廣東省廣州市高三沖刺高考查漏補(bǔ)缺文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2015屆廣州市高三數(shù)學(xué)差缺補(bǔ)漏題（文科）1已知向量，函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，并寫出相應(yīng)的取值集合；（2）若，且，求的值解析： ：（1），當(dāng)，即當(dāng)時，；（2）由（1）得：，。，2. 已知函數(shù)（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）設(shè)，且，求的值解析：（1）， 由得，當(dāng)即時，遞增；當(dāng)即時，遞減；當(dāng)即時，遞增綜上，函數(shù)在區(qū)間、上遞增，在區(qū)間上遞減（2）由，即，得， 因?yàn)?，所以，可得?則 3. 在abc中，內(nèi)角所對的邊分別是，且滿足：又.（1）求角a的大?。?（2）若，求的面積解：（1）, 又 （2），即 ,又4. 設(shè)的內(nèi)角a、b、c的對邊長分別為a、b、c,且3+3-3=4bc （1） 求sina的

2、值； （2）求的值解：（1）由余弦定理得又 （2）原式5某高中采取分層抽樣的方法從應(yīng)屆高二學(xué)生中按照性別抽出20名學(xué)生作為樣本，其選報文科理科的情況如下表所示性別科目男女文科25理科103（1）若在該樣本中從報考文科的男生和報考理科的女生中隨機(jī)地選出3人召開座談會，試求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析有多大的把握認(rèn)為該中學(xué)的高三學(xué)生選報文理科與性別有關(guān)？ （參考公式和數(shù)據(jù)：2（其中）解：（1）設(shè)報考文科的2名男生為 （2）2=4.433.841， 可知有95%以上的把握認(rèn)為學(xué)生選報文理科與性別有關(guān). 6某班同學(xué)利用寒假進(jìn)行社會實(shí)踐，對年齡在的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生

3、活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： （1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求的值；（2）從年齡在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在的概率.解析：（1）第二組的頻率為，高為，補(bǔ)全頻率分布直方圖如下 第一組的人數(shù)為，頻率為， 由題可知，第二組的頻率為第二組的人數(shù)為， 第四組的頻率為，第四組的人數(shù)為綜上所述： （2）年齡在的“低碳族”與年齡在的“低碳族”的比值為采用分層抽樣法抽取6人，歲的有人，歲的有2人設(shè)歲中的4人為，歲中的2人為

4、，則選取2人作為領(lǐng)隊(duì)的方法有，共15種 其中恰有1人年齡在 歲的有共8種 選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在歲的概率為 7某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔1小時抽一包產(chǎn)品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄了6個抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4.（1）根據(jù)樣品數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙兩個車間產(chǎn)品重量的均值與方差，并說明哪個車間的產(chǎn)品的重量相對較穩(wěn)定；（2）若從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，求所抽取的兩件樣品的重量之差不超過2克的概率.解析：(1)， ， 2， ， 甲車間的產(chǎn)品的重量相對較穩(wěn)定 (2)從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，共有15種不同的取法: ， 設(shè)表示隨機(jī)事件

5、“所抽取的兩件樣品的重量之差不超過2克”，則的基本事件有4種: ，故所求概率為 8. 已知集合，設(shè)m=|,，在集合m內(nèi)隨機(jī)取出一個元素.（1）求以為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓上的概率；（2）求以為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域d：內(nèi)（含邊界）的概率.解：（1）集合m 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6個記“以為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓上”為事件a，則基本事件總數(shù)為6.因落在圓上的點(diǎn)有(0, -1)，(0, 1)2個，即a包含的基本事件數(shù)為， 所以 （2）記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域d內(nèi)”為事件b. 則基本事件總數(shù)為6.由右圖知位于區(qū)域d內(nèi)（含邊界）的

6、點(diǎn)有：(-2, -1)，(2, -1)，(0, -1)，(0, 1)共個，即b包含的基本事件數(shù)為4， 故. 9. 如圖，四邊形abcd為梯形，abcd，平面abcd， ，e為bc中點(diǎn).（1）求證：平面平面pde；（2）線段pc上是否存在一點(diǎn)f，使pa/平面bdf？ 若有，請找出具體位置，并進(jìn)行證明；若無，請分析說明理由.解析：（1）連結(jié)，所以，為中點(diǎn)，所以 ，又因?yàn)槠矫?所以，因?yàn)樗云矫嬉驗(yàn)槠矫?所以平面平面（2）當(dāng)點(diǎn)位于三分之一分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時, 平面連結(jié)交于點(diǎn)，,所以相似于又因?yàn)椋?，從而在? 10分而，所以，而平面，平面所以平面10如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)， ,現(xiàn)

7、將沿邊折至位置，且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積解析：（1）證明：在中,在中，,. 平面平面，且平面平面 平面,平面，平面平面. （2）解：過做,平面平面平面且平面平面， 平面,四棱錐的高. 則. 11已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形（1）證明：bn平面c1b1n； （2）求點(diǎn)解析：（1）證明：由題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.則 ,（2）由等體積法,則12. 如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面，且， （1）求證：平面；abcde（2）求凸多面體的

8、體積證明：（1）平面，平面， 在正方形中，平面，平面（2）解法1：在中，abcdef過點(diǎn)作于點(diǎn)，平面，平面， ，平面，又正方形的面積， 故所求凸多面體的體積為 解法2：在中， abcde連接，則凸多面體分割為三棱錐和三棱錐 由（1）知，又，平面，平面，平面點(diǎn)到平面的距離為的長度 平面，故所求凸多面體的體積為13. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：.遞增的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足：，（1）求、的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列對，均有成立，求解：由題意得，得則公差，則則是方程的兩根，得又，則，則（2）兩式相減得則又，則則14. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式

9、； （2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1），當(dāng)時，恒成立， 當(dāng)時，是公差的等差數(shù)列. 構(gòu)成等比數(shù)列，解得， 當(dāng)時，由條件可知， 數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （2）， 對恒成立， 即對恒成立， 11分令，當(dāng)時，當(dāng)時， ， 15已知數(shù)列滿足且。（1）求的值；（2）是否存在一個實(shí)數(shù)，使得且為等差數(shù)列？若存在，求出的值；如不存在，請說明理由；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析：（1）當(dāng)n=2時，當(dāng)n=3時， （2）法一：當(dāng)時， 要使為等差數(shù)列，則必須使, 即存在，使為等差數(shù)列 法二：利用，可得，再證明為等差數(shù)列.（3） 因?yàn)楫?dāng)時，為等差數(shù)列，且，所以 所以 所以 1

10、6已知數(shù)列中，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.解析：（1）設(shè)，則， 因?yàn)樗詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. （2）由（1）得，即， 由，得， 所以， ， 17. 已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn)，且其離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)b，經(jīng)過點(diǎn)b的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)a，且滿足，求abf外接圓的方程.解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即.聯(lián)立解得，.所以橢圓的方程為.（2）由（1）得，橢圓的方程為，所以.設(shè)，則.因?yàn)椋?，所以，?聯(lián)立解得，或，所以或.當(dāng)為時，因?yàn)椋詀bf的外接圓是以為圓心，1為半徑的圓，

11、此時外接圓的方程為.當(dāng)為時，設(shè)abf的外接圓方程為，則解得此時外接圓的方程為.綜上所述，abf的外接圓的方程為或.18已知圓，若橢圓的右頂點(diǎn)為圓m的圓心，離心率為（1）求橢圓c的方程；（2）已知直線，若直線與橢圓c分別交于a，b兩點(diǎn)，與圓m分別交于g，h兩點(diǎn)（其中點(diǎn)g在線段ab上），且，求的值解：（1）圓m的圓心為，則，故橢圓c的方程為（2）設(shè)，由直線與橢圓c交于兩點(diǎn)a，b則 得所以，點(diǎn)m到直線的距離，則顯然，若點(diǎn)h也在線段ab上，則由對稱性可知，直線就是y軸，矛盾， 即， 解得，即19. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的

12、兩點(diǎn)、，且為銳角，求直線的斜率的取值范圍；（3）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為（不在坐標(biāo)軸上），若直線在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值解：（1）由題意得： 所以 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，可解得所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）設(shè)直線方程為，設(shè)、由得：， 因?yàn)?，所以?又， 因?yàn)闉殇J角，所以， 即，所以，所以 所以即，所以所以，解得或 （3）由題意：設(shè)點(diǎn)，,因?yàn)椴辉谧鴺?biāo)軸上，所以直線的方程為化簡得： 同理可得直線的方程為 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入、得所以直線的方程為， 令，得，令得，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以， 即為定值 20已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，且.

13、（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，且直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn),試探究，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.（1）解法1： 點(diǎn)是直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 拋物線c的準(zhǔn)線為，由結(jié)合拋物線的定義得 又點(diǎn)在拋物線c上， 由聯(lián)立解得，所求拋物線的方程式為 解法2：點(diǎn)是直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 拋物線c的焦點(diǎn)為，由得即 又點(diǎn)在拋物線c上， 由聯(lián)立解得，所求拋物線的方程式為 （2）解法1：由拋物線c關(guān)于軸對稱可知，若存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，設(shè) 又設(shè)點(diǎn)，由直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)知，直線與拋物

14、線相切，由得， 直線的方程為 令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 點(diǎn)在以為直徑的圓上， 要使方程對恒成立，必須有解得 在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，其坐標(biāo)為 解法2：設(shè)點(diǎn)，由與拋物線有唯一公共點(diǎn)知，直線與拋物線相切，由得， 直線的方程為 7分令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為 以為直徑的圓方程為： 分別令和，由點(diǎn)在拋物線上得將的值分別代入得：聯(lián)立解得或 在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，則點(diǎn)必為或?qū)⒌淖鴺?biāo)代入式得，左邊=右邊將的坐標(biāo)代入式得，左邊=不恒等于0 在坐標(biāo)平面內(nèi)是存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為為 21. 設(shè)函數(shù)(其中).(1) 當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 證明：當(dāng)時，函數(shù)

15、在上有且只有一個零點(diǎn)解: (1) 當(dāng)k=1時, ,.當(dāng)變化時,的變化如下表:減增增由表可知, f(x)的增區(qū)間(-,0), (ln2, +), 減區(qū)間為(0, ln2). 極大值為-1, 極小值為.(2) .當(dāng)x1時, f(x)0, 所以f(x)在(-,1) 上無零點(diǎn), 故只需證明f(x)在1, +)上有且只有一個零點(diǎn).，若, 當(dāng)x1時, , f(x)在1,+)上單調(diào)遞增, ,所以f(x)在1,+)上有且只有一個零點(diǎn).若, 則,f(1)=-k0, .令, .所以f(x)在1,+)上有且只有一個零點(diǎn).綜上得:f(x)在r上有且只有一個零點(diǎn).22. 已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求a

16、，b滿足的關(guān)系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （nn*）解：（1），根據(jù)題意，即.（2）由（）知，令，則，=當(dāng)時， ，若，則，在減函數(shù)，所以，即在上恒不成立時，當(dāng)時，在增函數(shù)，又，所以綜上所述，所求的取值范圍是.（3）由（2）知當(dāng)時，在上恒成立取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，n，然后n個不等式相加得23. 已知函數(shù)有且只有一個零點(diǎn).（1）求a的值；（2）若對任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；（3）設(shè)，對任意，證明：不等式恒成立.24. 已知函數(shù). 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； 記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上兩個不同點(diǎn)，如果曲線上存在點(diǎn)，使得：；曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在中值相依切線，請說明理由.解：（1）函數(shù)的定義域是. 由已知得，. 當(dāng)時, 令,解得;函數(shù)在上單調(diào)遞增 當(dāng)時， 當(dāng)時，即