江蘇省南通市高三下學(xué)期第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷及答案

1、南通市2016屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1、已知集合a，則【答案】【命題立意】本題旨在考查集合的概念和交集的運算考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】，根據(jù)交集定義可得2、若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，），滿足，則的值為【答案】【命題立意】本題旨在考查復(fù)數(shù)及模的概念與復(fù)數(shù)的運算，考查運算求解的能力.，難度較小【解析】由題意得 ，即，解得3、從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率是【答案】【命題立意】本題旨在考查古典概型的求法，枚舉法在求古典概型中的應(yīng)用考查運算和推理能力，難度較小【解析】隨機(jī)地抽取2個數(shù)

2、總可能數(shù)為6種，兩個數(shù)之積為偶數(shù)的為：1，2；1，4；2，3；2，4；3，4，共有5種，那么所取的2個數(shù)之為偶數(shù)的概率為4、根據(jù)下圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果s為【答案】21【命題立意】本題旨在考查算法偽代碼，考查學(xué)生的閱讀能力考查推理運算能力，難度較小?！窘馕觥磕M執(zhí)行程序，開始有i=1，s=0，此時滿足條件s10；接下來有i=2，s=1，此時滿足條件s10；接下來有i=3，s=1+4=5，此時滿足條件s10；接下來有i=4，s=5+16=21，此時不滿足條件s10，退出循環(huán)，輸出s=21【易錯警示】此題容易出錯的地方就是循環(huán)的結(jié)束的確定5.為了了解居民家庭網(wǎng)上購物消費情況，某地區(qū)調(diào)查了1

3、0000戶家庭的月消費金額（單位：元），所有數(shù)據(jù)均在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如下圖所示，則被調(diào)查的10000戶家庭中，有 戶月消費額在1000元以下【答案】2000【命題立意】本題旨在考查統(tǒng)計的概念，直方圖考查概念的理解和運算能力，難度較小.【解析】由題意得，被調(diào)查的10000戶家庭中，消費額在1000元以下的戶數(shù)有：（0.0001+0.0003）50010000=2000戶6.設(shè)等比數(shù)列的前項的和為，若，則的值為 【答案】63【命題立意】本題旨在考查等比數(shù)列的基本運算，等比數(shù)列的求和，考查學(xué)生的運算能力，難度中等.【解析】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，解得法一：設(shè)等比數(shù)

4、列an的首項為a1，公比為q顯然q1，由題意得解之得：所以，s663法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)得 q24，(下同一)法三：由s2，s4s2，s6s4成等比數(shù)列所以 (s4s2)2s2(s6s4)，得s6637.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線過點,其一條漸近線方程為，則該雙曲線的方程為 【答案】【命題立意】本題旨在考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線幾何性質(zhì)，漸近線等概念考查概念和運算和推理能力，難度中等.【解析】法一： 由題意可得 ，解得故雙曲線的方程為法二：設(shè)所求的雙曲線方程為：2x2y2，因為點p(1，1)，所以211所以，所求的雙曲線方程為：2x2y218.已知正方體的棱長為1，點是棱的中點，則三棱

5、錐的體積為 【答案】【命題立意】本題旨在考查多面體的概念，三棱錐的體積求法考查計算能力，難度較小【解析】根據(jù)等體積法可得法一：vbadevdabeadsabe11法二：因為adb1e，所以vbadeadb1edsin111 (其中d為異面直線ad與b1e的距離，為異面直線ad與b1e所成的角) 法三：設(shè)f、g、h分別為棱cc1、dd1、aa1的中點，則vbadevbadefvbcghadefvabcdabcd9.若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為 【答案】【命題立意】考查函數(shù)，分段函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的求值等基礎(chǔ)知識考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查分析問題、解決問題的能力，難度中等.【解析】法一：

6、因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)，f(2)f(2)，即，解得a1，b2經(jīng)驗證a1，b2滿足題設(shè)條件f(a+b)f(1)1法二：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點對稱當(dāng)x0，二次函數(shù)的圖象頂點為(， )當(dāng)x0，二次函數(shù)的圖象頂點為(1，a)所以，1，a，解得a1，b2(下略)10.已知，則的值是 【答案】【命題立意】本題旨在考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，兩角和與差三角函數(shù)，三角函數(shù)的恒等變換，考查運算能力，難度中等.【解析】 法一：sin(x)sin(x)sin(x)sin2(x)cos2(x)1sin2(x)1，所以sin(x)+sin2(x)法二：sin(

7、x)+sin2(x)sin(x)+cos(2x)+cos(2x+)+12sin2(x)11.在平面直角坐標(biāo)系中，點.若直線上存在點，使得,則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【命題立意】本題旨在考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線距離考查學(xué)生的運算能力，靈活運用有關(guān)知識解決問題的能力難度中等.【解析】法一：設(shè)滿足條件pa2pb的p點坐標(biāo)為(x，y)，則(x4)2+y24(x1)2+4y2，化簡得x2+y24要使直線xy+m0有交點，則2即2m2法二：設(shè)直線xy+m0有一點(x，x +m)滿足pa2pb，則(x4)2+(x+m)24(x1)2+4(x+m)2整理得2x2+2mx+m240 (*)方程(*)有

8、解，則4m28(m24)0，解之得：2m212.已知邊長為6的正三角形,與交點,則的值為 【答案】3【命題立意】本題旨在考查向量的線性運算，向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運算考查運算能力，推理論證能力及靈活運用數(shù)學(xué)知識能力難度中等.【解析】法一：設(shè)，則8設(shè)+，+， 又b、p、e三點共線，所以 解之得：，+，()(+)(3222）3法二：以bc為x軸，ad為y軸，建立坐標(biāo)系，b(2，0)，c(2，0)，a(0，2)，e(，)，p(0，)所以，(2，)(0，)313.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與曲線和均相切，切點分別為和,則的值是 【答案】【命題立意】本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的概念，函數(shù)的切線方程考查運算能力，推

9、理論證能力及靈活運用數(shù)學(xué)知識能力，難度中等.【解析】由題設(shè)函數(shù)yx2在a(x1，y1)處的切線方程為：y2x1 xx12，函數(shù)yx3在b(x2，y2)處的切線方程為y3 x22 x2x23所以，解之得：x1，x2所以 14.已知函數(shù).若對于任意，都有成立，則的最大值是 【答案】【命題立意】本題旨在考查二次函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)、基本不等式、絕對值的概念. 考查恒等變換，代換技巧，抽象概括能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題能力，難度中等.【解析】法一：由|f(x)|1，得|2a+3b|1，所以，6ab|2a3b|2a+3b3b|3b|且當(dāng)2a3b時，取得等號所以ab的最大值為法二：由題設(shè)得，ab(f(1)f

10、(0)f(0)()2二、 解答題：本大題共6小題，共計90分請作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，。（1）求角的大?。唬?）若，求abc的面積?！敬鸢浮浚?）；（2）【命題立意】本題旨在考查三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、向量的數(shù)量積等基本知識，考查運算求解能力難度較小【解析】（1）在abc中，由(a+bc)(a+b+c)ab，得，即cosc3分 因為0c，所以c6分 （2）（法一）因為c2acosb，由正弦定理，得 sinc2sinacosb， 8分 因為a+b+c，所以sincsin(a+b)， 所以sin(

11、a+b)2sinacosb，即sinacos bcosasinb0，即sin(ab)0， 10分 又ab， 所以ab0，即ab，所以ab212分 所以abc的面積為sabcabsinc22sin 14分（法二）由及余弦定理，得，8分化簡得，12分 所以，abc的面積為sabcabsinc22sin14分16. （本小題滿分14分）如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，點是的中點.求證：（1）;（2）平面.【答案】（1）略；（2）略【命題立意】本題旨在考查直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力難度較小【解析】（1）在直四棱柱abcda1b1c1d1中，

12、連結(jié)bd交ac于點f，連結(jié)b1d1交a1c1于點e 因為四邊形abcd是菱形，所以bdac 因為abcda1b1c1d1為直棱柱， 所以bb1平面abcd，又ac平面abcd， 所以，bb1ac3分 又bdbb1b，bd平面b1bdd1，bb1平面b1bdd1， 所以ac平面b1bdd1 5分 而be平面b1bdd1，所以beac 7分 （通過證明等腰三角形a1bc1，得bea1c1，再由aca1c1得beac，可得7分） （2）連結(jié)d1f，因為四棱柱abcda1b1c1d1為直棱柱， 所以四邊形b1bdd1為矩形 又e，f分別是b1d1，bd的中點， 所以bfd1e，且bfd1e9分 所以四

13、邊形bed1f是平行四邊形 所以bed1f11分 又d1f平面acd1，be平面acd1， 所以 be平面acd1 14分17. （本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點，離心率為. （1）求橢圓的方程; （2）若直線與橢圓相交于兩點(異于點),線段被軸平分，且,求直線的方程。【答案】（1）；（2）【命題立意】本題旨在考查直線、圓、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的抽象概括能力、運算求解能力，建系能力，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識難度中等【解析】（1）由條件知橢圓離心率為 ， 所以 又點a(2，1)在橢圓上， 所以，2分 解得 所以，所求橢圓的方程為 4分 （2）將代入橢圓方程，得，

14、整理，得 由線段bc被y軸平分，得， 因為，所以 8分 因為當(dāng)時，關(guān)于原點對稱，設(shè)， 由方程，得， 又因為，a(2，1)， 所以， 所以12分 由于時，直線過點a(2，1)，故不符合題設(shè) 所以，此時直線l的方程為 14分18. （本小題滿分16分）如圖，陰影部分為古建筑物保護(hù)群所在地，其形狀是以為圓心，半徑為的半圓面。公路經(jīng)過點,且與直徑垂直?，F(xiàn)計劃修建一條與半圓相切的公路(點在直徑的延長線，點在公路上),為切點.（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：設(shè)，將的面積表示為的函數(shù)；設(shè)，將的面積表示為的函數(shù)；（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系，求的面積的最小值?！敬鸢浮浚?）；（2）【命題立意】本題旨在考

15、查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與橢圓的交點，直線斜率等基礎(chǔ)知識考查運算能力難度中等（1）由題設(shè)知，在rto1pt中， opt=，o1t=1， 所以o1p 又oo1=1，所以op 在rtopq中， 3分 所以，rtopq的面積為 5分（取值范圍不寫或不正確扣1分） 由題設(shè)知，oq= qt = t，o1t=1，且rtpoqrtpt o1， 所以，即， 化簡，得8分 所以，rtopq的面積為 10分（取值范圍不寫或不正確扣1分） （2）選用（1）中的函數(shù)關(guān)系 13分 由，得 列表0+極小值 所以，當(dāng)時，opq的面積s的最小值為（km2）16分 （2）選用（1）中的函數(shù)關(guān)系 13分 由，得 列表t0

16、+極小值 所以，當(dāng)時，opq的面積s的最小值為（km2） 16分19. （本小題滿分16分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）試求函數(shù)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論。【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，的零點個數(shù)為0；當(dāng)時，或時，的零點個數(shù)為1；當(dāng)時，的零點個數(shù)為2【命題立意】本題旨在考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力難度較大（1）由函數(shù)f(x)a+lnx(ar)，得f (x) 2分 令f (x)0，得 xe-2列表如下：x(0，e-2)e-2(e-2，+)f (x)0f(x)極小值 因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(

17、e-2，+)，單調(diào)減區(qū)間為(0，e-2)5分 （2）由（1）可知，fmin(x)f(e-2)a2e-1 6分 （i）當(dāng)a2e-1時，由f(x)f(e-2)a2e-10，得函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為0 8分 （ii）當(dāng)a2e-1時，因f(x)在(e-2，+)上是單調(diào)增，在(0，e-2)上單調(diào)減， 故x(0，e-2)(e-2，+)時，f(x)f(e-2)0 此時，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為1 10分 （iii）當(dāng)a2e-1時，fmin(x)f(e-2)a2e-10 a0時， 因為當(dāng)x(0，e-2時，f(x)alnxa0， 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e-2上無零點； 另一方面，因為f(x)在e-2，

18、+)單調(diào)遞增，且f(e-2)a2e-10， 又e-2a(e-2，+)，且f(e-2a)a(12e-a)0， 此時，函數(shù)f(x)在(e-2，+)上有且只有一個零點 所以，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)零點個數(shù)為113分 0a2e-1時， 因為f(x)在e-2，+)上單調(diào)遞增，且f(1)a0，f(e-2)a2e-10， 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(e-2，+)有且只有1個零點； 另一方面，因為f(x)在(0，e-2上是單調(diào)遞減，且f(e-2)a2e-10 又(0，e-2)，且f()aa0，（當(dāng)時，成立） 此時，函數(shù)f(x)在(0，e-2)上有且只有1個零點 所以，當(dāng)0a2e-1時，函數(shù)f(x)零點個數(shù)為2

19、綜上所述，當(dāng)a2e-1時，f(x)的零點個數(shù)為0；當(dāng)a2e-1，或a0時，f(x)的零點個數(shù)為1； 當(dāng)0a2e-1時，f(x)的零點個數(shù)為2 16分20. （本小題滿分16分）若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為 “等比源數(shù)列”。（1）已知數(shù)列中，。求數(shù)列的通項公式；試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論。（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且.求證：為“等比源數(shù)列”【答案】（1）；略；（2）略【命題立意】本題旨在考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的的通項公式與求和公式、不等式的求解等基本性質(zhì)考查學(xué)生創(chuàng)新意識難度較大【解析】（1）由an+12an1，得an+112(an1)，且a

20、111， 所以數(shù)列an1是首項為1，公比為2的等比數(shù)列2分 所以an1=2n-1 所以，數(shù)列an的通項公式為a n2n-1+14分 數(shù)列an不是“等比源數(shù)列”用反證法證明如下： 假設(shè)數(shù)列an是“等比源數(shù)列”，則存在三項am，an，ak (mnk)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列 因為an2n-1+1，所以amanak 7分 所以an2amak，得 (2n-1+1)2(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1 又mnk，m，n，kn*， 所以2nm11，nm+11，k11，km1 所以22n-m-1+2n-m+12k-12k-m為偶數(shù)，與22n-m-1+2n-m

21、+12k-12k-m1矛盾 所以，數(shù)列an中不存在任何三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列 綜上可得，數(shù)列an不是“等比源數(shù)列” 10分 （2）不妨設(shè)等差數(shù)列an的公差d0 當(dāng)d0時，等差數(shù)列an為非零常數(shù)數(shù)列，數(shù)列an為“等比源數(shù)列” 當(dāng)d0時，因為anz，則d1，且dz，所以數(shù)列an中必有一項am0 為了使得an為“等比源數(shù)列”， 只需要an中存在第n項，第k項(mnk)，使得an2amak成立， 即am+(nm)d2amam+(km)d，即(nm)2am+(nm)dam(km)成立13分 當(dāng)nam+m，k2am+amd+m時，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比數(shù)列 所以，數(shù)列an為

22、“等比源數(shù)列”16分江蘇省南通市2016屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（附加題）21. 【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟a. 選修41：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，圓的直徑,為圓上一點,.過作圓的切線，于點，且交圓于點,求的長.【答案】【命題立意】本題旨在考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力難度較小【解析】因為圓的直徑為，為圓上一點， 所以 因為直線為圓的切線， 所以 所以rtrt， 所以5分 又因為， 所以， 由，得 10分b. 選修42：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣,

23、求逆矩陣的特征值【答案】【命題立意】本題旨在考查矩陣乘法，矩陣相等，矩陣的逆等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運算能力難度較小設(shè)，則， 所以， 所以解得所以 5分 的特征多項式，所以或 所以，矩陣的逆矩陣的特征值為或10分c. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知點,圓的方程為（圓心為點）,求直線的極坐標(biāo)方程。【答案】【命題立意】本題旨在考查拋物線的參數(shù)方程、參數(shù)方程化普通方程、直線與曲線的交點、直線被曲線所截的弦長考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力難度較小【解法一】以極點為原點，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy 圓的平面直角坐標(biāo)方程為，即，圓心 的直角坐標(biāo)為4分 直線的斜率 所以，直線的直角坐標(biāo)方程為，8分 極坐標(biāo)