小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) i 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 摘摘 要要 小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。小波變換在于音頻信號(hào)圖像 信號(hào)的處理中具有重要的意義。 在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開的，不包含任何時(shí)頻的信息，這對(duì) 于某些應(yīng)用來說是很恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樾盘?hào)的頻率的信息對(duì)其是非常重要的。但其丟棄的時(shí) 域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要。 而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特 點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力。而在于信號(hào)之中圖像是一種重要的信 息源，通過圖像處理可以幫助人們了解信

2、息的內(nèi)涵。本文簡述了小波包分析的原理，并 基于 matlab 實(shí)現(xiàn)了對(duì)二維圖像信號(hào)進(jìn)行消噪。對(duì)常用的幾種閾值去噪方法進(jìn)行了分析比 較和仿真實(shí)現(xiàn)。最后結(jié)合理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，討論了去噪過程中影響去噪性能的各種 因素。為在實(shí)際的圖像處理中，小波包閾值去噪法的選擇和改進(jìn)提供了數(shù)據(jù)參考和依據(jù) 關(guān)鍵詞：信號(hào)；圖像銳化；圖像去噪；小波分析關(guān)鍵詞：信號(hào)；圖像銳化；圖像去噪；小波分析 cc 版權(quán)所有僅供參考！版權(quán)所有僅供參考！ xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 ii the application of wavelet analysis in signal processing abstract wavele

3、t analysis is pure mathematics, applied mathematics and engineering the perfect combination. wavelet transform is the audio signal processing of the image signal has an important significance. in conventional fourier analysis, the signal is completely expanded in the frequency domain, the frequency

4、does not contain any information, which for some applications is very appropriate because of its frequency of the signal information is very important. but its time-domain information may be discarded for certain applications is also very important. the wavelet analysis is to overcome the short-time

5、 fourier transform in a single resolution of defects, with the multi-resolution analysis of the characteristics of the time domain and frequency domain signals are characterized by the ability of local information. but rather among the image signal is an important source of information, through imag

6、e processing can help people understand the information content. this paper describes the principle of wavelet packet analysis, and based on matlab realization of two-dimensional image signal de-noising. several commonly used thresholding methods were analyzed and compared and simulation. finally, t

7、heoretical analysis and experimental results are discussed denoising process a variety of factors affect the performance of de-noising. as in the actual image processing, wavelet packet thresholding method selection and improvement of a data reference and basis. keywords: signal;image sharpening; im

8、age denoising; wavelet analysis 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) iii 目錄 第一章第一章 概述概述.1 1.1 小波分析的發(fā)展與應(yīng)用.1 1.2 本文主要意義內(nèi)容.2 第二章第二章 相關(guān)技術(shù)原理相關(guān)技術(shù)原理.3 2.1 小波分析的基本原理.3 2.2 幾種常用小波.4 2.3 傅立葉變換與小波變換.6 2.3.1 傅立葉變換與小波變換歷史.6 2.3.2 傅里葉變換.7 2.3.3 小波變換.8 2.4 小波包定義性質(zhì).11 2.4.1 小波包定義.12 2.4.2 小波包的性質(zhì).13 2.4.3 小波包算法.13 第三章第三章 小波變換在信

9、小波變換在信號(hào)號(hào)處理中的應(yīng)用處理中的應(yīng)用.14 3.1 調(diào)試環(huán)境-matlab 開發(fā)平臺(tái).14 3.2 小波分析用于圖像壓縮.14 3.3 小波包變換的圖像壓縮.16 3.4 小波分析用于圖像去噪.17 3.4.1 圖像噪聲分類.18 xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 iv 3.4.2 圖像噪聲處理.19 3.5 小波分析用于圖像增強(qiáng).21 3.6 圖像銳化.21 第四章第四章 圖片降噪中主要應(yīng)用的函數(shù)閾值選取圖片降噪中主要應(yīng)用的函數(shù)閾值選取.22 4.1 二維小波包分解函數(shù).23 4.2 圖像的小波包重構(gòu)函數(shù).23 4.3 閾值選取.24 4.4 小波基對(duì)系統(tǒng)的影響分析.24 第五章第五章

10、結(jié)論結(jié)論.25 5.1 總結(jié).25 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).26 致致 謝謝.27 附錄附錄 圖像壓縮去噪圖像壓縮去噪增增強(qiáng)銳化原程序強(qiáng)銳化原程序.28 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 1 第一章第一章 概述概述 1.11.1 小波分析的發(fā)展與應(yīng)用小波分析的發(fā)展與應(yīng)用 眾所周知，由于圖像在采集、數(shù)字化和傳輸過程中常受到各種噪聲的干擾，從而使 數(shù)字圖像中包含了大量的噪聲。能否從受擾信號(hào)中獲得去噪的信息，不僅與干擾的性質(zhì) 和信號(hào)形式有關(guān)，也與信號(hào)的處理方式有關(guān)。在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)不同性質(zhì)的信號(hào)和干 擾，尋找最佳的處理方法降低噪聲，一直是信號(hào)處理領(lǐng)域廣泛討論的重要問題。目前有 很多方法可

11、用于信號(hào)降噪，如中值濾波，低通濾波，傅立葉變換等，但它們都濾掉了信 號(hào)細(xì)節(jié)中的有用部分。 傳統(tǒng)的信號(hào)去噪方法以信號(hào)的平穩(wěn)性為前提，僅從時(shí)域或頻域分別給出統(tǒng)計(jì)平均結(jié) 果。根據(jù)有效信號(hào)的時(shí)域或頻域特性去除噪聲，而不能同時(shí)兼顧信號(hào)在時(shí)域和頻域的局 部和全貌。更多的實(shí)踐證明，經(jīng)典的方法基于傅里葉變換的濾波，并不能對(duì)非平穩(wěn)信號(hào) 進(jìn)行有效的分析和處理，去噪效果已不能很好地滿足工程應(yīng)用發(fā)展的要求。近幾年來， 許多文獻(xiàn)介紹了非平穩(wěn)信號(hào)去噪的小波閾值方法。donoho 和 johnstone 提出了通過閾值化 小波系數(shù)對(duì)染有高斯噪聲的信號(hào)進(jìn)行去噪的方法。 常用的硬閾值法則和軟閾值法則采用設(shè)置高頻小波系數(shù)為零的方

12、法從信號(hào)中濾除噪 聲。實(shí)踐證明，這些小波閾值去噪方法具有近似優(yōu)化特性，在非平穩(wěn)信號(hào)領(lǐng)域中具有良 好表現(xiàn)。閾值法則主要依賴于參數(shù)的選擇。例如,硬閾值和軟閾值依賴于單個(gè)參數(shù)的選擇 全局閾值 ，然而由于小波變換的非線性， 的調(diào)整顯得至關(guān)重要。閾值太小或太大， 都會(huì)直接關(guān)系到信號(hào)去噪效果的優(yōu)劣。當(dāng)閾值依賴于多個(gè)參數(shù)時(shí)，問題將會(huì)變得更加復(fù) 雜。實(shí)際上，比較有效的閾值去噪方法往往根據(jù)小波分解的不同層次確定不同的閾值參 數(shù)，進(jìn)而確定相應(yīng)的閾值法則。與一般的小波分析相對(duì)比，小波包分析（wavelet packet analysis）能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更加精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分 辨分析沒

13、有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇 相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，從而提高了時(shí)-頻分辨率。 小波包變換是小波變換的推廣，它在表示信號(hào)時(shí)具有比小波變換更強(qiáng)的靈活性。利 用小波包變換給信號(hào)作分解時(shí)，低頻部分和高頻部分都被進(jìn)一步分解。因此小波包與信 號(hào)去噪的閾值方法相結(jié)合具有更加良好的應(yīng)用價(jià)值。 xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 2 1.21.2 本文主要意義內(nèi)容本文主要意義內(nèi)容 在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開的，不包含任何時(shí)頻的信息，這對(duì) 于某些應(yīng)用來說是很恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樾盘?hào)的頻率的信息對(duì)其是非常重要的。但其丟棄的時(shí) 域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要，

14、所以人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣，提出了很多 能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，gabor 變換，時(shí)頻分析，小 波變換等。其中短時(shí)傅立葉變換是在傅立葉分析基礎(chǔ)上引入時(shí)域信息的最初嘗試，其基 本假定在于在一定的時(shí)間窗內(nèi)信號(hào)是平穩(wěn)的，那么通過分割時(shí)間窗，在每個(gè)時(shí)間窗內(nèi)把 信號(hào)展開到頻域就可以獲得局部的頻域信息 ，但是它的時(shí)域區(qū)分度只能依賴于大小不變 的時(shí)間窗，對(duì)某些瞬態(tài)信號(hào)來說還是粒度太大。換言之，短時(shí)傅立葉分析只能在一個(gè)分 辨率上進(jìn)行。所以對(duì)很多應(yīng)用來說不夠精確，存在很大的缺陷。 而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點(diǎn)， 在時(shí)域和頻域都有表征

15、信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形 態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分（信號(hào)較平穩(wěn)）可以采用較低的時(shí)間分辨率， 而提高頻率的分辨率，在高頻情況下（頻率變化不大）可以用較低的頻率分辨率來換取 精確的時(shí)間定位。因?yàn)檫@些特定，小波分析可以探測正常信號(hào)中的瞬態(tài)，并展示其頻率 成分，被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)頻分析領(lǐng)域。cc 提示請勿直接翻抄 本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包 括緊支集長度、濾波器長度、對(duì)稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。在不同的應(yīng)用場 合，各個(gè)小波函數(shù)各有利弊。 小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮

16、，圖像去噪，圖像融合，圖像 分解，圖像增強(qiáng)等。文中給出了詳細(xì)的程序范例，用 matlab 實(shí)現(xiàn)了基于小波變換的圖像 處理。由于文本性質(zhì)決定故決定此次小波分析與信號(hào)處理將以圖片分析與處理作為示例。 本論文主要重點(diǎn)在于圖片的降噪處理。 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 3 第二章第二章 相關(guān)技術(shù)原理相關(guān)技術(shù)原理 2.12.1 小波分析的基本原理小波分析的基本原理 小波是函數(shù)空間中滿足下述條件的一個(gè)函數(shù)或者信號(hào)： 2( ) l r( )x （2.1.1） 2 ( ) . r cd 式中，表示非零實(shí)數(shù)全體，是的傅里葉變換，成為小 * 0rr ( ) ( )x( )x 波母函數(shù)。 對(duì)于實(shí)

17、數(shù)對(duì)，參數(shù)為非零實(shí)數(shù)，函數(shù) ( , )a b a （2.1.2） 1 ( , )( ) xb a b x a a 稱為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)對(duì)的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱小波。其 ( )x( , )a b 中：稱為伸縮因子；稱為平移因子。 ab 對(duì)信號(hào)的連續(xù)小波變換則定義為 ( )f x （2.1.3） , 1 ( , )( )( ),( ) fa b r xb wa bf xdxf xx a a 其逆變換（回復(fù)信號(hào)或重構(gòu)信號(hào)）為 （2.1.4） * 1 ( )( , ) f r r xb f xwa bdadb ca 信號(hào)的離散小波變換定義為 ( )f x （2.1.5） 2 (2 ,2)2(

18、 ) (2) jjjj f wkf xxk dx 其逆變換（恢復(fù)信號(hào)或重構(gòu)信號(hào)）為 （2.1.6） (2 ,2) ( )(2 ,2)( ) jj jj f k jk f tcwkx 其中，是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。 c 顯然小波函數(shù)具有多樣性。在 matlab 小波工具箱中提供了多種小波幻術(shù)，包括 harr 小波，daubecheies（dbn）小波系，symlets（symn）小波系，reversebior（rbio） 小波系，meyer（meyer）小波，dmeyer（dmey）小波，morlet(morl)小波，complex gaussian(cgau)小波系，complex morle

19、t(cmor)小波系，lemarie（lem）小波系等。實(shí)際應(yīng) xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 4 用中應(yīng)根據(jù)支撐長度、對(duì)稱性、正則性等標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的小波函數(shù)。 2.22.2 幾種常用小波幾種常用小波 （1）haar 小波 a.haar 于 1990 年提出一種正交函數(shù)系,定義如下： （2.2.1） 0 1 1 h 其它 12/1 2/10 x x 這是一種最簡單的正交小波，即 0)()( dxnxt, 2, 1n （2.2.2） （2）daubechies（dbn）小波系 該小波是 daubechies 從兩尺度方程系數(shù)出發(fā)設(shè)計(jì)出來的離散正交小波。一般簡 k h 寫為 dbn，n 是小波的

20、階數(shù)。小波和尺度函數(shù)吁中的支撐區(qū)為 2n-1。的消失矩為 n。除 n1 外（haar 小波） ，dbn 不具對(duì)稱性即非線性相位 ；dbn 沒有顯式表達(dá)式 （除 n1 外） 。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。假設(shè)， k h 1 0 1 )( n k kkn k ycyp 其中，為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有 kn k c 1 ) 2 (sin) 2 (cos)( 22 2 0 pm n （2.2.3） 其中 12 0 0 2 1 )( n k ik ke hm （3）biorthogonal（biornr.nd）小波系 biorthogonal 函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號(hào)與

21、圖像的 重構(gòu)中。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。 biorthogonal 函數(shù)系通常表示為 biornr.nd 的形式： nr=1 nd=1，3，5 nr=2 nd=2，4，6，8 nr=3 nd=1，3，5，7，9 （2.2.4） nr=4 nd=4 nr=5 nd=5 nr=6 nd=8 其中，r 表示重構(gòu)，d 表示分解。 （4）coiflet（coifn）小波系 coiflet 函數(shù)也是由 daubechies 構(gòu)造的一個(gè)小波函數(shù)，它具有 coifn（n=1，2，3，4，5 ）這一系列，coiflet 具有比 dbn 更好的對(duì)稱性。從支撐長度的 角度看，c

22、oifn 具有和 db3n 及 sym3n 相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifn 具 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 5 有和 db2n 及 sym2n 相同的消失矩?cái)?shù)目。 （5）symletsa（symn）小波系 symlets 函數(shù)系是由 daubechies 提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì) db 函數(shù)的一種 改進(jìn)。symlets 函數(shù)系通常表示為 symn（n=2，3，8）的形式。 （6）morlet（morl）小波 morlet 函數(shù)定義為，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。xcex x 5cos)( 2/ 2 （7）mexican hat（mexh）小

23、波 mexican hat 函數(shù)為 （2.2.5） 2/24/1 2 )1 ( 3 2 )( x exx 它是 gauss 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗衲鞲缑钡慕孛妫杂袝r(shí)稱這個(gè)函數(shù)為墨西 哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 0)( dxx 由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 （8）meyer 函數(shù) meyer 小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小 波。 （2.2.6） 0 )1 2 3 ( 2 cos()2( )1 2 3 ( 2 sin()2( )( 2/2/1 2/2/1 j j e e 3 8 , 3 2 3 8 3 4

24、 3 4 3 2 其中，為構(gòu)造 meyer 小波的輔助函數(shù)，且有)(a （2.2.7）1 0 )1 2 3 ( 2 cos()2( )2( )( 2/1 2/1 3 4 3 4 3 2 3 2 xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 6 2.32.3 傅立葉變換與小波變換傅立葉變換與小波變換 2.3.12.3.1 傅立葉變換與小波變換歷史傅立葉變換與小波變換歷史 小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分 析密切相關(guān)。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者 是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同： （1）傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào) f（t

25、）分解到以為正交基的空間上 tj e 去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)分解到（j=1，2，j）和所構(gòu)成的 )(tf j w j v 空間上去。 （2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有，具有唯一性；小波分 )exp(),cos(),sin(titt 析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有不唯一性，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行 分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問題（也 是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題） ，目前往往是通過經(jīng)驗(yàn)或不斷的試驗(yàn)（對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照 分析）來選擇小波函數(shù)。 （3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較 簡單的確定性信號(hào)，

26、傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式。例如， ，但在時(shí)域中，傅立葉變換沒有局部化能力，即無法 )cos(23 . 4 )sin(345 . 0 )sin( 321 ttt 從信號(hào)的傅立葉變換中看出在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。事實(shí)上， )(tf)( f)(tf 是關(guān)于頻率為的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由的整體性態(tài) df)( )(tf 所決定的。 （4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相當(dāng)于傅立葉變換中的值越小。 （5）在短時(shí)傅立葉變換中，變換系數(shù)主要依賴于信號(hào)在片段中的 ),(s, 情況，時(shí)間寬度是（因?yàn)槭怯纱昂瘮?shù)唯一確定，所以是一個(gè)定值） 。在小波 2 )(tg 2 變

27、換中，變換系數(shù)主要依賴于信號(hào)在片段中的情況，時(shí)間寬度 ),(bawf ,abab 是，該時(shí)間寬度是隨著尺度 a 變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。 a2 （6）若用信號(hào)通過濾波器來結(jié)實(shí)，小波變換與短時(shí)傅立葉變換不同之處在于：對(duì)短 時(shí)傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波 ff 器的帶寬則正比于中心頻率，即 ff c 為常數(shù) c f f q 亦即濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等 q 結(jié)構(gòu)（q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且 有） 。 帶寬 中心頻率 q 小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)小波變換，在映射到計(jì)算域的時(shí)候存在很多問題 ，因 為兩者都存在信息冗余，在對(duì)

28、信號(hào)采樣以后，需要計(jì)算的信息量還是相當(dāng)?shù)拇螅绕涫?連續(xù)小波變換，因?yàn)橐獙?duì)精度內(nèi)所有的尺度和位移都做計(jì)算，所以計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇?。?二進(jìn)小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個(gè)分 量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 7 真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是 meyer 在 1986 年提出的一組小波，其二 進(jìn)制伸縮和平移構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。在此結(jié)果基礎(chǔ)上，1988 年 s.mallat 在構(gòu)造正 )( 2 rl 交小波時(shí)提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學(xué)解釋，在 空間的概念上形象

29、的說明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法， 并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，并類似傅立葉分析中的快速傅立葉算法， 給出了小波變換的快速算法mallat 算法。這樣，在計(jì)算上變得可行以后，小波變換在 各個(gè)領(lǐng)域才發(fā)揮它獨(dú)特的優(yōu)勢，解決了各類問題，為人們提供了更多的關(guān)于時(shí)域分析的 信息。 形象一點(diǎn)說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一 的形式，而所有空間的閉包則逼近。在每個(gè)空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成該空間的標(biāo) )( 2 rl 準(zhǔn)化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，那么，如果 )( 2 rl 對(duì)信號(hào)在這類空間上進(jìn)行分解，就可以得

30、到相互正交的時(shí)頻特性。而且由于空間數(shù)目是 無限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號(hào)的某些特性2。 2.3.22.3.2 傅里葉變換傅里葉變換 在信號(hào)處理中重要方法之是傅立葉變換，它架起了時(shí)間域和頻率域之間的橋梁。 對(duì)很多信號(hào)來說，傅立葉分析非常有用。因?yàn)樗芙o出信號(hào)令包含的各種頻率成分。 但是、傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn)：變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信息，它不能告訴人們 在某段時(shí)間里發(fā)生了什么變化。而很多信號(hào)都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)（或者瞬變） 持性，如漂移、趨勢項(xiàng)、突然變化以及信號(hào)的升始或結(jié)束。這些特性是信號(hào)的最重要部 分。因此傅里葉變換不適于分析處理這類信號(hào)。 雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)

31、域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號(hào)的時(shí)域 和頻域觀察，但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何 頻域信息。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間 域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說，對(duì)于傅立 葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一 對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。 在實(shí)際的信號(hào)處理過程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的 頻域特征都很重要。如柴油機(jī)缸蓋表面的震動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變 信號(hào)，僅從時(shí)域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去

32、尋找一種新方法，能夠?qū)r(shí)域和 頻域結(jié)合起來描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分 析法，也稱為時(shí)頻局部化方法。 由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力， dennis gabor 于 1946 年引入了短時(shí)傅立葉變換。短時(shí)傅立葉變換的基本思想是：把信號(hào) 劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存 在的頻率。其表達(dá)式為 （2.3.1）dtegtfs tj r )()(),( * 其中*表示復(fù)共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。在這個(gè)變換中， 起著頻限的作用，g(t)起著時(shí)限的作用。隨

33、著時(shí)間的變化，g(t)所確定的“時(shí)間窗” tj e 在 t 軸上移動(dòng)，是 f（t） “逐漸”進(jìn)行分析。因此，g（t）往往被稱之為窗口函數(shù)， xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 8 大致反映了 f（t）在時(shí)刻時(shí)、頻率為的“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。這樣信號(hào)在),(s 窗函數(shù)上的展開就可以表示為在、這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一, 區(qū)域稱為窗口，和分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越 小則分辨率就越高。很顯然，希望和都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但還森 堡測不準(zhǔn)原理指出和是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意?。ㄊ聦?shí)上，且 2 1 僅當(dāng)為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立） 2 2 2 4/1 1

34、 )( t etg 由此可見，短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉不具有局部分析能 力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀 就確定了，只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f短時(shí) 傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) g(t)。因此，短時(shí)傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化 劇烈的時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率（即要?。?，而波形變化比較平緩 的時(shí)刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率（即要?。?。而短時(shí)傅立葉變換不能 兼顧兩者。 2.3.32

35、.3.3 小波變換小波變換 連續(xù)小波變換 設(shè)，其傅里葉變換為，當(dāng)滿足允許條件（完全重構(gòu)條件） 。 rlt 2 w w （2.3.2） r dw w w c 2 稱為一個(gè)基本小波或母小波(mother wavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具 w 有較好的衰減性。其中，當(dāng)時(shí)，有=0，即同時(shí)有。因 0w w 0 dtt 0 此，一個(gè)允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，任何均值 為零(即 )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶 0 dtt 通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個(gè)基本小波。 將母函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到： t （2.3.3）

36、0;, 1 , arba a bt a t ba 其中 稱其為一個(gè)小波序列。其中 a 為伸縮因子，b 為平移因子。通常情況下，基本小波 以原點(diǎn)為中心，因此是基本小波以為中心進(jìn)行伸縮得到。基本小波 t t ba, t bt 被伸縮為(時(shí)變寬，而時(shí)變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度 a 上， tat 1a1a 膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對(duì)于較小的 a 則搜索細(xì)節(jié)特征。 對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： rltf 2 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 9 （2.3.4） dt a bt tfafbaw r baf 2 , , 當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： （2.3.5） da

37、db a bt baw ac tf f , 11 2 在小波變換過程中必須保持能量成比例，即： （2.3.6） dxxfcdbbaw a da rr f r 22 2 , 由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測窗的作用， t t ba, 所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： t （2.3.7） dtt 故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿足重構(gòu)條件式(2.4)，在原點(diǎn)必須等于 w w 零，即： （2.3.8） 00 dtt 此即說明具有波動(dòng)性。為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外， t 還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： t （2.3.9） bwa j 2 2 式中

38、，。 ba0 連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： （1）線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和 （2）平移不變性：若 f（t）的小波變換為，則的小波變換為),(bawf)(tf ),(bawf （3）伸縮共變性：若 f（t）的小波變換為，則 f（ct）的小波變換為),(bawf ，0),( 1 ccbcaw c f （4）自相似性：對(duì)應(yīng)不同尺度參數(shù) a 和不同平移參數(shù) b 的連續(xù)小波變換之間是自相 似的。 （5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。 小波變換的冗余性事實(shí)上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： （1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一

39、的。也就是說，信號(hào) f（t）的 小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。 （2）小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇（例如，它們可以是)( , t ba xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 10 非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的） 。 小波變換在不同的（a，b）之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因 此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。 離散小波變換 在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討 論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散

40、化都 t ba, bawf, 是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù) b 的，而不是針對(duì)時(shí)間 t 的。這一點(diǎn)與我們以前 的習(xí)慣不同。在公式(2.2)中，a ,b r；a0 是容許的。為方便起見，在離散化中，總 限制 a 只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a 和平移參數(shù) b 的離散化公式分別 取作，這里，擴(kuò)展步長是固定值，為方便起見，總是假定。 jj bbaa 00, zj1 0 a1 0 a 所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作： t kj, （2.3.10） 00 0 00 0 , 11 kbta a a bkat a t j j o j kj 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： （2.3.11

41、） 0, ,. kjkjkj fdtttfc 其重構(gòu)公式為： （2.3.12） tcctf kjkj, c 是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然， 0 a 0 b 網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù) 0 a 0 b 和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。由于圖像是二維信號(hào)， t kj, kj c , 因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個(gè)二維信號(hào)，分別是 21,x xf 21,x x 其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度 21,x x 21,x x 函數(shù)可分離，即：。令是與對(duì)

42、應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二 2121, xxxx 1 x 1 x 維小波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基函數(shù)： （2.3.13） 2121 1 ,xxxx （2.3.14） 2121 2 ,xxxx （2.3.15） 2121 3 ,xxxx 這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和 1 x 1 x 做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對(duì)這兩部分再沿方向用 2 x 21,x xf 2 x 和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級(jí) 2 x 1 x 1 x 2 x 平滑逼近，其它三路輸出，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。 211 ,xxfa 21 1 1 ,xxfd 21

43、 2 1 ,xxfd 21 3 1 ,xxfd 如果把和的對(duì)應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波 1 x 1 x w w h 器，則反映的是 , 兩個(gè)方向的低頻分量， 反映的是水平方 g 211 ,xxfa 1 x 2 x 21 1 1 ,xxfd 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 11 向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方 21 2 1 ,xxfd 向的低頻分量，反映的是兩個(gè)方向的高頻分量。對(duì)圖像進(jìn)行小波變換就是用低 21 3 1 ,xxfd 通濾波器和高通濾波器對(duì)圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積） ，然后進(jìn)行二取一的下抽樣。 h g 在實(shí)際運(yùn)

44、用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必 要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散 )( , t ba ),(bawf 化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù) a 和連續(xù)平移參數(shù) b 的，而不是針對(duì)時(shí)間變量 t 的。這一點(diǎn) 與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。 實(shí)際計(jì)算中不可能對(duì)全部尺度因子值和位移參數(shù)值計(jì)算 cwta,b 值，加之實(shí)際的觀測 信號(hào)都是離散的，所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換(dwt)。大多數(shù)情況下是將尺度因 子和位移參數(shù)按 2 的冪次進(jìn)行離散。最有效的計(jì)算方法是 smallat 于 1988 年發(fā)展的快 小波算法(又稱塔式算法)。對(duì)任一信號(hào)，離散

45、小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部 分稱為近似部分)和離散部分(稱為細(xì)節(jié)部分)。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。第二 步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算。不過這時(shí)尺度因子已經(jīng)改變。依次進(jìn)行到所需要的尺度。 除了連續(xù)小波(cwt)、離散小波(dwt)，還有小波包（wavelet packet）和多維小波3。 2.42.4 小波包定義性質(zhì)小波包定義性質(zhì) 2.4.12.4.1 小波包定義小波包定義 短時(shí)傅立葉變換對(duì)信號(hào)的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有 效的時(shí)頻分解，但由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差， 而在低頻頻段其時(shí)間分辨率較差，即對(duì)信號(hào)的頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃

46、分（具有等 q 結(jié)構(gòu)） 。 小波包分析能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分 辨率分析沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選 擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，從而提高了時(shí)-頻分辨率，因此小波包具有更廣泛 的應(yīng)用價(jià)值。 小波包分析是從小波分析延伸出來的的一種對(duì)信號(hào)進(jìn)行更加細(xì)致的分析與重構(gòu)的方 法。小波包分析不但對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻部分作更加細(xì)致的刻畫，對(duì)信號(hào) 的分析能力更強(qiáng)。 在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把 j zj wrl )( 2 hilbert 空間分解為所有子空間的正交和的。其中， 為小

47、波函數(shù) )( 2 rl )(zjwj j w 的閉包（小波子空間） ?，F(xiàn)在，我們希望幾擬議部對(duì)小波子空間按照二進(jìn)制分式 )(t j w 進(jìn)行頻率的細(xì)分，以達(dá)到提高頻率分辨率的目的。 一種自然的做法是將尺度空間和小波子空間用一個(gè)新的子空間統(tǒng)一起來表征， j v j w n j u 若令 xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 12 j j jj wu vu 1 0 zj 則 hilbert 空間的正交分解即可用的分解統(tǒng)一為 jjj wvv 1 n j u （2.4.1） 100 1jjj uuu zj 定義子空間是函數(shù)是函數(shù)的閉包空間，而是函數(shù)的閉包空間， n j u)(tun)(tun)( 2 tu

48、 n 并令滿足下面的雙尺度方程： )(tun （2.4.2） zk nn zk nn ktukgtu ktukhtu )2()(2)( )2()(2)( 12 2 式中，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng) n=0 時(shí)，以上兩式直接給 )1 () 1()(khkg k 出 （2.4.3） zk k zk k ktugtu ktuhtu )2()( )2()( 01 00 與在多分辨分析中，滿足雙尺度方程： )()(tt和 （2.4.4） zk k zk k ktgt ktht )2()( )2()( 2 2 lg lh zkk zkk 相比較，和分別退化為尺度函數(shù)和小波基函數(shù)。把這種等價(jià)表示 )( 0

49、tu)( 1 tu)(t)(t 推廣到（非負(fù)整數(shù)）的情況，即得到的等價(jià)表示為 zn ； （2.4.5） 12 1 n j n j n j uuu zj zn 定義（小波包） 由式（2.23）構(gòu)造的序列（其中）稱為由基函數(shù) )(tun zn =確定的正交小波包。當(dāng) n=0 時(shí)，即為（2.24）式的情況。 )( 0 tu)(t 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 13 由于由唯一確定，所以又稱為關(guān)于序列的正交小波包4。 )(t k h znn tu )( k h 2.4.22.4.2 小波包的性質(zhì)小波包的性質(zhì) 定理 1 設(shè)非負(fù)整數(shù) n 的二進(jìn)制表示為 =0 或 1 1 1 2 i i

50、 i n i 則小波包的傅立葉變換由下式給出：)(wun （2.4.6） 1 )2/()( i j n wmwu i 式中 （2.4.7） k jkw ekhwhwm)( 2 1 )()( 0 （2.4.8） k jkw ekgwgwm)( 2 1 )()( 1 定理 2 設(shè)是正交尺度函數(shù)的正交小波包，則， znn tu )()(t klnn ltuktu)(),( 即構(gòu)成的規(guī)范正交基。 znn tu )()( 2 rl 2.4.32.4.3 小波包算法小波包算法 下面給出小波包的分解算法和重構(gòu)算法。設(shè)，則可表示為 n j n j utg)( n j g （2.4.9） l j n nj l

51、n j ltudtg)2()( , 小波包分解算法：由求與 nj l d , 1 nj l d 2, 12,nj l d k k lk l k k lk nj l njnj nj dbd dad , 112, , 1 2 2 2, （2.4.10） 小波包重構(gòu)算法：由與求 nj l d 2, 12,nj l d nj l d , 1 error!error! nono bookmarkbookmark namename given.given. xx：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 14 第三章第三章小波變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用 3.13.1 調(diào)試環(huán)境調(diào)試環(huán)境-matlab

52、-matlab 開發(fā)平臺(tái)開發(fā)平臺(tái) matlab 是 math works 公司開發(fā)的一種跨平臺(tái)的，用于矩陣數(shù)值計(jì)算的簡單 高效的數(shù)學(xué)語言，與其它計(jì)算機(jī)高級(jí)語言如 c, c+, fortran, basic, pascal 等相比， matlab 語言編程要簡潔得多，編程語句更加接近數(shù)學(xué)描述，可讀性好，其強(qiáng)大 的圓形功能和可視化數(shù)據(jù)處理能力也是其他高級(jí)語言望塵莫及的。對(duì)于具有任何一 門高級(jí)語言基礎(chǔ)的讀者來說，學(xué)習(xí) matlab 十分容易。但是，要用好 matlab 卻不是在短時(shí)間就可以達(dá)到的。這并不是因?yàn)?matlab 語言復(fù)雜難懂，而是實(shí)際問 題的求解往往更多的是需要使用者具備數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)知識(shí)。matlab 使得人們 擺脫了常規(guī)計(jì)算機(jī)編程的繁瑣，讓人們能夠?qū)⒋蟛糠志ν度氲窖芯繂栴}的數(shù)學(xué)建 模上?？梢哉f，應(yīng)用 matlab 這個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算和系統(tǒng)方針的強(qiáng)大工具，可以使科學(xué) 研究的效率得以成百倍的提高。 目前，matlab 已經(jīng)廣泛用于理工科大學(xué)從高等數(shù)學(xué)到幾乎