高考山東卷文科第19題解法探析

1、高考山東卷文科第19題解法探析 題目 （2015年高考山東卷文19）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為n2n+1. （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; （2）設(shè)bn=（an+1）2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 解 （1）an=2n-1. （2）分析1 bn=2n22n-1=n4n，令cn=n，dn=4n，則數(shù)列bn是由等差數(shù)列cn與等比數(shù)列dn的乘積構(gòu)成的新數(shù)列cndn的求和問(wèn)題，我們不妨把這類數(shù)列稱為“差比型”數(shù)列，求“差比型”數(shù)列的常規(guī)解法是錯(cuò)位相減法. 解法1（錯(cuò)位相減法） sn=14+242+343+n4n 4sn=142+243+344+n4n+1 -得-3

2、sn=4+42+4n-n4n+1=4n+1-43-n4n+1，所以sn=（3n-1）4n+1+49. 拓展1 若數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d0，數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比q1，則數(shù)列anbn前n項(xiàng)和sn可用錯(cuò)位相減法求解：令sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn，則qsn=a1b2+a2b3+a3b4+anbn+1， 所以（1-q）sn=a1b1+（db2+db3+dbn）-anbn+1 =a1b1+db2（1-qn-1）1-q-anbn+1，所以sn=a1b1-anbn+11-q+db2（1-qn-1）（1-q）2. 分析2 用“錯(cuò)位相減法”求“差比型”數(shù)列的前n項(xiàng)和雖有固定的求解模式，

3、但運(yùn)算量大，極易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，如果聯(lián)想到bn=bn+1-bnq-1，則可用裂項(xiàng)法求和. 解法2（裂項(xiàng)求和法） n4n=13n（4n+1-4n）=13（n4n+1-n4n） =13n4n+1-（n-1）4n-134n， 所以sn=13n4n+1-43（1-4n）1-4=（3n-1）4n+1+49. 拓展2 若數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d，數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q1，則anbn=an（bn+1-bn）q-1=1q-1（an+1-d）bn+1-anbn=1q-1（an+1bn+1-anbn） -dbn+1q-1，從而將數(shù)列anbn轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列1q-1（an+1bn+1-anbn）

4、與一個(gè)等比數(shù)列dbn+1q-1之差，故anbn的前n項(xiàng)和為tn=an+1bn+1-a1b1q-1-db1qq-11-qn1-q. 分析3 由bn=n4n=4n+4n+4n，可考慮用分拆法求和. 解法3（分拆法） sn=4+（42+42）+（4n+4n+4n） =（4+42+4n）+（42+43+4n）+4n =4-4n+11-4+42-4n+11-4+4n-4n+11-4= -13（4+42+4n）+13n4n+1 =-134-4n+11-4+13n4n+1=（3n-1）4n+1+49. 分析4 anbn=a1+（n-1）db1qn-1=b1dnqn-1+b1（a1-d）qn-1，由nqn-1

5、可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)公式（xn）=nxn-1，則可用導(dǎo)數(shù)法或積分法求和. 解法4（導(dǎo)數(shù)法） 當(dāng)x1時(shí)，x+x2+xn=x-xn+11-x， 兩邊同時(shí)求導(dǎo)得1+2x+3x2+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2. 兩邊同時(shí)乘以x得x+2x2+3x3+nxn=x-（n+1）xn+1+nxn+2（1-x）2. x=4，得sn=14+242+343+n4n=（3n-1）4n+1+49. 解法5（積分法） 當(dāng)x1時(shí)，設(shè)f（x）=1+2x+3x2+nxn-1，則 （1+2x+3x2+nxn-1）dx=c+x+x2+xn=c+x-xn+11-x（其中c為任意常數(shù)）， 所以f（x）=（1+2x

6、+3x2+nxn-1）dx=（c+x-xn+11-x）， 所以f（x）=1+2x+3x2+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2. 兩邊同時(shí)乘以x得x+2x2+3x3+nxn=x-（n+1）xn+1+nxn+2（1-x）2. x=4，得sn=14+242+343+n4n=（3n-1）4n+1+49. 分析5 由sn+1=sn+（n+1）4n+1聯(lián)想到遞推數(shù)列an+1=pan+（an+b）qn的通項(xiàng)公式求法，則可用待定系數(shù)法求解. 解法6（待系數(shù)法） sn+1=sn+（n+1）4n+1=sn+（4n+4）4n， 設(shè)sn+1+x（n+1）+y4n+1=sn+（xn+y）4n， 則s

7、n+1=sn+（-3xn-4x-3y）4n， 所以-3x=4， -4x-3y=4，x=-43，y=49， 所以sn+（-43n+49）4n是常數(shù)列， 所以sn+（-43n+49）4n=s1+（-43+49）4=49，sn=（3n-1）4n+1+49. 解法7（待定系數(shù)法） 因?yàn)閟n+1=sn+（n+1）4n+1，所以sn+14n+1=14sn4n+n+1， 令bn=sn4n，則bn+1=14bn+n+1， 設(shè)bn+1+x（n+1）+y=14（bn+xn+y），則bn+1=14bn-3xn4-x-3y4， 所以-3x4=1， -x-3y4=1，所以x=-43， y=49，所以數(shù)列bn-4n3+4

8、9是等比數(shù)列， 所以bn-4n3+49=19（14）n-1，所以bn=4n3-49+19（14）n-1，sn=（3n-1）4n+1+49. 解法8（待定系數(shù)法） 因?yàn)閟n+1=sn+（n+1）4n+1，所以sn+14n+1=14sn4n+n+1， 令bn=sn4n，則bn+1=14bn+n+1，bn=14bn-1+n， 所以bn+1-bn=14（bn-bn-1）+1，令bn+1-bn=cn，則cn=14cn-1+1， 設(shè)cn+=14（cn-1+），則cn=14cn-1-34， 令-34=1，則=-43，所以數(shù)列cn-43是等比數(shù)列， 所以cn-43=-112（14）n-1，cn=43-112（

9、14）n-1，所以bn+1-bn=43-112（14）n-1， 所以bn=b1+（b2-b1）+（bn-bn-1） =1+4（n-1）3-112（1-（14）n-1）1-14=4n3-49+19（14）n-1，所以sn=（3n-1）4n+1+49. 點(diǎn)評(píng) 解法6、解法7、解法8利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系an+1=sn+1-sn，將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題，雖然不是最簡(jiǎn)方法，但它別出心裁，另辟新經(jīng)，將知識(shí)融會(huì)貫通. 分析6 由拓展1得 sn=a1b1-anbn+11-q+db2（1-qn-1）（1-q）2 =a1b1-（a1+（n-1）d）b1qn1-q+db2（1-qn-1）（1-q

10、）2 = a1b1q-a1b1-db1q+b1d（q-1）nqn-（a1b1q-a1b1-db1q）（1-q）2. 令x=a1b1q-a1b1-db1q（1-q）2，y=b1d（q-1）（1-q）2，則sn=（x+yn）qn-x，這說(shuō)明“差比型”數(shù)列前n項(xiàng)和的形式為sn=（x+yn）qn-x. 解法9（待定系數(shù)法） sn=（x+yn）4n+z， s1=4（x+y）+z=4， s2=16（x+2y）+z=36， s3=64（x+3y）+z=228， 解得x=-49，y=129，z=49，所以sn=（3n-1）4n+1+49. 解法10（待定系數(shù)法） sn=（x+yn）4n-x， s1=4（x+y

11、）-x=4 s2=16（x+2y）-x=36，解得x=-49，y=129，所以sn=（3n-1）4n+1+49. 點(diǎn)評(píng) 解法9、解法10充分利用“差比型”數(shù)列前n項(xiàng)和的特征，設(shè)出sn的表達(dá)式，利用方程思想使問(wèn)題順利獲解，該解法過(guò)程簡(jiǎn)潔、運(yùn)算量小，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，是求“差比型”數(shù)列前n項(xiàng)和的最佳選擇. 分析7 我們知道矩形的面積公式為s=ab，因而，由兩個(gè)正數(shù)積的形式便可直覺聯(lián)想它就是矩形的面積的數(shù)值，于是，a1b1+a2b2+anbn只不過(guò)表示n個(gè)矩形面積的和，從而有 解法11 如圖1，用分割法將圖1中n個(gè)矩形轉(zhuǎn)化為圖2中n個(gè)矩形，就是從兩個(gè)不同視角看同一個(gè)面積，于是有 圖1 圖2 a1b1+a2b2+anbn =a1（b1-b2）+（a1+a2）（b2-b1）+（a1+a2+an-1）（bn-1-bn） +（a1+a2+a