常州市高三上學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題及答案

1、 常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè) 高三數(shù)學(xué)試題 2014年1月 參考公式： 樣本數(shù)據(jù)， ，的方差，其中=一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 設(shè)集合，則= 2 若（，i為虛數(shù)單位），則的值為 3 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則a的值為 4 某學(xué)校選修羽毛球課程的學(xué)生中，高一，高二年級(jí)分別有80名，50名現(xiàn)用分層抽樣的方法在這130名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)學(xué)生中抽取了24 名，則在高二年級(jí)學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為 5 某市連續(xù)5天測(cè)得空氣中pm2.5（直徑小于或等于2.5微米的顆粒物）的數(shù)據(jù)（單位：）分別為115，125，132，128，

2、125，則該組數(shù)據(jù)的方差為 6 函數(shù)的最小正周期為 7 已知5瓶飲料中有且僅有2瓶是果汁類飲料從這5瓶飲料中隨機(jī)取2瓶，則所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為 8 已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為 9 若曲線：與曲線：在處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 10 給出下列命題：（1）若兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平面平行，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平面；（3）若兩個(gè)平面垂直，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面；（4）若兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面則其中所有真命題的序號(hào)為 11 已知，等比

3、數(shù)列中，若數(shù)列的前2014項(xiàng)的和為0，則的值為 12 已知函數(shù)f(x)若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 13 在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則 14 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓o：，點(diǎn)，m，n為圓o上不同的兩點(diǎn)，且滿足若，則的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分14分）在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c設(shè)向量， （1）若，求角a； （2）若，求的值（第16題）16（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，abbc，e，f分別是，的中點(diǎn)（1）求證：ef平面abc；（2）求證：平面

4、平面；（3）若，求三棱錐的體積17（本小題滿分14分） 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，已知， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為互不相等的正整數(shù)，且等差數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和（第18題）18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓e:的右準(zhǔn)線為直線l，動(dòng)直線交橢圓于a，b兩點(diǎn)，線段ab的中點(diǎn)為m，射線om分別交橢圓及直線l于p，q兩點(diǎn)，如圖若a，b兩點(diǎn)分別是橢圓e的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且 （1）求橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）如果op是om，oq的等比中項(xiàng)，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由19（本小題滿分16分）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作

5、開設(shè)打印店，生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出元假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量（件）與銷售價(jià)格（元/件）（）之間滿足如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)該店月利潤(rùn)為（元），月利潤(rùn)=月銷售總額月總成本（1）求關(guān)于銷售價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該打印店月利潤(rùn)的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格20（本小題滿分16分） 已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足：且，求證：常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè) 數(shù)學(xué)（附加題） 2014年1月21【選做題】在a

6、、b、c、d 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（第21-a題）a選修41：幾何證明選講 如圖，等腰梯形abcd內(nèi)接于，abcd過(guò)點(diǎn)a作的切線交cd的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e 求證：dae=bac. b選修42：矩陣與變換 已知直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線，若直線過(guò)點(diǎn)（1,1），求實(shí)數(shù)a的值 c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，求點(diǎn)p到直線l的距離d選修45：不等式選講已知，求證：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22

7、 (本小題滿分10分)（第22題）如圖，三棱錐pabc中，已知平面pab平面abc，acbc，ac=bc=2a，點(diǎn)o，d分別是ab，pb的中點(diǎn)，poab，連結(jié)cd（1）若，求異面直線pa與cd所成角的余弦值的大??；（2）若二面角apbc的余弦值的大小為，求 pa23（本小題滿分10分） 設(shè)集合a，b是非空集合m的兩個(gè)不同子集，滿足：a不是b的子集，且b也不是a 的子集 （1）若m=，直接寫出所有不同的有序集合對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)； （2）若m=，求所有不同的有序集合對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1

8、2 3 4 15 531.6（寫成也對(duì)） 6 7 8 9 10（1）（2） 11 12 134 14二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15解：（1），由正弦定理，得化簡(jiǎn)，得 2分，或，從而（舍）或 4分在rtabc中， 6分（2），由正弦定理，得，從而 ， 從而 8分 ， 10分 ，從而，b為銳角， 12分 = 14分16證明：（1）連結(jié)直三棱柱中，是矩形， 點(diǎn)f在上，且為的中點(diǎn) 在中，e，f分別是，的中點(diǎn)， efbc 2分 又bc 平面abc， ef平面abc，所以ef平面abc 4分（2）直三棱柱中，平面abc，bcefbc，abbc，abef，

9、 ef 6分，ef平面 8分 ef 平面aef，平面aef平面 10分（3） 12分 = 14分17解：（1）由已知，得 解得 4分 6分（2），為正整數(shù)， 由（1）得， 8分進(jìn)一步由已知，得， 10分是等差數(shù)列，的公差 12分由，得 14分18 解：當(dāng)a，b兩點(diǎn)分別是橢圓e的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，則，由o，m，q三點(diǎn)共線，得，化簡(jiǎn)，得2分，化簡(jiǎn)，得由 解得 4分（1）橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6分（2）把，代入，得 8分當(dāng)，時(shí)，從而點(diǎn) 10分所以直線om的方程由 得 12分op是om，oq的等比中項(xiàng)，從而 14分由，得，從而，滿足 15分為常數(shù) 16分19解：（1）當(dāng)時(shí)，代入，解得 2分 即 4分（注

10、：寫到上一步，不扣分）（2）設(shè)，則令，解得（舍去），7分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 10分 ，的最大值為12分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故此時(shí)的最大值為 14分綜上所述，當(dāng)時(shí)，月利潤(rùn)有最大值元 15分答：該打印店店月利潤(rùn)最大為元，此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元/件 16分20解：函數(shù)的定義域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，令得 1分列表：x+0 極大值 所以的極大值為 3分 (2) 令，得，記 （）當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)減區(qū)間為； 5分 （）當(dāng)時(shí)，由得， 若，則，由，得，；由，得 所以，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為； 7分若，由（1）知單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為； 若，則， 由，得；由，得 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為 9分綜上所

11、述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為 10分 （3）（） 由得， (舍)，或 ， 12分由得， 因?yàn)?，所以?）式可化為，即 14分令，則，整理，得，從而，即 記，令得（舍），列表：+ 所以，在單調(diào)減，在單調(diào)增，又因?yàn)?，所以，從?16分常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)（附加題） 參考答案21、【選做題】在a、b、c、d 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分a選修41：幾何證明選講證明：abcd是等腰梯形，abcd， ad=bc 從而acd=bac. 4分ae為圓的切線，ead=acd. 8分dae=bac. 10分

12、b選修42：矩陣與變換解：設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)橹本€上點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)，得 4分代入，整理，得 8分將點(diǎn)（1,1）代入上述方程，解得a=-1 10分c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為， 4分直線l的普通方程為， 8分從而點(diǎn)p到直線l的距離為 10分d選修45：不等式選講證明：左邊-右邊=4分=， 6分， 8分從而左邊-右邊0， 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分22解：連結(jié)oc平面pab平面abc，poab，po平面abc從而poab，poocac=bc，點(diǎn)o是ab的中點(diǎn)，ocab且 2分如圖，建立空間直角坐標(biāo)系（1）， ， 4分從而， ，異面直線pa與cd所成角的余弦值的大小為 6分（2）設(shè)，則 poo