解完題目回頭看

1、解完題目回頭看不論是平時的練習(xí)，還是參加考試、競賽，我們解題的目的都是檢驗自己運用知識的能力，開發(fā)智力，增長才干。因此，解完題目如能做到及時總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)、多提新的問題、努力找出最佳解法，有助于我們對數(shù)學(xué)知識、方法的理解和運用，從而提高解題能力。一、 分析錯誤原因?qū)﹀e誤的解答，要能夠認真分析錯誤原因。搞清楚是理解題意有誤、還是計算錯誤，是考慮問題不全面、還是解題思路有問題。認真反思，吸取教訓(xùn)，你離成功就不遠了。例1 甲乙兩車同時從a、b兩地相向開出，甲車行完全程需要5小時，乙車行完全程需要6小時。兩車在距中點18千米處相遇。a、b兩地全程是多少千米？分析：已知兩車行完全程的時間，可以得到兩車行相

2、同路程的時間比。又因為在路程一定的情況下，時間與速度成反比關(guān)系，于是可得到兩車的速度比。根據(jù)速度之比就可以確定兩車的相遇點了。解答：甲乙兩車的速度比為：65。可以將全程看作11份，相遇時甲車行了6份，乙車行了5份。由題意可知，18千米相當于這樣的（6-5）2=0.5份。因此，a、b兩地全程為180.511=396（千米）。說明：此例題容易誤解為18（6-5）11。錯誤原因是將18千米誤認為是相遇時甲比乙多走的1份。畫線段圖幫助理解題意可以避免此類錯誤。例2 真分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點后面連續(xù)n個數(shù)字之和是2020，求m的值。分析：分母為7的真分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)部分的數(shù)字以“1、4、2、

3、8、5、7”這6個數(shù)為一個循環(huán)周期，只是次序不同。如，。顯然，求出最后一個循環(huán)周期的情形，即可求得m的值。解答：由2020（1+4+2+8+5+7）=202027=7422可知，最后一個循環(huán)周期中數(shù)字和少了27-22=5。這說明最后一個不完整的循環(huán)周期有以下兩種可能：一種是“71428”，另一種是“2857”。對于前一種，m=5，對于后一種，m=2。因此，本題中m的值應(yīng)為2或5。說明：此例題容易丟解。原因是考慮問題不夠全面。例3 如圖1，等腰直角三角形abc，直角邊長1分米，將b點固定順時針旋轉(zhuǎn)90o，如圖2，求斜邊ac在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積。分析：ac邊上每一點在旋轉(zhuǎn)過程中的軌跡均為一段弧，

4、半徑最長的顯然是a、c兩點的軌跡，而最短的則是過b點的ac邊垂線的垂足d的軌跡，其間的部分即為所求。解答：由上面分析可知，所求面積即為圖3中陰影部分。顯然，陰影由大等腰直角三角形內(nèi)、外的兩部分組成，可以由半圓面積中減去大等腰直角三角形面積求得外面的一部分（兩個弓形）。里面的一部分初看上去似乎不太容易求，但對于圖4來說，若已知正方形面積求陰影面積是很容易的，本題中此部分陰影相當于圖4中陰影部分的。因此， （平方分米）即斜邊ac在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為0.6775平方分米。說明：此例題容易誤解為即只求出大等腰直角三角形外兩個弓形的面積。錯誤原因是只考慮了旋轉(zhuǎn)的開始和結(jié)束時ac邊的位置，而忽視了中間

5、的旋轉(zhuǎn)過程。例4 a、b、c、d、e五人小組分工合作解決一項要求20分鐘完成的任務(wù)，但至完成時多用了2分鐘。事后總結(jié)時發(fā)現(xiàn)：當時若將a、e分擔的工作互換，全組的工作就能夠按規(guī)定時間完成；當時若將b、d分擔的工作互換，全組的工作就能提高效率。那么，當時若將a、e分擔的工作互換，同時將b、d分擔的工作也互換，全組就可以比規(guī)定時間提前幾分鐘完成任務(wù)？分析：全組完成此項任務(wù)的實際工作效率是，若將a、e分擔的工作互換，全組的工作效率就是，再求出若同時將b、d分擔的工作也互換全組的工作效率，就可求得工作時間。解答：若將a、e分擔的工作互換，同時將b、d分擔的工作也互換，全組的工作效率應(yīng)為全組完成任務(wù)的時間

6、則為（分）比規(guī)定的時間提前了（分）所以，當時若將a、e分擔的工作互換，同時將b、d分擔的工作也互換，全組就可以比規(guī)定時間提前分完成任務(wù)。說明：此例題易誤解為（分）。錯誤原因是理解題意有誤。題中a與e和b與d分別互換工作使全組工作效率提高都是針對“當時”（即全組工作效率為時）而言的。實際上，交換崗位的人只是通過互相影響對方的工作效率而使全組工作效率發(fā)生變化，對其它人的工作效率不會產(chǎn)生影響。否則，就需要更多的已知條件，應(yīng)用更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法來解決了。二、 提出新的問題對于一些熟悉的、典型的題目，應(yīng)該能夠引申開來，想一想還能提什么樣的問題，反過來提問行不行，。這樣做有利于舉一反三，是事半功倍的好方法

7、。例如，同學(xué)們一定很熟悉1+2+3+99+100或23+24+25+66+67+68這樣的連續(xù)自然數(shù)求和問題，我們可以考慮反過來的問題：如果已知一個自然數(shù)，判斷它能否表示成若干個連續(xù)自然數(shù)之和的形式，如果能，是哪些連續(xù)自然數(shù)之和？請看下面的例子：例5 2002能否表示成若干個連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，有幾種不同的表示方法？分析：如果2002能夠拆成若干個連續(xù)自然數(shù)之和的形式，那么只需求出這些連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)和最小的一個是幾，就可以找出相應(yīng)的拆法。為此設(shè)2002可以拆成個連續(xù)自然數(shù)之和，最小的一個為。則有：將個合并起來就有：也就是： 或者： 即： 觀察上式，不難發(fā)現(xiàn)下面兩個結(jié)論：與的奇偶性相反（因

8、為必為奇數(shù)，如果是奇數(shù)，則是偶數(shù)；如果是偶數(shù)，則是奇數(shù)）；（因為1，所以+1）。也就是說，如果4004可以表示為一奇、一偶兩個因數(shù)（4004的約數(shù)且奇數(shù)不能是1）相乘的形式，就可以找到相應(yīng)的一組與的值。4004有幾種這樣的表示形式，就有幾組不同的與的值與之相對應(yīng)。解答：根據(jù)以上分析，除1外它的奇約數(shù)有7、11、13、711、713、1113、71113七個，相應(yīng)的則有： 分別解得： 這樣，說明2002可以表示成若干個連續(xù)自然數(shù)之和的形式，且有七種不同的表示方法，分別是： 說明：（1）實際上，由于4004的奇約數(shù)與2002的奇約數(shù)情況完全相同，所以也可以說：2002有幾個不同的奇約數(shù)（1除外），

9、就有幾種不同的表示為若干個連續(xù)自然數(shù)之和的方法。推廣到一般情形，對于一個自然數(shù)n，如果有個不同的奇約數(shù)（1除外），n就有種不同的表示為若干個連續(xù)自然數(shù)之和的方法；（2）對于2002，我們還可以提另外的問題。如2002能否表示成若干個連續(xù)偶數(shù)之和？2002能否表示成若干個連續(xù)奇數(shù)之和？如果能，有幾種不同的表示方法？請你試著分析一下，給出解答。再請看下面這樣一個熟悉的問題：例6 1100這100個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈周圍。從1開始沿順時針方向進行如下操作，保留1，劃去2；保留3，劃去4；，如此每隔一個數(shù)，劃去一個數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？分析：我們先從簡單情況研究

10、，歸納出問題的規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律解題。如果圓周上有2個數(shù)1、2，最后剩下1；如果有3個數(shù)1、2、3，最后剩3；如果有4個數(shù)1、2、3、4，最后剩1；如果有5個數(shù)15，最后剩的是3；如果有6個數(shù)16，最后剩的是5；如果有7個數(shù)17，最后剩的是7；如果有8個數(shù)18，最后剩的是1。我們發(fā)現(xiàn)當圓周上數(shù)的個數(shù)是2、4、8時，最后剩的都是1（操作的起始數(shù)）。這是為什么呢？以8個數(shù)為例，操作一圈，劃去2，4，6，8，就相當于從1開始，還有4個數(shù)的情況，4個數(shù)時，從1開始，操作一圈，又劃去2個，還剩從1開始的兩個數(shù)，劃去1以外的數(shù)，最后剩1。顯然，圓周上數(shù)的個數(shù)是16、32、64、2n時，最后剩的都是起始數(shù)1。

11、當圓周上數(shù)的個數(shù)是3時，劃去2，就剩2個數(shù)，最后應(yīng)剩下一步操作的起始數(shù)3；數(shù)的個數(shù)是5時，劃去2，剩4個數(shù)，最后應(yīng)剩下一步操作的起始數(shù)3。根據(jù)以上規(guī)律，如果有18個數(shù)，劃去2、4，剩下16個數(shù)，再劃下去，最后還應(yīng)剩下一步操作的起始數(shù)5。就是說，劃去若干個數(shù)后，當剩下的數(shù)的個數(shù)恰好是2n 時，下一步操作的起始數(shù)就是最后一個剩下的數(shù)。解答：根據(jù)以上分析，由于64=26，128=27，2610027，100-64=36，也就是說，要剩26個數(shù)，需要劃去36個數(shù)，按題意，最后劃去的數(shù)是362=72，下一步操作的起始數(shù)是73，那么最后剩的就應(yīng)該是73。說明：（1）本例是由著名的約瑟夫斯問題改編的。對于“

12、把1n這n個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈周圍。從1開始沿順時針方向進行如下操作，保留1，劃去2；保留3，劃去4；，如此每隔一個數(shù)，劃去一個數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)x是幾？”這樣的題目，我們可以得到一個一般性的結(jié)論： 若2kn2k+1，k是自然數(shù)，最后剩下的一個數(shù)x=（n-2k）2+1。（2）我們還可以提出一些新的問題，如： 按原題操作規(guī)則，如果最后剩下的一個數(shù)是11，那么開始時圓周上至少有多少個數(shù)？ 按原題操作規(guī)則，如果最后剩下的一個數(shù)是11，且開始時圓周上的數(shù)不少于500個，那么開始時至少有多少個數(shù)？ 將原題的操作規(guī)則改為“從1開始，劃去1，保留2；劃去3，保留4；，轉(zhuǎn)

13、圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？ 將原題的操作規(guī)則改為“從1開始，保留1、2，劃去3；保留4、5，劃去6；，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？ 將原題的操作規(guī)則改為“從1開始，劃去1，保留2、 3；劃去4，保留5、 6；，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？請你再提出一些新問題，與上面幾個問題一起當作練習(xí)題來完成吧！下面的例題很容易看出是在某種操作類問題基礎(chǔ)上反過來提出的：例7 一條直徑將圓周分成兩個半圓周，在每個分點標上質(zhì)數(shù)p；第二次操作將兩個半圓周分別分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)和的；第三次操作將四個圓周分別分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)和的；如

14、此進行了n次操作后，圓周上所有已標數(shù)的總和為11130。求n和p的值各為多少？分析：本題不宜采用上例“從簡單情況入手”的分析方法。我們直接來考慮第k次（k=1、2、3、n）操作后與第k-1次操作后圓周上所有已標數(shù)總和之間的關(guān)系。設(shè)第k次操作后圓周上所有已標數(shù)總和為sk，由題意可知，第k次操作新產(chǎn)生一些分點，這些分點上所標數(shù)均為相鄰兩數(shù)之和的，所以這些新產(chǎn)生的分點上所標數(shù)之和是上一次（即第k-1次）操作后圓周上所有已標數(shù)總和（即sk-1）的2倍的。由此得到sk與sk-1之間的關(guān)系為：即： 下面我們用遞推的方法來求得sn與s1之間的關(guān)系：解答：由上面分析知：由題意知： 因此： 由題意可得： 即：

15、上式中，因p為質(zhì)數(shù)，所以p的值只可能為：2、3、5、7、53。經(jīng)驗證，僅當p=3時，其余質(zhì)因數(shù)可表示為兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積：（253）（357）=106105=（n+2）(n+1)顯然，此時n=104。所以，本題中n與p的值分別為104、3。說明：在本例的分析中，我們直接由某次操作后與上一次操作后圓周上所有已標數(shù)總和間的關(guān)系入手，進而得出第n次操作后與第1次操作后圓周上所有已標數(shù)總和間的關(guān)系，使問題得以解決。這是一種特殊的歸納方法，通常稱做遞推。三、 尋求最佳解法許多競賽題的解法不止一種。努力尋求多種解法，不僅可以找到適合自己的最佳解法，還可以拓寬思路，使我們的思維能力、解決問題能力得到鍛煉。

16、例8 正方形abcd內(nèi)部有2001個點，以這2001個點和四邊形的4個頂點做三角形的頂點，最多可以剪下多少個小三角形？共需剪多少刀？分析：從簡單情況入手分析，若正方形內(nèi)部只有1個點，顯然最多可剪下4個三角形、共需剪4刀（如圖1）；若正方形內(nèi)部只有2個點，此時新增加的1個點必在已有的4個三角形的某一個內(nèi)部，這樣就可以剪3刀破壞掉這個三角形剪成3個三角形，即增加2個三角形、增加3刀（如圖2）；于是容易發(fā)現(xiàn)，每增加一個點，剪下的三角形個數(shù)增加2、刀數(shù)增加3。解答：由以上分析可知，最多可以剪下小三角形的個數(shù)為4+2（2001-1）=4004共需剪的刀數(shù)為4+3（2001-1）=6004。說明：對本例我

17、們還可以從整體的角度來進行分析。會聚于正方形內(nèi)每一點的所有角度數(shù)之和是360o，正方形4個內(nèi)角度數(shù)也是360o，因此所有剪下的三角形內(nèi)角度數(shù)之和為360o2001+360o，而一個三角形內(nèi)角和為180o，所以剪下的三角形個數(shù)是；每剪1刀產(chǎn)生2條邊，正方形本身的4條邊是不用剪的，而每個三角形有3條邊，所以共需剪的刀數(shù)為。當然，今后學(xué)習(xí)了歐拉定理，還可以有更簡捷的解法。例9 1100這100個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈周圍。從1開始沿順時針方向進行如下操作，劃去1，保留2；劃去3，保留4，如此每劃去一個數(shù)，隔過一個數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？分析：本例實際上是例6后面說明

18、（2）中的第3個問題。我們當然可以象解決例6一樣，從簡單情況入手研究，找出規(guī)律再解題。但是，仔細審題就會發(fā)現(xiàn)，如果我們把1看作最后一個數(shù)，也就是把2看作最初的起始數(shù)（第1個數(shù)），那么本例就轉(zhuǎn)化為與例6完全相同的題目了。只不過對本例來說，每個數(shù)的編號都提前了一（如2是第1個數(shù)、3是第2個數(shù)）。解答：例6的結(jié)果是73，結(jié)合以上分析知，本例中最后剩下的一個數(shù)應(yīng)為72。說明：轉(zhuǎn)化是常用的一種數(shù)學(xué)方法，它可以把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，巧妙的借助已知來求未知。例10 某學(xué)校有1036名學(xué)生，開運動會時學(xué)校給每位同學(xué)買了一瓶汽水。由于商店規(guī)定每5個空瓶可以換一瓶汽水，所以同學(xué)們用空瓶又換了一些汽水喝。他們最多可

19、以再換到多少瓶汽水喝？分析：開始有1036個空瓶，第一次可換回汽水10365=207瓶，還余下1個空瓶，第二次則可換回汽水（207+1）5=41瓶，還余下3個空瓶，直到不能再換為止，將每次換回的汽水瓶數(shù)相加，即可求得問題答案。解答： 因為10365=2071 （207+1）5=413 （41+3）5=84 （8+4）5=22最后還剩下2+2=4（個）空瓶，可以與商店暫借一個空瓶，換回1瓶汽水，喝完后再還回1個空瓶。這樣，一共可以再換到207+41+8+2+1=259（瓶）汽水喝。說明：這樣的算法合情合理，但解題之后回頭再看，卻覺得有些煩瑣。題目中關(guān)鍵的一個條件是“每5個空瓶可以換一瓶汽水”，這

20、句話的意思可以用下面等式來表明：5個空瓶=1個空瓶+一個瓶內(nèi)的汽水也就是說： 4個空瓶=一個瓶內(nèi)的汽水這說明一瓶汽水（不含瓶）的價值相當于4個空瓶，換句話說，1個空瓶的價值相當于瓶汽水（不含瓶）。于是，由開始有1036個空瓶可知，共可以再喝到汽水：1036=259（瓶） 由此可見，認真審題，透徹分析，抓住問題本質(zhì)，就有可能會發(fā)現(xiàn)更加簡捷的解題方法。練習(xí)題1、兩地間的距離是950米。甲、乙兩人同時由地出發(fā)往返鍛煉.甲步行每分鐘走40米,乙跑步每分鐘行150米,40分后停止運動。甲、乙二人第幾次迎面相遇時距地最近,距離是多少米？2某工程隊承建一項工程，要用12天完成。如果只讓其中的甲、乙兩個小隊交

21、換一下工作內(nèi)容，那么全工程就要推遲3天完成；如果讓其中甲、乙兩個小隊交換一下工作內(nèi)容的同時，也讓丙、丁兩個小隊交換工作內(nèi)容，仍然可以按期完成全工程。如果只讓丙、丁兩個小隊交換工作內(nèi)容，那么可以使全工程提前幾天完成？3三角形abc是等邊三角形，邊長是10cm。像下圖那樣，使三角形abc以a點為中心向右旋轉(zhuǎn)30，得到等邊三角形ab1c1。那么五邊形abb1cc1的面積是多少平方厘米？4在圓周上標出一些數(shù)，第一次先把圓周二等分，在兩個等分點上標出和；第二次把兩段半圓弧分別二等分，在等分點上標出相鄰兩個等分點上的數(shù)之和；當?shù)诎舜螛送陻?shù)后，圓周上所有以標的數(shù)之總和是多少？ 5某學(xué)校開運動會，打算發(fā)給19

22、91名學(xué)生每人一瓶汽水，由于商店規(guī)定每7個空瓶可以換一瓶汽水，所以不必買1991瓶，但是至少要買多少瓶？6一條直徑將圓周分成兩個半圓周，在每個分點標上質(zhì)數(shù)p；第二次將兩個半圓周分別分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)和的；第三次將四個圓周分別分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)和的；如此進行了n次。最后，圓周上所有數(shù)的和為17170。求n和p的值各為多少？ 解完題目回頭看練習(xí)題解答1第二次、150米。解：兩人共行一個來回,即2950=1900(米)迎面相遇一次，用時 1900(40+150)=10(分)所以,兩人每10分鐘相遇一次,即甲每走4010=400(米)相遇一次;

23、第二次相遇時甲走了800米,距地950-800=150(米); 第三次相遇時甲走了1200(米),距地1200-950=250(米).所以,第二次相遇時距地最近,距離150米.22天。解：由題意知，如果只讓甲、乙兩個小隊交換一下工作內(nèi)容，這樣全工程就要推遲3天完成。這就是說，甲、乙兩小隊交換工作內(nèi)容后，全又因為如果讓其中甲、乙兩小隊交換一下工作內(nèi)容的同時，也讓其中的丙、丁兩小隊交換一下工作內(nèi)容，仍可按期完成全工程。這就是說，交換甲、乙兩小隊工作內(nèi)容后降低的工作效率，由丙、丁兩小隊交換工作內(nèi)容而得到補償，即如果只讓丙、丁兩小隊交換工作內(nèi)容，可以使工作效率比原來全大隊的工作效率提高1/60。因此，

24、只讓丙、丁兩小隊交換工作內(nèi)容，完成全工程的天數(shù)為=10（天）可使全工程提高的天數(shù)是12-10=2（天）375。解：設(shè)三角形abc邊長為a，則a=10厘米。由題意易知=，且bda=bdb1=90o，bd=。所以五邊形的面積是41260。解：設(shè)第n次時圓周上各點的數(shù)總和為sn，分析題意可知： sn=3sn-1=32sn-2=33sn-3=3n-1s1所以，s8=37s1=37（+）=1260。51593瓶。解：根據(jù)例10分析，1991（1+）=1592.8，由此可知，至少要買1593瓶。6n=100，p=5。解法參見例7。c29c91afe4ced1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c

25、8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91afedd1b6c87d1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91af95ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9d1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795a1afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91afc91fe4ced1d1b6c8795ad

26、9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6cd1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91af8795ad9c91fe4ced1d1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c87d1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91af5d1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c

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