二次函數(shù)專題訓(xùn)練(菱形的存在性)含答案

1、二次函數(shù)綜合題（菱形的存在性）專項訓(xùn)練1 .如圖，在平面直角坐標系中， 直角梯形oabc的邊oc、oa分另1j與x軸、y軸重合，ab /oc,/aoc=90 , /bco=45 , bc=12近 點 c 的坐標為（18, 0）.(1)求點b的坐標；(2)若直線 de交梯形對角線 bo于點d ,交y正半軸于點 e,且oe=4, od=2bd ,求直線 de的解析若點p是（2）中直線de上的一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點q,使以o、e、p、q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點q的坐標；若不存在，請說明理由.1二次函數(shù)綜合題(菱形的存在性)專項訓(xùn)練2 .如圖，拋物線y=ax2+bx - 2

2、的對稱軸是直線x=1 ,與x軸交于a, b兩點，與y軸交于點c,點a的坐標為(-2, 0),點p為拋物線上的一個動點，過點p作pdx軸于點d,交直線bc于點e.(1)求拋物線解析式;(2)若點p在第一象限內(nèi)，當(dāng) od=4pe時，求四邊形pobe的面積;(3)在(2)的條件下，若點 m為直線bc上一點，點n為平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在這樣的點m和點n,使得以點b, d, m, n為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點n的坐標；若不存在,請說明理由.【溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便探究】備用圄53 .如圖，拋物線 y=ax2-2x+c (a- 與x軸、y軸分別交于點 a

3、, b, c三點，已知點 a (-2, 0),點c(0, - 8),點d是拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式及頂點d的坐標；(2)如圖1,拋物線的對稱軸與 x軸交于點e,第四象限的拋物線上有一點p,將4ebp沿直線ep折疊，使點b的對應(yīng)點b落在拋物線的對稱軸上，求點 p的坐標；(3)如圖2,設(shè)bc交拋物線的對稱軸于點 f,作直線cd,點m是直線cd上的動點，點n是平面內(nèi)一點，當(dāng)以點b, f, m, n為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點m的坐標.4 .如圖1,拋物線y=ax2+bx+4的圖象過a ( - 1, 0) , b (4, 0)兩點，與y軸交于點c,作直線bc,動 點p從點c出發(fā)，以

4、每秒個單位長度的速度沿 cb向點b運動，運動時間為t秒，當(dāng)點p與點b重合 時停止運動.(1)求拋物線的表達式； 如圖2,當(dāng)t=1時，求saacp的面積；(3)如圖3,過點p向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于e、f兩點.求pf的長度關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求出 pf的長度的最大值；連接cf,將4pcf沿cf折疊得到 w cf當(dāng)t為何值時，四邊形 pfp c是菱形？5 .如圖，已知已知拋物線經(jīng)過原點 。和x軸上一點a (4, 0),拋物線頂點為 e,它的對稱軸與x軸交于 點d,直線y= - 2x - 1經(jīng)過拋物線上一點 b ( - 2, m)且與y軸交于點c,與拋物線的對稱軸交于點 f.(1)求m的值

5、及該拋物線的解析式(2) p (x, v)是拋物線上的一點，若 saadp=saadc ,求出所有符合條件的點 p的坐標.(3)點q是平面內(nèi)任意一點，點 m從點f出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒 1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)點m的運動時間為t秒，是否能使以 q、a、e、m四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點m的運動時間t的值；若不能，請說明理由.6 .如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=a (x+1) 2-3與x軸交于a, b兩點(點a在點b的左側(cè))，與y軸交于點c (0,-反)，頂點為d,對稱軸與x軸交于點h,過點h的直線l交拋物線于p, q3兩點，點q在y軸的右側(cè).(1)求a的值及

6、點a, b的坐標；(2)當(dāng)直線l將四邊形abcd分為面積比為3: 7的兩部分時，求直線l的函數(shù)表達式；(3)當(dāng)點p位于第二象限時，設(shè) pq的中點為m,點n在拋物線上，則以 dp為對角線的四邊形 dmpn能否為菱形？若能，求出點 n的坐標；若不能，請說明理由.哥用圖二次函數(shù)綜合題（菱形的存在性）專項訓(xùn)練b .若 pab是等邊三角oamn為菱形？若存在,07 .已知拋物線y=x2+1 （如圖所示）.（1）填空：拋物線的頂點坐標是（ 4（2）已知y軸上一點 a （0, 2）,點p在拋物線上，過點 p作pb，x軸，垂足為形，求點p的坐標;（3）在（2）的條件下，點 m在直線ap上.在平面內(nèi)是否存在點

7、n,使四邊形直接寫出所有滿足條件的點 n的坐標；若不存在，請說明理由.7二次函數(shù)綜合題(菱形的存在性)專項訓(xùn)練8 .(2016山東省威海市).如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點 a ( - 2, 0),點b (4, 0),點d (2, 4), 與y軸交于點c,作直線bc,連接ac, cd.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2) e是拋物線上的點，求滿足 /ecd=/aco的點e的坐標；(3)點m在y軸上且位于點 c上方，點n在直線bc上，點p為第一象限內(nèi)拋物線上一點，若以點 c, m, n, p為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長.99 . (2012山東省煙臺市)如圖， 在平面直角坐標系

8、中，已知矩形 abcd的三個頂點b(1,0) , 0(3,0),d(3,4),以a為頂點的拋物線y ax2 bx c過點c,動點p從點a出發(fā)，沿線段ab向點b運動.同時動點q從點c出發(fā)，沿線段cd向點d運動，點p, q的運動速度均為每秒 1個單位.運動時間為t秒,過點p作pe ab交ac于點e .(1)直接寫出點 a的坐標，并求出拋物線的解析式；(2)過點e作ef ad于f ,交拋物線于點g ,當(dāng)t為何值時，4acg的面積最大？最大值為多少？(3)在動點p, q運動的過程中，當(dāng)t何值時，在矩形abcd內(nèi)(包括邊界)存在點h，使以c, q, e, h為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值.210

9、 .(2012青海省)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x +bx+c的圖象與x軸父于a、b兩點，b點的坐標為(3, 0),與y軸交于c(0, 3)點，點p是直線bc下方拋物線上的動點.(1)求這個二次函數(shù)表達式；(2)連接po, pc,并將4poc沿y軸對折，得到四邊形 popc ,那么是否存在點 p,使四邊形popc 為菱形？若存在，求出此時點p的坐標；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)點p運動到什么位置時，四邊形 abpc的面積最大？求出此時 p點的坐標和四邊形 abpc的最大 面積.二次函數(shù)之菱形的存在性二次函數(shù)綜合題（菱形的存在性）專項訓(xùn)練/ oc, z aoc=90 ,1 .如圖，

10、在平面直角坐標系中，直角梯形oabc的邊oc、oa分另1j與x軸、y軸重合，ab/ bco=45 ,bc=12泥，點c的坐標為（-18, 0）.(1)求點b的坐標;(2)若直線de交梯形對角線 bo于點d ,交y正半軸于點 e,且oe=4, od=2bd ,求直線de的解析(3)若點p是（2）中直線de上的一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點q,使以o、e、p、q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點q的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】解：（1）過點b作bf，x軸于f,在rta bcf 中. /bco=45 , bc=12jlcf=bf=12.c的坐標為(-18, 0)ab=of=6，點b

11、的坐標為（-6, 12）.(2)過點d作dg，y軸于點g, ab / dg.2一ab ob oa 3 .dg=4, og=8, . d ( 4, 8), e(0, 4)設(shè)直線de解析式為y=kx+b （kwqmk+b=8 lb=4k=-l;，直線de解析式為y= - x+4 .答圖1 . odgaoba ,15（3）結(jié)論：存在.設(shè)直線y=-x+4分別與x軸、y軸交于點e、點f,則e （0, 4）,如答圖2所示，有四個菱形滿足題意.菱形oep1q1,此時oe為菱形一邊.則有 p1e=p1q1=oe=4 , p1f=ef-p1e=4/-4.易知pnf為等腰直角三角形，. p1n=nf= y-p1

12、f=4 - 2/2;f (4, 0), oe=of=4, ef=4&.設(shè) p1q1 交 x 軸于點 n,則 nq尸p1q1 p1n=4 (4-2/2) =2/2又 on=of nf=26，qi (2&, 2/)；菱形oep2q2,此時oe為菱形一邊.此時q2與qi關(guān)于原點對稱，q2 (- 2品,2匹)；菱形oeq3p3,此時oe為菱形一邊.此時p3與點f重合，菱形oeq3p3為正方形，q3 (4, 4);菱形op4eq4,此時oe為菱形對角線.由菱形性質(zhì)可知，p4q4為oe的垂直平分線，由oe=4,得p4縱坐標為2,代入直線解析式 y=-x+4得橫坐標為2,則p4 (2, 2),由菱形性質(zhì)可知

13、，p4、q4關(guān)于oe或y軸對稱，q4 (-2, 2).綜上所述，存在點 q,使以o、e、p、q為頂點的四邊形是菱形；點 q 的坐標為：qi(2/2, - 2i) ,q2(-2比,啦),q3(4,4),q4(- 2,2).2 .如圖，拋物線y=ax，bx - 2的對稱軸是直線x=1 ,與x軸交于a, b兩點，與y軸交于點c,點a的坐 標為(-2, 0),點p為拋物線上的一個動點，過點p作pdx軸于點d,交直線bc于點e.(1)求拋物線解析式；(2)若點p在第一象限內(nèi)，當(dāng) od=4pe時，求四邊形pobe的面積；(3)在(2)的條件下，若點 m為直線bc上一點，點n為平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在

14、這樣的點m和點n,使得以點b, d, m, n為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點n的坐標；若不存在，請說明理由.【溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便探究】【解答】解：(1) .拋物線y=ax2+bx - 2的對稱軸是直線x=1 ,a(- 2,0)在拋物線上，一 2al(-2)2a-2b-2=01個解得：1,拋物線解析式為b=-i 2(2)令 y=-x2-x- 2=0,解得：xi= -2, x2=4,當(dāng) x=0 時，y= -2,b (4, 0), c (0, 2),設(shè) bcji的解析式為y=kx+b,則呼廿0,解得:1*2，y-x 2,設(shè) d (m, 0), dp/y 軸

15、,2，e (m,寧m 2),1- m=4 (m2- m42p (m, -m2-4- 2 - -m+2 ),2m 2) ,od=4pe ,2m=5 , m=0 (舍去)，d (5, 0), p (5, -l), e (5,二)，一四邊形42pobe 的面積=sa opd - sa ebd=i 工24-x2(3)存在，設(shè) m ( n, ln-2),2以bd為對角線，如圖1,二四邊形bndm是菱形， mn 垂直平分 bd,n=4+x, /. m 工 x）, / m , n 關(guān)于 x 軸對稱，n （9, -x）；22 42。以bd為邊，如圖2,二四邊形bndm是菱形,mn / bd, mn=bd=md

16、=1 ，過 m 作 mh，x 軸于 h,mh 2+dh 2=dm2,即(gn 2) 2+ (n5) 2=12, ni=4 （不合題意）,n2=5.6,同理（=n - 2）2+ （4- n） 2=1, m=4+ （不合題意，舍去），n2=4 -也，254,-n （5-等，-尋以 bd 為邊，如圖 3,過 m 作 mh，x 軸于 h,，mh2+bh2=bm2h=n-2）2+（ n 4）2=12,，=4弋底n2=4 （不合題意，舍去），5,n（5考爭_綜上所述，當(dāng)n 得，-小或（4.6,卷）或（5-2魯 第）或（5且答，除）,以點b, d, m,3 .如圖，拋物線 y=ax2-2x+c (a- 與x

17、軸、y軸分別交于點 a, b, c三點，已知點 a (-2, 0),點c(0, - 8),點d是拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式及頂點 d的坐標；(2)如圖1,拋物線的對稱軸與 x軸交于點e,第四象限的拋物線上有一點 p,將4ebp沿直線ep折疊,使點b的對應(yīng)點b落在拋物線的對稱軸上，求點 p的坐標；(3)如圖2,設(shè)bc交拋物線的對稱軸于點 f,作直線cd,點m是直線cd上的動點，點n是平面內(nèi)一點，當(dāng)以點b, f, m, n為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點m的坐標.【解答】解：(1)將點a、點c的坐標代入拋物線的解析式得:解得：a=1, c=8.，拋物線的解析式為 y=x2 - 2x

18、- 8. y= (x-1) 2-9, - d (1, - 9). 將y=0代入拋物線的解析式得：x2 - 2x- 8=0,解得x=4或x= - 2,b (4, 0). y= (x-1) 2- 9,拋物線的對稱軸為x=1,e (1, 0).二將aebp沿直線ep折疊，使點b的對應(yīng)點b落在拋物線的對稱軸上， . ep 為/ bef 的角平分線.bep=45 .設(shè)直線ep的解析式為y= - x+b ,將點e的坐標代入得：-1+b=0,解得b=1, 直線ep的解析式為y= - x+1 .將y=-x+1代入拋物線的解析式得：-x+1=x2-2x-8,解得：xjf函或x4 .22|點p在第四象限，x= 1

19、-3工.1. y= p (1.(3)設(shè)cd的解析式為y=kx - 8,將點d的坐標代入得：k- 8= - 9,解得k= - 1,直線cd的解析式為y= -x - 8.設(shè)直線cb的解析式為y=k2x- 8,將點b的坐標代入得：4k2-8=0,解得：k2=2 .直線bc的解析式為y=2x - 8.二次函數(shù)綜合題(菱形的存在性)專項訓(xùn)練將x=1代入直線bc的解析式得：y= - 6, f (1, - 6).設(shè)點m的坐標為(a, - a - 8).當(dāng) mf=mb 時，(a - 4) 2+ (a+8) 2= (a- 1) 2+ (a+2) 2,整理得：6a=-75,解得：a=- .，點m的坐標為(-l,)

20、. 22當(dāng) fm=fb 時，(a- 1) 2+ (a+2)2=(4-1)2+(-6-0)2,整理得：a2+a- 20=0,解得：a=4 或 a=-5.點 m 的坐標為(4, - 12)或(-5, - 3).綜上所述，點 m的坐標為(-號,)或(4, t2)或(-5, - 3).4.如圖1,拋物線y=ax2+bx+4的圖象過a ( - 1, 0) , b (4, 0)兩點，與y軸交于點c,作直線bc,動 點p從點c出發(fā)，以每秒&個單位長度的速度沿 cb向點b運動，運動時間為t秒，當(dāng)點p與點b重合 時停止運動.(1)求拋物線的表達式;(2)如圖2,當(dāng)t=1時，求saacp的面積；(3)如圖3,過點

21、p向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于e、f兩點.求pf的長度關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求出 pf的長度的最大值；連接cf,將4pcf沿cf折疊得到 w cf當(dāng)t為何值時，四邊形 pfp c是菱形?【解答】解：(1)二.拋物線y=ax2+bx+4的圖象過a (- 1, 0), b (4, 0)兩點,ca=-1拋物線的表達式為y= -x2+3x+4 .17(2)令x=0,貝u y=4,即點c的坐標為(0, 4),(4, 0) ,0=4k+4,解得 k= - 1 ,bc=742 + 42=4 設(shè)直線bc的解析式為y=kx+4 , 點b的坐標為直線bc的解析式為y= - x+4.當(dāng)t=1時，cp=/2,點a

22、 (-1, 0)到直線bc的距離h警氣產(chǎn)乎11 rr !saacp=ttcp?h=4-r l-l1(3)直線bc的解析式為y=-x+4, .cp=e，oe=t,設(shè) p (t, -t+4), f (t, - t2+3t+4), (0wt 亨4pf= -t2+3t+4 ( t+4) =-t2+4t, (0wt 亨4當(dāng)t=-=2時，pf取最大值，最大值為 4. 2x (-1). pcf 沿 cf 折疊得到 w cf pc=p c, pf=p f,當(dāng)四邊形pfp c是菱形時，只需 pc=pf. . - vt=-t2+4t,解得：ti=0 (舍去)，t2=4-血.故當(dāng)t=4-ml時，四邊形pfp c是菱

23、形.5.如圖，已知已知拋物線經(jīng)過原點 。和x軸上一點a (4, 0),拋物線頂點為 e,它的對稱軸與x軸交于 點d,直線y= - 2x - 1經(jīng)過拋物線上一點 b ( - 2, m)且與y軸交于點c,與拋物線的對稱軸交于點 f.(1)求m的值及該拋物線的解析式(2) p (x, v)是拋物線上的一點，若 saadp=saadc ,求出所有符合條件的點p的坐標.(3)點q是平面內(nèi)任意一點，點 m從點f出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)點m的運動時間為t秒，是否能使以 q、a、e、m四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點m的運動時間t的值；若不能，請說明理由.小 ：a【解

24、答】解：(1)二.點 b ( 2, m)在直線 y= - 2x- 1 上m= -2x( 2) 1=4 1=3,所以，點 b (一2, 3),又拋物線經(jīng)過原點 o,，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx,點b (-2, 3), a (4, 0)在拋物線上，給- ,解得：16a+4b=0.二拋物線的解析式為b 二一iy=rx2-x; (2) . p (x, y)是拋物線上的一點，p (x, -jx2- x),若 saadp=saadc ,- saadc=ad?oc, s/adp=ad?m,又二.點 c 是直線 y=-2x- 1 與 y 軸交點， c (0, - 1) , oc=1 ,生x2 x|=1

25、 , ipx2 x=1 ,或,x2- x= - 1,二次函數(shù)綜合題（菱形的存在性）專項訓(xùn)練解得：xi=2+2-x2=2-2%,2, x3=x4=2,點 p 的坐標為 pi (2+21) p2= (2- 2/2, 1), p3)2, 1);(3)結(jié)論：存在,拋物線的解析式為y=j-x2-x, 頂點e (2, - 1),對稱軸為x=2;4點f是直線y= - 2x- 1與對稱軸x=2的交點，f (2, - 5) , df=5 .又a (4, 0),，ae=。石.如右圖所示，在點 m的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：菱形 aem1q1. .此時 em1=ae=|v5,m1f=df- de-dm1=4t1=4-如；菱形 aeom 2. .此時 dm2=de=1, . m2f=df+dm 2=6,2=6;菱形 aem3q3. 此時 em3=ae=|v5, dm3=em3- de=v5- 1, m3