極限的四則運算法則ppt課件

1、1.4 極限的四那么運算法那么AxfxfAxfAxfxfAxfAxfAxfAyxxxxxxxxxxxxnn)(lim)(lim)(lim)(lim)(lim)(lim:)(lim)(lim:lim:0000重要定理重要定理函數(shù)極限函數(shù)極限數(shù)列極限數(shù)列極限 復(fù)習(xí)：極限的概念無窮小量與無窮大量.;:.,:.,:無窮大量非零無窮小量的倒數(shù)是小量無窮大量的倒數(shù)是無窮關(guān)系絕對值越來越大的變量在某一變化過程中無窮大量以零為極限的變量在某一變化過程中無窮小量無窮小量與無窮大量的性質(zhì)l有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量；l 有界函數(shù)或常數(shù)與無窮小量或無窮大量的積仍是無窮小量或無窮大量；l 有限個無窮大量的

2、積仍是無窮大量。1.4 極限的四那么運算法那么lim ( ),lim ( ),u xAv xB設(shè)則有l(wèi)im( )( )lim ( )lim ( )2lim( )( )lim ( ) lim ( )( )lim ( )3lim ( )0lim( )lim ( )u xv xu xv xABu xv xu xv xA Bu xu xAv xBv xv xB法則1 。法則。法則時，。證明法那么1：lim ( ),lim ( ),( )( )( )( )()()()()lim( )( )lim ( )lim ( )u xAv xBu xAv xBu xv xABABu xv xABu xv x證：由無

3、窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系有 ， ，其中 ， 是同一極限過程的無窮小量，于是根據(jù)無窮小量的性質(zhì)，仍是無窮小量，設(shè) 存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，由法那么2可得：lim ( )u x(1) lim( )lim ( );(2)lim( )lim ( )nnc u xcu xu xu x 運用運算法那么時，必需留意兩點。1參與法那么運算的每一個函數(shù)的極限必需存參與法那么運算的每一個函數(shù)的極限必需存在。在。000001lim sin0,11lim sinlimlimsin01limsin2xxxxxxxxxxxx例如，若寫成則是錯誤的，因為的極限不存在，所以不能使用法則 。2商的極限的運算法那么要求分母的極

4、限不能為商的極限的運算法那么要求分母的極限不能為零。零。211lim 345xxx例：求（）.)543(lim21xxx解：5lim4lim3lim1121xxxxx5lim4lim3121xxxx5) 1(4)lim( 321xx54) 1( 3212202312lim.2xxxx例 ：求0220002lim20220,lim(231)231lim2lim(2)2 03 0 11022xxxxxxxxxxx 解：因為（）所以2133lim.54xxxx例：求221122111221lim5415 140,3lim320,lim(54)540lim03lim(3)1 354133lim54xx

5、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解：因為（）所以不能直接使用法則 求此分式的極限，但（）于是可求其倒數(shù)的極限即是時的無窮小。所以。233lim.9xxx例4：求233333limlim9(3)(3)11lim36xxxxxxxxx解：22236lim.22xxxxx例 ：求2222222112323limlim112212211lim(23)2002111 00lim(122)xxxxxxxxxxxxxxxxx解：分子、分母同除 ，得357lim.2xxx例 ：求32333,155limlim2210001 0 xxxxxxxx解：分子、分母同除得328lim.5xxx例：求335l

6、im0,22lim.5xxxxxx 解：因為根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系，可得由例6、7、8可以得出：000,0 xab 一般地，當(dāng)時，有理分式（）的極限有以下結(jié)果：101010100,lim,nnnmmxmnma xa xaanmb xb xbbnm1.5 1.5 兩個重要極限兩個重要極限1.5.1 兩個重要極限0sin1.lim1xxx取數(shù)值驗證，見教材取數(shù)值驗證，見教材P20P20 xxxxxxxsin0; 0lim, 0sinlim00時，時，所以當(dāng)所以當(dāng)又因為又因為( )0sin( )lim1( )f xf xf x利用第一個重要極限可以求一些其他函數(shù)的極限，根據(jù)需要常把公式變化為。0s

7、in51lim.2xxx例：求000sin5sin55limlim2525sin55lim252xxxxxxxxx解：2525lim25sinlim,55sin;sin000 xxxxxxxxxxx則則所以所以時，時，另解：因為當(dāng)另解：因為當(dāng)0tan2lim.xxx例 ：求0000tansin1limlimcossin1limlim1cosxxxxxxxxxxxx解：22tan;33tan;tanxxxxxx由此例可看出：由此例可看出：201 cos3lim.xxx例：求2220002202sinsin1 cos122limlimlim24( )22sin112lim222xxxxxxxxxx

8、xx解：14lim sin.xxx例 ： 1011sinsin1lim sinlimlim111xxxxxxxxx解：12.lim(1)xxex2.718281828459045.ee 其中 是常數(shù)，其近似值為：101,0lim(1)tttxtxte 如果令當(dāng)時，公式還可以寫成( )1( )( )( )01lim1, lim 1( ).( )f xf xf xf xef xef x根據(jù)需要求一些其他函數(shù)的極限，常把公式變化為315lim(1) .xxx例 ：求333311lim(1)lim (1)1lim(1)xxxxxxxxex解：517lim 1.xxx例 ：求555151111lim 1

9、lim1111lim 1lim 111lim 1lim 11lim 11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解：51e208lim 1.xxx例：求221002120lim 1lim1lim 1xxxxxxxxxe解：延續(xù)復(fù)利公式利用了第二個重要極限。 所謂復(fù)利計息，就是將第一期的利息與本金之和作為第二期的新本金，然后反復(fù)計息。設(shè)本金為P，年利率為r，那么 122111(1)(1)(1)(1)nspprprsss rsrprnprn一年后的本利和為兩年后的本利和為 年后的本利和為s這就是以年為期的復(fù)利公式。212,(1)(1)(1)limlim(1)lim (1)mmnmnnrmnmnr

10、rnmmmmrrmrrrspspspmmmmnrrsspppemm 若把一年均分為 期計息，年利率仍為 ，這時每期利率為于是有，如果計息期數(shù)無限縮短，即，這意味著資金運用率最大限度地提高，則 年末地本利和為這個公式稱為連續(xù)復(fù)利公式。小結(jié)：lim ( ),lim ( ),u xAv xB設(shè)則有l(wèi)im( )( )lim ( )lim ( )2lim( )( )lim ( ) lim ( )( )lim ( )3lim ( )0lim( )lim ( )u xv xu xv xABu xv xu xv xA Bu xu xAv xBv xv xB法則1 。法則。法則時，。101010100,lim,nnnmmxmnma xa xaanmb xb xbbnm0sin1.lim1xxx( )0sin( )lim1( )f xf xf x利用第一個重要極