MitrinovicDjokovic不等式

1、mitrinovic-djokovic不等式定理：若, +=1,且,則。證明：（利用拉格郎日乘數(shù)法）設(shè)則。考慮函數(shù) 由于 其中即如果則由顯然對于有而當(dāng)時則由式顯然對于，是遞增的，因此當(dāng)時因此，當(dāng)時，總有，從而，故在中，嚴(yán)格遞減。因此，方程有惟一解，考慮方程組：根據(jù)上面的討論，它有惟一解，是的極值點，而當(dāng)時，因此是其極小值點，故有推廣 若，且，則。證明：將原不等式改寫為而故只須證明即只須證：當(dāng)時：因，因此當(dāng)，即時，有，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取。若，則顯然，當(dāng)?shù)珒烧咦銐蚪咏鼤r上式為負(fù)，因此具有最佳性。當(dāng)時，不妨設(shè)，則，于是：考慮數(shù)組，將其重排得所以重復(fù)上述過程，可得： ，且但 。因此：是關(guān)于的單調(diào)下降非負(fù)

2、數(shù)列，并且收斂與，故有等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即。貝努利不等式一元n變不等式是初等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，其理論是建立在數(shù)集的順序性與運算的單調(diào)性質(zhì)上的。將一元函數(shù)不等式推廣到多元函數(shù)不等式上，就是由單變量向多變量的拓展，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)散思維的思想。正是通過對數(shù)學(xué)內(nèi)容的拓展，才使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)變得如此繁盛！定理（貝努利不等式），是正整數(shù)，則。令 即若，則證明：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時，不等式顯然成立。 假設(shè)當(dāng)時，命題真，即對因此 所以當(dāng)時命題也真。綜上，原命題得證。推廣：若，并且它們或者都是正的，或者都是負(fù)的，則：我們想證明這個推廣，就需要先證明下面這個引理：引理：若，并且它們或者都是正的，或者都是負(fù)的，則證明：

3、 若 ，則即 若，則即下面我們進行推廣的證明證明：當(dāng)時 ，得證假設(shè)當(dāng)時成立，即則當(dāng)時，有綜上可得原命題成立。上面我們將著名的貝努利不等式進行了多元推廣。采用的證明方法是數(shù)學(xué)歸納法。為什么可以用數(shù)學(xué)歸納法證明呢？這是因為將一元向多元推廣，實質(zhì)上就是將變量的數(shù)目增多。而數(shù)學(xué)歸納法正是證明和自然數(shù)有關(guān)的一種基本證明方法。所以本文將一元函數(shù)不等式推廣到多元上有一種通用的證明方法即數(shù)學(xué)歸納法。下面我們對這一方法進行一下簡單介紹：數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟：（1）取初始值或時命題成立;（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，利用它證明當(dāng)時命題也成立。滿足這兩個條件后，命題對一切的均成立。（一）第一數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，有如下步驟：（1）證明當(dāng)取第一個值時命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)（的第一個值，為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立。（二）第二數(shù)學(xué)歸納法對于某個與自然數(shù) 有關(guān)的命題 ，（1）驗證時 成立；（2）假設(shè)時 成立，并在此基礎(chǔ)上，推出 成立。綜合（1）（2）對一切自然數(shù) ，命題都成立；（三）倒推歸納法（反向歸納法）：（1）對于無窮多個自然數(shù)命題成立；（2）假設(shè)成立，并在此基礎(chǔ)上推出成立，綜合（1）（2），對一切自然數(shù) ,命題都成立；（四）螺旋式歸納法，為兩個與自然