時(shí)，y=x1，y=cosx 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

2、的思想來(lái)解決函數(shù)的問(wèn)題，可以通過(guò)分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象y=x和y=cosx，結(jié)合圖象再研究函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系. 二、在向量中的應(yīng)用 例2（2011年大綱全國(guó)理科卷）設(shè)向量a，b，c滿(mǎn)足|a|=|b|=1，ab=12，ac，bc=60，則|c|的最大值等于 a.2b.3c.2d.1 解析如圖2，設(shè)oa=a，ob=b，oc=c，則ca=ac，cb=bc. 因?yàn)閨a|=|b|=1， 所以|oa|=|ob|=1. 所以|a|b|cosaob=12， 所以aob=120. 又因?yàn)閍c，bc=60， 而120+60=180， 所以o、a、c、b四點(diǎn)共圓. 所以當(dāng)oc為圓的直徑時(shí)，|c|最大， 此時(shí)

3、oac=obc=90， 所以rtaoc=rtboc， 所以aco=bco=30， 所以|oa|=12|oc|， 所以|oc|=2|oa|=2. 所以答案選a. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決平面向量的問(wèn)題，可借助向量的圖形來(lái)研究平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量加減法和四點(diǎn)共圓的條件. 三、在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例3（2011年江蘇卷）函數(shù)f（x）=asin（x+）（a，是常數(shù)，a0，0）的部分圖象如圖3所示，則f（0）的值是. 解析由圖可知a=2， t4=7123=4， 所以t=，=2t=2=2. 當(dāng)x=712時(shí)，y取得最小值， 即2712+=2k+32， 取k=0，得=3. 所以f（x）=2sin（

4、2x+3）， 從而f（0）=2sin3=62. 所以答案填62. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求正弦函數(shù)的解析式，可以利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)將解析式f（x）=asin（x+）中參數(shù)分別求解出來(lái). 四、在線(xiàn)性規(guī)劃中的應(yīng)用 例4（2011年山東文科卷）設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件x+2y50， xy20， x0，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y+1的最大值為 a.11b.10c.9d.8.5 解析作出如圖4所示不等式組表示的可行域，因?yàn)閦=2x+3y+1可化為 y=23x+z313， 結(jié)合圖形可知z=2x+3y+1在點(diǎn)a處取得最大值. 由x+2y5=0， xy2=0，得x=3， y=1. 故a（3，1）， 此

5、時(shí)z=23+31+1=10，所以答案選b. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決線(xiàn)性規(guī)劃中的最優(yōu)解問(wèn)題，可以先作出可行域，再結(jié)合圖形找出取最優(yōu)解時(shí)的點(diǎn). 五、在解析幾何中的應(yīng)用 例5（2011年課標(biāo)全國(guó)卷）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓c的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)f1，f2在x軸上，離心率為22.過(guò)f1的直線(xiàn)交c于兩點(diǎn)a，b，且abf2的周長(zhǎng)為16，那么c的方程為. 解析設(shè)橢圓方程為 x2a2+y2b2=1， 由于e=22，即ca=22， 所以b2a2=a2c2a2=112=12. 由于abf2的周長(zhǎng)為 |ab|+|bf2|+|af2|=|af1|+|af2|+|bf1|+|bf2|=4a=16，

6、故a=4，b2=8. 所以橢圓的方程為x216+y28=1. 答案填x216+y28=1. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何問(wèn)題，可結(jié)合橢圓的圖形運(yùn)用橢圓的離心率和橢圓的定義來(lái)解決問(wèn)題. 六、在正態(tài)分布中的應(yīng)用 例6（2011年湖北理科卷）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n（2，2），且p（ a.0.6b.0.4c.0.3d.0.2 解析正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象如圖6所示，函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)， 所以p（ 并且p（0 則p（0 答案選c. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決正態(tài)分布問(wèn)題，可借助正態(tài)分布的圖象，利用正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)解決問(wèn)題. 七、在定積分中的應(yīng)用 例7（2011年課標(biāo)全國(guó)理科卷）由

7、曲線(xiàn)y=x，直線(xiàn)y=x2及y軸所圍成的圖形的面積為 a.103b.4c.163d.6 解析由x=x， y=x2得交點(diǎn)坐標(biāo)為a（4，2）. 因此如圖7，y=x與y=x2及y軸所圍成的圖形的面積為 40x（x2）dx=40（xx+2）dx =（23x3212x2+2x）|40 =2381216+24=163. 答案選c. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決定積分的問(wèn)題，可通過(guò)作出圖形來(lái)解決問(wèn)題. 八、在概率中應(yīng)用 例8（2011年安徽文科卷）從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于 a.110b.18c.16d.15 解析如圖8所示，從正六邊形abcdef的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，共有c46=15種選法，其中能夠構(gòu)成矩形的有fecb、afdc、abde三種選法，所以概率為315=15，故答案選d. 評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決概率的問(wèn)題，可結(jié)合圖形利用古典概率模型來(lái)求概率. 綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)中