高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第六節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列教師用書

1、第六節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2016，天津卷，16,13分(古典概型、分布列、數(shù)學(xué)期望)2015，重慶卷，18,13分(古典概型、分布列、數(shù)學(xué)期望)2015，山東卷，18,12分(古典概型、分布列、數(shù)學(xué)期望)2013，全國卷，19,12分(相互獨(dú)立事件概率、分布列)1.以考查離散型隨機(jī)變量的分布列及分布列性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與期望、方差一起考查，另外超幾何分布也是考查的熱點(diǎn)；2.題型主要是解答題，解題時(shí)要求有較強(qiáng)

2、的分析問題、解決問題的能力，要求會依據(jù)題設(shè)確定離散型隨機(jī)變量的值及其相應(yīng)概率。微知識小題練自|主|排|查1隨機(jī)變量的有關(guān)概念如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量；若變量的所有值可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。2離散型隨機(jī)變量的分布列(1)概念若離散型隨機(jī)變量x可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，x取每一個(gè)值xi(i1,2,3，n)的概率p(xxi)pi，則稱表xx1x2xixnpp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量x的概率分布列，簡稱為x的分布列，有時(shí)也用等式p(xxi)pi，i1,2，n表示x的分布列。(2)性質(zhì)pi0，i1,2,3，n；i1。3

3、常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布x01p1pp若隨機(jī)變量x的分布列具有上表的形式，就稱x服從兩點(diǎn)分布，并稱pp(x1)為成功概率。(2)超幾何分布在含有m件次品的n件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有x件次品，則p(xk)，k0,1,2，m，其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*。x01mp如果隨機(jī)變量x的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量x服從超幾何分布。微點(diǎn)提醒1某一變量為離散型隨機(jī)變量滿足的條件：(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化；(2)所有取值可以一一列出。2離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量x的取值范圍以及取各個(gè)值的概率。在求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)，可以用它的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)分布

4、列的正誤：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(選修23p68a組t2改編)設(shè)隨機(jī)變量x的概率分布列為x1234pm則p(|x3|1)()a. b.c. d.【解析】根據(jù)概率分布的定義得出：m1，得m，隨機(jī)變量x的概率分布列為x1234p所以p(|x3|1)p(x4)p(x2)。故選b?！敬鸢浮縝2(選修23p47例2改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，則取到次品數(shù)x的分布列為_。【解析】由題意，x服從超幾何分布，其中n10，m3，n4，所以分布列為p(xk)，k0,1,2,3。即x0123p【答案】x0123p二、雙基查驗(yàn)110件產(chǎn)品中有3件

5、次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()a取到產(chǎn)品的件數(shù)b取到正品的概率c取到次品的件數(shù) d取到次品的概率【解析】對于a中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，b，d也是一個(gè)定值，而c中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量。故選c?！敬鸢浮縞2設(shè)隨機(jī)變量y的分布列為y123pm則“y”的概率為()a. b.c. d.【解析】因?yàn)閙1，所以m，所以pp(2)p(3)?！敬鸢浮縞3從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，兩數(shù)之和為x，則p(x5)_?！窘馕觥繌?,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，共有6種選法，基本事件空間(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，x3

6、,4,5,6,7，所以p(x5)?！敬鸢浮?從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有x個(gè)紅球，則隨機(jī)變量x的概率分布為x012p【解析】p(x0)0.1，p(x1)0.6，p(x2)0.3?！敬鸢浮?.10.60.3微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 隨機(jī)變量的概念【典例1】寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所表示的意義。(1)一個(gè)袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)x；(2)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為x，所得點(diǎn)數(shù)的最大值為y?！窘馕觥?1)x可取0,1,2。x0表示所取的三個(gè)球沒有白球；x1表示所取的三個(gè)球是1個(gè)白球，2個(gè)黑球；x2表示所取的三個(gè)球是2個(gè)白球，

7、1個(gè)黑球。(2)x的可能取值有2,3，12，y的可能取值為1,2,3，6。若以(i，j)表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則x2表示(1,1)；x3表示(1,2)，(2,1)；x4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；x12表示(6,6)。y1表示(1,1)；y2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；y3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；y6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，(6,6)，(6,5)，(6,1)。反思?xì)w納所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件。寫隨機(jī)變量表示的

8、結(jié)果，要看三個(gè)特征：可用數(shù)來表示；試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；在試驗(yàn)之前不能確定值?！咀兪接?xùn)練】某校為學(xué)生定做校服，規(guī)定凡身高不超過160 cm的學(xué)生交校服費(fèi)80元。凡身高超過160 cm的學(xué)生，身高每超過1 cm多交3元錢(不足1 cm時(shí)按1 cm計(jì))。若學(xué)生應(yīng)交的校服費(fèi)為，學(xué)生身高用表示，則和是否為離散型隨機(jī)變量？【解析】由于該校的每一個(gè)學(xué)生對應(yīng)著唯一的身高，并且取整數(shù)值(不足1 cm按1 cm計(jì))，因此是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。而所以也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。【答案】是離散型隨機(jī)變量考點(diǎn)二 隨機(jī)變量的性質(zhì)【典例2】(1)設(shè)x是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：x101p12qq2則q等于

9、()a1b1c1 d1(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為x01234p0.20.10.10.3m求|x1|的分布列?！窘馕觥?1)由分布列的性質(zhì)知所以q1。(2)由分布列的性質(zhì)，知0.20.10.10.3m1，m0.3。列表x01234|x1|10123p(1)p(x0)p(x2)0.20.10.3，p(0)p(x1)0.1，p(2)p(x3)0.3，p(3)p(x4)0.3。因此|x1|的分布列為：0123p0.10.30.30.3【答案】(1)c(2)見解析反思?xì)w納利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)?！咀兪接?xùn)練】隨機(jī)變量x的分布列如下：x10

10、1pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則p(|x|1)_。【解析】由題意知?jiǎng)t2b1b，則b，ac，所以p(|x|1)p(x1)p(x1)ac。【答案】考點(diǎn)三 求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例3】(2016天津高考)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)。已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4?，F(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會。(1)設(shè)a為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件a發(fā)生的概率；(2)設(shè)x為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥?1)由已知，有p(a)。所以，事件a發(fā)生的概率為。(2)隨機(jī)變量x的所有可能

11、取值為0,1,2。p(x0)，p(x1)，p(x2)。所以，隨機(jī)變量x的分布列為x012p隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)0121。【答案】(1)(2)見解析反思?xì)w納求離散型隨機(jī)變量x的分布列的步驟：理解x的意義，寫出x可能取的全部值；求x取每個(gè)值的概率；寫出x的分布列。求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識?！咀兪接?xùn)練】(2016廣西質(zhì)檢)某技術(shù)公司新開發(fā)了a，b兩種新產(chǎn)品，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測試指標(biāo)70,76)76,82)8

12、2,88)88,94)94,100產(chǎn)品a81240328產(chǎn)品b71840296(1)試分別估計(jì)產(chǎn)品a、產(chǎn)品b為正品的概率；(2)生產(chǎn)一件產(chǎn)品a，若是正品可盈利80元，次品則虧損10元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品b，若是正品可盈利100元，次品則虧損20元，在(1)的前提下，記x為生產(chǎn)一件產(chǎn)品a和一件產(chǎn)品b所得的總利潤，求隨機(jī)變量x的分布列?！窘馕觥?1)產(chǎn)品a為正品的概率約為。產(chǎn)品b為正品的概率約為。(2)隨機(jī)變量x的所有取值為180,90,60，30。p(x180)；p(x90)；p(x60)；p(x30)。所以隨機(jī)變量x的分布列為：x180906030p【答案】(1)產(chǎn)品a、b為正品概率分別為，(2)見

13、解析考點(diǎn)四 超幾何分布母題發(fā)散【典例4】(2015重慶高考改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗。設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同。從中任意選取3個(gè)。(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)x表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求x的分布列。【解析】(1)令a表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有p(a)。(2)x的所有可能值為0,1,2，且p(x0)，p(x1)，p(x2)。綜上知，x的分布列為x012p【答案】(1)(2)見解析【母題變式】若本典例中的x表示取到的粽子的種類，求x的分布列?！窘馕觥坑深}意知x的所有可能值為1,2,3，

14、且p(x1)，p(x3)，p(x2)1p(x1)p(x3)1。綜上可知，x的分布列為x123p反思?xì)w納超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)。超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)x的概率分布。超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型。【拓展變式】(2017衡水模擬)pm2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物。根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)，pm2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二

15、級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)。從某自然保護(hù)區(qū)某年全年每天的pm2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：pm2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的pm2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率。(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到pm2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列?！窘馕觥?1)記“10天的pm2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件a，則p(a)。(2)依據(jù)條件，服從超幾何分布，其中n

16、10，m3，n3，且隨機(jī)變量可能取值為0,1,2,3。p(k)(k0,1,2,3)，所以p(0)，p(1)，p(2)，p(3)。因此的分布列為0123p【答案】(1)(2)見解析微考場新提升1(2017鄭州模擬)已知隨機(jī)變量x的分布列為p(xi)(i1,2,3,4)，則p(2x4)等于()a. b.c. d.解析由分布列的性質(zhì)得1，則a5。所以，p(2x4)p(x3)p(x4)。答案b2某射手射擊所得環(huán)數(shù)x的分布列為x45678910p0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()a0.28 b0.88c0.79 d0.51解析p(x7)

17、p(x8)p(x9)p(x10)0.280.290.220.79。答案c3(2016邢臺模擬)袋中裝有編號為1的球5個(gè)，編號為2的球3個(gè)，這些球的大小完全一樣。(1)從中任意取出四個(gè)，求剩下的四個(gè)球都是1號球的概率。(2)從中任意取出三個(gè)，記為這三個(gè)球的編號之和，求隨機(jī)變量的分布列。解析(1)記“任意取出四個(gè)，剩下的四個(gè)球都是1號球”為事件a，則p(a)。(2)的可能取值為3,4,5,6，則p(3)，p(4)。p(5)，p(6)。概率分布列如下：3456p答案(2)見解析4某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球。顧客不放回地