探究高考題中有關(guān)橢圓焦點弦問題

1、有關(guān)橢圓焦點弦的高考題的探究八十中數(shù)學組2007年重慶市高考第22題是關(guān)于橢圓的焦點弦一類問題，給我留下了深刻的印象和許多思考，本文將對該問題加以分析和探究。問題：中心在原點的橢圓的右焦點為，右準線的方程為：。（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上任取三點，使，證明：為定值，并求此定值。解：（i）易得所求橢圓方程為；（2）記橢圓的右頂點為，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，。又設(shè)點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有。變形得： 。，而，故為定值探究一： 對于一般的橢圓方程，是否也有類似的定值呢？由上述證明，不難得到：（1）焦點為f的橢圓上三點，且，則有=。證明：這里也可以采用極坐標的方法來

2、證明。（由橢圓的對稱性知：不妨設(shè)點f為左焦點）由圓錐曲線的極坐標方程，得。不失一般性，設(shè)，且，則有：，即：=。（2）焦點為f的雙曲線同支上三點，且，則有倒數(shù)的代數(shù)和為定值。（允許極徑為負值，證明同（1）（3）焦點為f的拋物線上三點，且，則有=。（證明同（1）探究二：前面的問題均限于三點，能否推廣到個點呢？由上面的證明，我們不難得到： （1）焦點為f的橢圓上依次有個不同的點，且滿足，則有=。證明：由圓錐曲線極坐標方程，得。不失一般性，設(shè)，且，則有：由復數(shù)次單位根的知識，易得：。特別的，當及時，就是我們常見的橢圓中過焦點作直線的焦點弦問題。（2）焦點為f的雙曲線同支上有個不同點，且滿足，則有倒數(shù)的

3、代數(shù)和為定值。（允許極徑為負值，證明同（1）（3）焦點為f的拋物線上順次有個不同點，且滿足，則有=。特別的，當及時，就是我們常見的拋物線中過焦點作直線的焦點弦問題。探究三：如果研究對象不是焦點弦，而是中心距，是否也有類似的結(jié)論呢？ 中心為o的橢圓上依次有個不同點，且滿足 ，則有=。證明：設(shè)，不失一般性，設(shè)，且，代入方程，得，所以。從而有：=。探究四：如果我們將橢圓的長軸分成等份，結(jié)果會怎樣呢？ 于是有：將橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于共個點，是橢圓的一個焦點，則。證明：設(shè)，由橢圓的對稱性可知：，所以。特別地，當時，即是2006年四川省高考題：將橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則 35 。探究五：若變換成條件,是否有類似結(jié)論呢？我們繼續(xù)如下探究：（1）焦點為f的橢圓上依次有個不同點，若滿足，則有=。證明：設(shè)，由得，得：，從而：。同理，雙曲線也有與（1）幾乎完全一樣的結(jié)論！（2）焦點為f的拋物線上依次有個不同點，若滿足，則有=。證明：設(shè)，