小波分析在信號處理中的應用畢業(yè)設計

1、小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 i 小波分析在信號處理中的應用小波分析在信號處理中的應用 摘摘 要要 小波分析是純數(shù)學、應用數(shù)學和工程技術(shù)的完美結(jié)合。小波變換在于音頻信號圖像 信號的處理中具有重要的意義。 在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時頻的信息，這對 于某些應用來說是很恰當?shù)?，因為信號的頻率的信息對其是非常重要的。但其丟棄的時 域信息可能對某些應用同樣非常重要。 而小波分析則克服了短時傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特 點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力。而在于信號之中圖像是一種重要的信 息源，通過圖像處理可以幫助人們了解信

2、息的內(nèi)涵。本文簡述了小波包分析的原理，并 基于 matlab 實現(xiàn)了對二維圖像信號進行消噪。對常用的幾種閾值去噪方法進行了分析比 較和仿真實現(xiàn)。最后結(jié)合理論分析和實驗結(jié)果，討論了去噪過程中影響去噪性能的各種 因素。為在實際的圖像處理中，小波包閾值去噪法的選擇和改進提供了數(shù)據(jù)參考和依據(jù) 關(guān)鍵詞：信號；圖像銳化；圖像去噪；小波分析關(guān)鍵詞：信號；圖像銳化；圖像去噪；小波分析 cc 版權(quán)所有僅供參考！版權(quán)所有僅供參考！ xx：小波分析在信號處理中的應用 ii the application of wavelet analysis in signal processing abstract wavele

3、t analysis is pure mathematics, applied mathematics and engineering the perfect combination. wavelet transform is the audio signal processing of the image signal has an important significance. in conventional fourier analysis, the signal is completely expanded in the frequency domain, the frequency

4、does not contain any information, which for some applications is very appropriate because of its frequency of the signal information is very important. but its time-domain information may be discarded for certain applications is also very important. the wavelet analysis is to overcome the short-time

5、 fourier transform in a single resolution of defects, with the multi-resolution analysis of the characteristics of the time domain and frequency domain signals are characterized by the ability of local information. but rather among the image signal is an important source of information, through imag

6、e processing can help people understand the information content. this paper describes the principle of wavelet packet analysis, and based on matlab realization of two-dimensional image signal de-noising. several commonly used thresholding methods were analyzed and compared and simulation. finally, t

7、heoretical analysis and experimental results are discussed denoising process a variety of factors affect the performance of de-noising. as in the actual image processing, wavelet packet thresholding method selection and improvement of a data reference and basis. keywords: signal;image sharpening; im

8、age denoising; wavelet analysis 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 iii 目錄 第一章第一章 概述概述.1 1.1 小波分析的發(fā)展與應用.1 1.2 本文主要意義內(nèi)容.2 第二章第二章 相關(guān)技術(shù)原理相關(guān)技術(shù)原理.3 2.1 小波分析的基本原理.3 2.2 幾種常用小波.4 2.3 傅立葉變換與小波變換.6 2.3.1 傅立葉變換與小波變換歷史.6 2.3.2 傅里葉變換.7 2.3.3 小波變換.8 2.4 小波包定義性質(zhì).11 2.4.1 小波包定義.12 2.4.2 小波包的性質(zhì).13 2.4.3 小波包算法.13 第三章第三章 小波變換在信

9、小波變換在信號號處理中的應用處理中的應用.14 3.1 調(diào)試環(huán)境-matlab 開發(fā)平臺.14 3.2 小波分析用于圖像壓縮.14 3.3 小波包變換的圖像壓縮.16 3.4 小波分析用于圖像去噪.17 3.4.1 圖像噪聲分類.18 xx：小波分析在信號處理中的應用 iv 3.4.2 圖像噪聲處理.19 3.5 小波分析用于圖像增強.21 3.6 圖像銳化.21 第四章第四章 圖片降噪中主要應用的函數(shù)閾值選取圖片降噪中主要應用的函數(shù)閾值選取.22 4.1 二維小波包分解函數(shù).23 4.2 圖像的小波包重構(gòu)函數(shù).23 4.3 閾值選取.24 4.4 小波基對系統(tǒng)的影響分析.24 第五章第五章

10、結(jié)論結(jié)論.25 5.1 總結(jié).25 參考文獻參考文獻.26 致致 謝謝.27 附錄附錄 圖像壓縮去噪圖像壓縮去噪增增強銳化原程序強銳化原程序.28 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 1 第一章第一章 概述概述 1.11.1 小波分析的發(fā)展與應用小波分析的發(fā)展與應用 眾所周知，由于圖像在采集、數(shù)字化和傳輸過程中常受到各種噪聲的干擾，從而使 數(shù)字圖像中包含了大量的噪聲。能否從受擾信號中獲得去噪的信息，不僅與干擾的性質(zhì) 和信號形式有關(guān)，也與信號的處理方式有關(guān)。在實際應用中，針對不同性質(zhì)的信號和干 擾，尋找最佳的處理方法降低噪聲，一直是信號處理領(lǐng)域廣泛討論的重要問題。目前有 很多方法可

11、用于信號降噪，如中值濾波，低通濾波，傅立葉變換等，但它們都濾掉了信 號細節(jié)中的有用部分。 傳統(tǒng)的信號去噪方法以信號的平穩(wěn)性為前提，僅從時域或頻域分別給出統(tǒng)計平均結(jié) 果。根據(jù)有效信號的時域或頻域特性去除噪聲，而不能同時兼顧信號在時域和頻域的局 部和全貌。更多的實踐證明，經(jīng)典的方法基于傅里葉變換的濾波，并不能對非平穩(wěn)信號 進行有效的分析和處理，去噪效果已不能很好地滿足工程應用發(fā)展的要求。近幾年來， 許多文獻介紹了非平穩(wěn)信號去噪的小波閾值方法。donoho 和 johnstone 提出了通過閾值化 小波系數(shù)對染有高斯噪聲的信號進行去噪的方法。 常用的硬閾值法則和軟閾值法則采用設置高頻小波系數(shù)為零的方

12、法從信號中濾除噪 聲。實踐證明，這些小波閾值去噪方法具有近似優(yōu)化特性，在非平穩(wěn)信號領(lǐng)域中具有良 好表現(xiàn)。閾值法則主要依賴于參數(shù)的選擇。例如,硬閾值和軟閾值依賴于單個參數(shù)的選擇 全局閾值 ，然而由于小波變換的非線性， 的調(diào)整顯得至關(guān)重要。閾值太小或太大， 都會直接關(guān)系到信號去噪效果的優(yōu)劣。當閾值依賴于多個參數(shù)時，問題將會變得更加復 雜。實際上，比較有效的閾值去噪方法往往根據(jù)小波分解的不同層次確定不同的閾值參 數(shù)，進而確定相應的閾值法則。與一般的小波分析相對比，小波包分析（wavelet packet analysis）能夠為信號提供一種更加精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分 辨分析沒

13、有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選擇 相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時-頻分辨率。 小波包變換是小波變換的推廣，它在表示信號時具有比小波變換更強的靈活性。利 用小波包變換給信號作分解時，低頻部分和高頻部分都被進一步分解。因此小波包與信 號去噪的閾值方法相結(jié)合具有更加良好的應用價值。 xx：小波分析在信號處理中的應用 2 1.21.2 本文主要意義內(nèi)容本文主要意義內(nèi)容 在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時頻的信息，這對 于某些應用來說是很恰當?shù)模驗樾盘柕念l率的信息對其是非常重要的。但其丟棄的時 域信息可能對某些應用同樣非常重要，

14、所以人們對傅立葉分析進行了推廣，提出了很多 能表征時域和頻域信息的信號分析方法，如短時傅立葉變換，gabor 變換，時頻分析，小 波變換等。其中短時傅立葉變換是在傅立葉分析基礎上引入時域信息的最初嘗試，其基 本假定在于在一定的時間窗內(nèi)信號是平穩(wěn)的，那么通過分割時間窗，在每個時間窗內(nèi)把 信號展開到頻域就可以獲得局部的頻域信息 ，但是它的時域區(qū)分度只能依賴于大小不變 的時間窗，對某些瞬態(tài)信號來說還是粒度太大。換言之，短時傅立葉分析只能在一個分 辨率上進行。所以對很多應用來說不夠精確，存在很大的缺陷。 而小波分析則克服了短時傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點， 在時域和頻域都有表征

15、信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形 態(tài)動態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分（信號較平穩(wěn)）可以采用較低的時間分辨率， 而提高頻率的分辨率，在高頻情況下（頻率變化不大）可以用較低的頻率分辨率來換取 精確的時間定位。因為這些特定，小波分析可以探測正常信號中的瞬態(tài)，并展示其頻率 成分，被稱為數(shù)學顯微鏡，廣泛應用于各個時頻分析領(lǐng)域。cc 提示請勿直接翻抄 本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包 括緊支集長度、濾波器長度、對稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。在不同的應用場 合，各個小波函數(shù)各有利弊。 小波分析在圖像處理中有非常重要的應用，包括圖像壓縮

16、，圖像去噪，圖像融合，圖像 分解，圖像增強等。文中給出了詳細的程序范例，用 matlab 實現(xiàn)了基于小波變換的圖像 處理。由于文本性質(zhì)決定故決定此次小波分析與信號處理將以圖片分析與處理作為示例。 本論文主要重點在于圖片的降噪處理。 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 3 第二章第二章 相關(guān)技術(shù)原理相關(guān)技術(shù)原理 2.12.1 小波分析的基本原理小波分析的基本原理 小波是函數(shù)空間中滿足下述條件的一個函數(shù)或者信號： 2( ) l r( )x （2.1.1） 2 ( ) . r cd 式中，表示非零實數(shù)全體，是的傅里葉變換，成為小 * 0rr ( ) ( )x( )x 波母函數(shù)。 對于實

17、數(shù)對，參數(shù)為非零實數(shù)，函數(shù) ( , )a b a （2.1.2） 1 ( , )( ) xb a b x a a 稱為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)對的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱小波。其 ( )x( , )a b 中：稱為伸縮因子；稱為平移因子。 ab 對信號的連續(xù)小波變換則定義為 ( )f x （2.1.3） , 1 ( , )( )( ),( ) fa b r xb wa bf xdxf xx a a 其逆變換（回復信號或重構(gòu)信號）為 （2.1.4） * 1 ( )( , ) f r r xb f xwa bdadb ca 信號的離散小波變換定義為 ( )f x （2.1.5） 2 (2 ,2)2(

18、 ) (2) jjjj f wkf xxk dx 其逆變換（恢復信號或重構(gòu)信號）為 （2.1.6） (2 ,2) ( )(2 ,2)( ) jj jj f k jk f tcwkx 其中，是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。 c 顯然小波函數(shù)具有多樣性。在 matlab 小波工具箱中提供了多種小波幻術(shù)，包括 harr 小波，daubecheies（dbn）小波系，symlets（symn）小波系，reversebior（rbio） 小波系，meyer（meyer）小波，dmeyer（dmey）小波，morlet(morl)小波，complex gaussian(cgau)小波系，complex morle

19、t(cmor)小波系，lemarie（lem）小波系等。實際應 xx：小波分析在信號處理中的應用 4 用中應根據(jù)支撐長度、對稱性、正則性等標準選擇合適的小波函數(shù)。 2.22.2 幾種常用小波幾種常用小波 （1）haar 小波 a.haar 于 1990 年提出一種正交函數(shù)系,定義如下： （2.2.1） 0 1 1 h 其它 12/1 2/10 x x 這是一種最簡單的正交小波，即 0)()( dxnxt, 2, 1n （2.2.2） （2）daubechies（dbn）小波系 該小波是 daubechies 從兩尺度方程系數(shù)出發(fā)設計出來的離散正交小波。一般簡 k h 寫為 dbn，n 是小波的

20、階數(shù)。小波和尺度函數(shù)吁中的支撐區(qū)為 2n-1。的消失矩為 n。除 n1 外（haar 小波） ，dbn 不具對稱性即非線性相位 ；dbn 沒有顯式表達式 （除 n1 外） 。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達式。假設， k h 1 0 1 )( n k kkn k ycyp 其中，為二項式的系數(shù)，則有 kn k c 1 ) 2 (sin) 2 (cos)( 22 2 0 pm n （2.2.3） 其中 12 0 0 2 1 )( n k ik ke hm （3）biorthogonal（biornr.nd）小波系 biorthogonal 函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應用在信號與

21、圖像的 重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構(gòu)。 biorthogonal 函數(shù)系通常表示為 biornr.nd 的形式： nr=1 nd=1，3，5 nr=2 nd=2，4，6，8 nr=3 nd=1，3，5，7，9 （2.2.4） nr=4 nd=4 nr=5 nd=5 nr=6 nd=8 其中，r 表示重構(gòu)，d 表示分解。 （4）coiflet（coifn）小波系 coiflet 函數(shù)也是由 daubechies 構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有 coifn（n=1，2，3，4，5 ）這一系列，coiflet 具有比 dbn 更好的對稱性。從支撐長度的 角度看，c

22、oifn 具有和 db3n 及 sym3n 相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifn 具 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 5 有和 db2n 及 sym2n 相同的消失矩數(shù)目。 （5）symletsa（symn）小波系 symlets 函數(shù)系是由 daubechies 提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對 db 函數(shù)的一種 改進。symlets 函數(shù)系通常表示為 symn（n=2，3，8）的形式。 （6）morlet（morl）小波 morlet 函數(shù)定義為，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。xcex x 5cos)( 2/ 2 （7）mexican hat（mexh）小

23、波 mexican hat 函數(shù)為 （2.2.5） 2/24/1 2 )1 ( 3 2 )( x exx 它是 gauss 函數(shù)的二階導數(shù)，因為它像墨西哥帽的截面，所以有時稱這個函數(shù)為墨西 哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 0)( dxx 由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 （8）meyer 函數(shù) meyer 小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進行定義的，是具有緊支撐的正交小 波。 （2.2.6） 0 )1 2 3 ( 2 cos()2( )1 2 3 ( 2 sin()2( )( 2/2/1 2/2/1 j j e e 3 8 , 3 2 3 8 3 4

24、 3 4 3 2 其中，為構(gòu)造 meyer 小波的輔助函數(shù)，且有)(a （2.2.7）1 0 )1 2 3 ( 2 cos()2( )2( )( 2/1 2/1 3 4 3 4 3 2 3 2 xx：小波分析在信號處理中的應用 6 2.32.3 傅立葉變換與小波變換傅立葉變換與小波變換 2.3.12.3.1 傅立葉變換與小波變換歷史傅立葉變換與小波變換歷史 小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分 析密切相關(guān)。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者 是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同： （1）傅立葉變換的實質(zhì)是把能量有限信號 f（t

25、）分解到以為正交基的空間上 tj e 去；小波變換的實質(zhì)是把能量有限信號分解到（j=1，2，j）和所構(gòu)成的 )(tf j w j v 空間上去。 （2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有，具有唯一性；小波分 )exp(),cos(),sin(titt 析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有不唯一性，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行 分析有時結(jié)果相差甚遠。小波函數(shù)的選用是小波分析應用到實際中的一個難點問題（也 是小波分析研究的一個熱點問題） ，目前往往是通過經(jīng)驗或不斷的試驗（對結(jié)果進行對照 分析）來選擇小波函數(shù)。 （3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較 簡單的確定性信號，

26、傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式。例如， ，但在時域中，傅立葉變換沒有局部化能力，即無法 )cos(23 . 4 )sin(345 . 0 )sin( 321 ttt 從信號的傅立葉變換中看出在任一時間點附近的性態(tài)。事實上， )(tf)( f)(tf 是關(guān)于頻率為的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由的整體性態(tài) df)( )(tf 所決定的。 （4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相當于傅立葉變換中的值越小。 （5）在短時傅立葉變換中，變換系數(shù)主要依賴于信號在片段中的 ),(s, 情況，時間寬度是（因為是由窗函數(shù)唯一確定，所以是一個定值） 。在小波 2 )(tg 2 變

27、換中，變換系數(shù)主要依賴于信號在片段中的情況，時間寬度 ),(bawf ,abab 是，該時間寬度是隨著尺度 a 變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。 a2 （6）若用信號通過濾波器來結(jié)實，小波變換與短時傅立葉變換不同之處在于：對短 時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波 ff 器的帶寬則正比于中心頻率，即 ff c 為常數(shù) c f f q 亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等 q 結(jié)構(gòu)（q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且 有） 。 帶寬 中心頻率 q 小波理論包括連續(xù)小波和二進小波變換，在映射到計算域的時候存在很多問題 ，因 為兩者都存在信息冗余，在對

28、信號采樣以后，需要計算的信息量還是相當?shù)拇螅绕涫?連續(xù)小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的尺度和位移都做計算，所以計算量相當?shù)拇?。?二進小波變換雖然在離散的尺度上進行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個分 量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 7 真正使小波在應用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是 meyer 在 1986 年提出的一組小波，其二 進制伸縮和平移構(gòu)成的標準化正交基。在此結(jié)果基礎上，1988 年 s.mallat 在構(gòu)造正 )( 2 rl 交小波時提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學解釋，在 空間的概念上形象

29、的說明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法， 并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，并類似傅立葉分析中的快速傅立葉算法， 給出了小波變換的快速算法mallat 算法。這樣，在計算上變得可行以后，小波變換在 各個領(lǐng)域才發(fā)揮它獨特的優(yōu)勢，解決了各類問題，為人們提供了更多的關(guān)于時域分析的 信息。 形象一點說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個統(tǒng)一 的形式，而所有空間的閉包則逼近。在每個空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成該空間的標 )( 2 rl 準化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成的標準化正交基，那么，如果 )( 2 rl 對信號在這類空間上進行分解，就可以得

30、到相互正交的時頻特性。而且由于空間數(shù)目是 無限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號的某些特性2。 2.3.22.3.2 傅里葉變換傅里葉變換 在信號處理中重要方法之是傅立葉變換，它架起了時間域和頻率域之間的橋梁。 對很多信號來說，傅立葉分析非常有用。因為它能給出信號令包含的各種頻率成分。 但是、傅立葉變換有著嚴重的缺點：變換之后使信號失去了時間信息，它不能告訴人們 在某段時間里發(fā)生了什么變化。而很多信號都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)（或者瞬變） 持性，如漂移、趨勢項、突然變化以及信號的升始或結(jié)束。這些特性是信號的最重要部 分。因此傅里葉變換不適于分析處理這類信號。 雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r

31、域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域 和頻域觀察，但卻不能把二者有機地結(jié)合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何 頻域信息。而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間 域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立 葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生的。這樣在信號分析中就面臨一 對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。 在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的 頻域特征都很重要。如柴油機缸蓋表面的震動信號就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變 信號，僅從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去

32、尋找一種新方法，能夠?qū)r域和 頻域結(jié)合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號的時頻譜。這就是所謂的時頻分 析法，也稱為時頻局部化方法。 由于標準傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在這種能力， dennis gabor 于 1946 年引入了短時傅立葉變換。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號 劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存 在的頻率。其表達式為 （2.3.1）dtegtfs tj r )()(),( * 其中*表示復共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)是進入分析的信號。在這個變換中， 起著頻限的作用，g(t)起著時限的作用。隨

33、著時間的變化，g(t)所確定的“時間窗” tj e 在 t 軸上移動，是 f（t） “逐漸”進行分析。因此，g（t）往往被稱之為窗口函數(shù)， xx：小波分析在信號處理中的應用 8 大致反映了 f（t）在時刻時、頻率為的“信號成分”的相對含量。這樣信號在),(s 窗函數(shù)上的展開就可以表示為在、這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一, 區(qū)域稱為窗口，和分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越 小則分辨率就越高。很顯然，希望和都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但還森 堡測不準原理指出和是互相制約的，兩者不可能同時都任意?。ㄊ聦嵣?，且 2 1 僅當為高斯函數(shù)時，等號成立） 2 2 2 4/1 1

34、 )( t etg 由此可見，短時傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅立葉不具有局部分析能 力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀 就確定了，只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f短時 傅立葉變換實質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) g(t)。因此，短時傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號猶可，但對非平穩(wěn)信號，在信號波形變化 劇烈的時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率（即要?。?，而波形變化比較平緩 的時刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率（即要?。?。而短時傅立葉變換不能 兼顧兩者。 2.3.32

35、.3.3 小波變換小波變換 連續(xù)小波變換 設，其傅里葉變換為，當滿足允許條件（完全重構(gòu)條件） 。 rlt 2 w w （2.3.2） r dw w w c 2 稱為一個基本小波或母小波(mother wavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具 w 有較好的衰減性。其中，當時，有=0，即同時有。因 0w w 0 dtt 0 此，一個允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實上，任何均值 為零(即 )且在頻率增加時以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶 0 dtt 通濾波器的沖激響應(傳遞函數(shù))，都可以作為一個基本小波。 將母函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到： t （2.3.3）

36、0;, 1 , arba a bt a t ba 其中 稱其為一個小波序列。其中 a 為伸縮因子，b 為平移因子。通常情況下，基本小波 以原點為中心，因此是基本小波以為中心進行伸縮得到?；拘〔?t t ba, t bt 被伸縮為(時變寬，而時變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度 a 上， tat 1a1a 膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的 a 則搜索細節(jié)特征。 對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： rltf 2 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 9 （2.3.4） dt a bt tfafbaw r baf 2 , , 當此小波為正交小波時，其重構(gòu)公式為： （2.3.5） da

37、db a bt baw ac tf f , 11 2 在小波變換過程中必須保持能量成比例，即： （2.3.6） dxxfcdbbaw a da rr f r 22 2 , 由于基小波生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用， t t ba, 所以還應該滿足一般函數(shù)的約束條件： t （2.3.7） dtt 故是一個連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿足重構(gòu)條件式(2.4)，在原點必須等于 w w 零，即： （2.3.8） 00 dtt 此即說明具有波動性。為了使信號重構(gòu)的實現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外， t 還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： t （2.3.9） bwa j 2 2 式中

38、，。 ba0 連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： （1）線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和 （2）平移不變性：若 f（t）的小波變換為，則的小波變換為),(bawf)(tf ),(bawf （3）伸縮共變性：若 f（t）的小波變換為，則 f（ct）的小波變換為),(bawf ，0),( 1 ccbcaw c f （4）自相似性：對應不同尺度參數(shù) a 和不同平移參數(shù) b 的連續(xù)小波變換之間是自相 似的。 （5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。 小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面： （1）由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構(gòu)分式不是唯一

39、的。也就是說，信號 f（t）的 小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應的。 （2）小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇（例如，它們可以是)( , t ba xx：小波分析在信號處理中的應用 10 非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的） 。 小波變換在不同的（a，b）之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因 此，小波變換的冗余度應盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。 離散小波變換 在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討 論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散

40、化都 t ba, bawf, 是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù) b 的，而不是針對時間 t 的。這一點與我們以前 的習慣不同。在公式(2.2)中，a ,b r；a0 是容許的。為方便起見，在離散化中，總 限制 a 只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a 和平移參數(shù) b 的離散化公式分別 取作，這里，擴展步長是固定值，為方便起見，總是假定。 jj bbaa 00, zj1 0 a1 0 a 所以對應的離散小波函數(shù)即可寫作： t kj, （2.3.10） 00 0 00 0 , 11 kbta a a bkat a t j j o j kj 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： （2.3.11

41、） 0, ,. kjkjkj fdtttfc 其重構(gòu)公式為： （2.3.12） tcctf kjkj, c 是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號的精度呢？顯然， 0 a 0 b 網(wǎng)絡點應盡可能密(即和盡可能的小)，因為如果網(wǎng)絡點越稀疏，使用的小波函數(shù) 0 a 0 b 和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。由于圖像是二維信號， t kj, kj c , 因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個二維信號，分別是 21,x xf 21,x x 其橫坐標和縱坐標，表示二維的基本小波，對應的尺度函數(shù)為 。若尺度 21,x x 21,x x 函數(shù)可分離，即：。令是與對

42、應的一維小波函數(shù)，則二 2121, xxxx 1 x 1 x 維小波可表示為以下三個可分離的正交小波基函數(shù)： （2.3.13） 2121 1 ,xxxx （2.3.14） 2121 2 ,xxxx （2.3.15） 2121 3 ,xxxx 這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進行。先沿方向分別用和 1 x 1 x 做分析，把分解成平滑和細節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用 2 x 21,x xf 2 x 和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級 2 x 1 x 1 x 2 x 平滑逼近，其它三路輸出，都是細節(jié)函數(shù)。 211 ,xxfa 21 1 1 ,xxfd 21

43、 2 1 ,xxfd 21 3 1 ,xxfd 如果把和的對應頻譜，設想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波 1 x 1 x w w h 器，則反映的是 , 兩個方向的低頻分量， 反映的是水平方 g 211 ,xxfa 1 x 2 x 21 1 1 ,xxfd 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 11 向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方 21 2 1 ,xxfd 向的低頻分量，反映的是兩個方向的高頻分量。對圖像進行小波變換就是用低 21 3 1 ,xxfd 通濾波器和高通濾波器對圖像的行列進行濾波（卷積） ，然后進行二取一的下抽樣。 h g 在實際運

44、用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必 要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散 )( , t ba ),(bawf 化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù) a 和連續(xù)平移參數(shù) b 的，而不是針對時間變量 t 的。這一點 與我們以前習慣的時間離散化不同。 實際計算中不可能對全部尺度因子值和位移參數(shù)值計算 cwta,b 值，加之實際的觀測 信號都是離散的，所以信號處理中都是用離散小波變換(dwt)。大多數(shù)情況下是將尺度因 子和位移參數(shù)按 2 的冪次進行離散。最有效的計算方法是 smallat 于 1988 年發(fā)展的快 小波算法(又稱塔式算法)。對任一信號，離散

45、小波變換第一步運算是將信號分為低頻部 分稱為近似部分)和離散部分(稱為細節(jié)部分)。近似部分代表了信號的主要特征。第二 步對低頻部分再進行相似運算。不過這時尺度因子已經(jīng)改變。依次進行到所需要的尺度。 除了連續(xù)小波(cwt)、離散小波(dwt)，還有小波包（wavelet packet）和多維小波3。 2.42.4 小波包定義性質(zhì)小波包定義性質(zhì) 2.4.12.4.1 小波包定義小波包定義 短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對信號進行有 效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差， 而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數(shù)等間隔劃

46、分（具有等 q 結(jié)構(gòu)） 。 小波包分析能夠為信號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分 辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選 擇相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時-頻分辨率，因此小波包具有更廣泛 的應用價值。 小波包分析是從小波分析延伸出來的的一種對信號進行更加細致的分析與重構(gòu)的方 法。小波包分析不但對低頻部分進行分解，而且對高頻部分作更加細致的刻畫，對信號 的分析能力更強。 在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把 j zj wrl )( 2 hilbert 空間分解為所有子空間的正交和的。其中， 為小

47、波函數(shù) )( 2 rl )(zjwj j w 的閉包（小波子空間） ?，F(xiàn)在，我們希望幾擬議部對小波子空間按照二進制分式 )(t j w 進行頻率的細分，以達到提高頻率分辨率的目的。 一種自然的做法是將尺度空間和小波子空間用一個新的子空間統(tǒng)一起來表征， j v j w n j u 若令 xx：小波分析在信號處理中的應用 12 j j jj wu vu 1 0 zj 則 hilbert 空間的正交分解即可用的分解統(tǒng)一為 jjj wvv 1 n j u （2.4.1） 100 1jjj uuu zj 定義子空間是函數(shù)是函數(shù)的閉包空間，而是函數(shù)的閉包空間， n j u)(tun)(tun)( 2 tu

48、 n 并令滿足下面的雙尺度方程： )(tun （2.4.2） zk nn zk nn ktukgtu ktukhtu )2()(2)( )2()(2)( 12 2 式中，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當 n=0 時，以上兩式直接給 )1 () 1()(khkg k 出 （2.4.3） zk k zk k ktugtu ktuhtu )2()( )2()( 01 00 與在多分辨分析中，滿足雙尺度方程： )()(tt和 （2.4.4） zk k zk k ktgt ktht )2()( )2()( 2 2 lg lh zkk zkk 相比較，和分別退化為尺度函數(shù)和小波基函數(shù)。把這種等價表示 )( 0

49、tu)( 1 tu)(t)(t 推廣到（非負整數(shù)）的情況，即得到的等價表示為 zn ； （2.4.5） 12 1 n j n j n j uuu zj zn 定義（小波包） 由式（2.23）構(gòu)造的序列（其中）稱為由基函數(shù) )(tun zn =確定的正交小波包。當 n=0 時，即為（2.24）式的情況。 )( 0 tu)(t 小波分析在信號處理中的應用 江西理工大學畢業(yè)設計 13 由于由唯一確定，所以又稱為關(guān)于序列的正交小波包4。 )(t k h znn tu )( k h 2.4.22.4.2 小波包的性質(zhì)小波包的性質(zhì) 定理 1 設非負整數(shù) n 的二進制表示為 =0 或 1 1 1 2 i i

50、 i n i 則小波包的傅立葉變換由下式給出：)(wun （2.4.6） 1 )2/()( i j n wmwu i 式中 （2.4.7） k jkw ekhwhwm)( 2 1 )()( 0 （2.4.8） k jkw ekgwgwm)( 2 1 )()( 1 定理 2 設是正交尺度函數(shù)的正交小波包，則， znn tu )()(t klnn ltuktu)(),( 即構(gòu)成的規(guī)范正交基。 znn tu )()( 2 rl 2.4.32.4.3 小波包算法小波包算法 下面給出小波包的分解算法和重構(gòu)算法。設，則可表示為 n j n j utg)( n j g （2.4.9） l j n nj l

51、n j ltudtg)2()( , 小波包分解算法：由求與 nj l d , 1 nj l d 2, 12,nj l d k k lk l k k lk nj l njnj nj dbd dad , 112, , 1 2 2 2, （2.4.10） 小波包重構(gòu)算法：由與求 nj l d 2, 12,nj l d nj l d , 1 error!error! nono bookmarkbookmark namename given.given. xx：小波分析在信號處理中的應用 14 第三章第三章小波變換在信號處理中的應用小波變換在信號處理中的應用 3.13.1 調(diào)試環(huán)境調(diào)試環(huán)境-matlab

52、-matlab 開發(fā)平臺開發(fā)平臺 matlab 是 math works 公司開發(fā)的一種跨平臺的，用于矩陣數(shù)值計算的簡單 高效的數(shù)學語言，與其它計算機高級語言如 c, c+, fortran, basic, pascal 等相比， matlab 語言編程要簡潔得多，編程語句更加接近數(shù)學描述，可讀性好，其強大 的圓形功能和可視化數(shù)據(jù)處理能力也是其他高級語言望塵莫及的。對于具有任何一 門高級語言基礎的讀者來說，學習 matlab 十分容易。但是，要用好 matlab 卻不是在短時間就可以達到的。這并不是因為 matlab 語言復雜難懂，而是實際問 題的求解往往更多的是需要使用者具備數(shù)學知識和專業(yè)知識。matlab 使得人們 擺脫了常規(guī)計算機編程的繁瑣，讓人們能夠?qū)⒋蟛糠志ν度氲窖芯繂栴}的數(shù)學建 模上?？梢哉f，應用 matlab 這個數(shù)學計算和系統(tǒng)方針的強大工具，可以使科學 研究的效率得以成百倍的提高。 目前，matlab 已經(jīng)廣泛用于理工科大學從高等數(shù)學到幾乎