定積分中奇偶函數(shù)和周期函數(shù)處理方法

1、定積分計(jì)算中周期函數(shù)和奇偶函數(shù)的處理方法一、基本方法(一)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)在定積分計(jì)算中，根據(jù)定積分的性質(zhì)和被積函數(shù)的奇偶性，及其周期性，我們有如下結(jié)論1、若是奇函數(shù)（即），那么對(duì)于任意的常數(shù)a，在閉區(qū)間上，。2、若是偶函數(shù)（即），那么對(duì)于任意的常數(shù)a，在閉區(qū)間上。3、若為奇函數(shù)時(shí)，在的全體原函數(shù)均為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，只有唯一原函數(shù)為奇函數(shù)即.事實(shí)上：設(shè)，其中為任意常數(shù)。當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)，任意常數(shù)也是偶函數(shù)的全體原函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，任意常數(shù)時(shí)為偶函數(shù) 既為非奇函數(shù)又為非偶函數(shù)，的原函數(shù)只有唯一的一個(gè)原函數(shù)即是奇函數(shù)。4、若是以為周期的函數(shù)（即），且在閉區(qū)

2、間上連續(xù)可積，那么。5、若是以為周期的函數(shù)（即），那么以為周期的充要條件是 事實(shí)上：，由此可得 。(二)、定積分中奇偶函數(shù)的處理方法1. 直接法：若果被積函數(shù)直接是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，之間按照奇偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可，但要注意積分區(qū)間。2. 拆項(xiàng)法：觀察被積函數(shù)，在對(duì)稱(chēng)區(qū)間如果被積函數(shù)復(fù)雜但可以拆成奇偶函數(shù)和的形式，則分開(kāi)積分會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算。3. 拼湊法：被積函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間直接積分比較困難，并且不能拆項(xiàng)，可以按照如下方法處理：設(shè) ，則，從而就轉(zhuǎn)換為了奇函數(shù)和偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的計(jì)算。(三)、定積分中周期函數(shù)的處理方法對(duì)于周期函數(shù)的定積分，最主要是能夠確定被積函數(shù)的周期（特別是三角函數(shù)與復(fù)合的三角函數(shù)

3、的周期），并熟悉周期函數(shù)的積分性質(zhì)，基本上就能解決周期函數(shù)定積分的問(wèn)題。二、典型例題例1 設(shè)在上連續(xù)可積，證明：(1)若為奇函數(shù)則(2)若為偶函數(shù)，則。證明：(1)因?yàn)?，而?duì)前一項(xiàng)中令，則所以.(2)因?yàn)椋?而 ，對(duì)前一項(xiàng)中 令相似的有，所以.例2 設(shè)在上連續(xù)，且以T為周期，證。證明： 由，在上式右端最后一個(gè)積分中，令則有 ，即有，成立再證,因?yàn)閷?duì)于 令 則，因?yàn)樗杂?，。? 求定積分 。解：被積函數(shù)為偶函數(shù)，例4 求定積分，其中為自然數(shù)。解：注意到是偶函數(shù)且以為周期，因此利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算.例5 計(jì)算：（自然數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)）。解：由周期函數(shù)積分性質(zhì)得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故當(dāng)為奇

4、數(shù)時(shí)(設(shè))時(shí)其中為的某個(gè)多項(xiàng)式（不含常數(shù)項(xiàng)） 因此例6 求定積分 。解：因?yàn)楸环e函數(shù)是為奇函數(shù)，且在對(duì)稱(chēng)區(qū)間故例7 求定積分I=。解：I=，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，而是偶函數(shù)，所以I=2 =例8 求定積分I=。解：設(shè)則I= 因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以例9 求定積分I=。解：令，則，因?yàn)?，所以，?0 求定積分 I=。分析：若此題采用常規(guī)求法，會(huì)發(fā)現(xiàn)過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，但是利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)就能很容易求出。原函數(shù)可以看做一個(gè)奇函數(shù)f(x)=和一個(gè)偶函數(shù)u(x)=之和。解：I= = + =2 =2例11 求定積分I=。分析：如果此題按照一般解法直接進(jìn)行求解，那么會(huì)發(fā)現(xiàn)很繁瑣，注意到為奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分為零，因此就可以簡(jiǎn)

5、化積分，而在上積分恰好是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的上半圓周面積， s= 解：I= = 0 = 2 = 2 = 例12 設(shè)在上連續(xù)，證明，并由此計(jì)算 。解：若記，顯而易見(jiàn)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，而且.所以有利用上述公式可得例13 求定積分I=。分析：此題的積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從這一點(diǎn)性質(zhì)中我們可以聯(lián)想到奇偶函數(shù)的性質(zhì)，但注意到被積函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，我們可以將其湊成奇偶函數(shù)。按照上一題的結(jié)果我們可以知道為奇函數(shù)，而為偶函數(shù) 解：例14 求定積分 其中。分析：被積函數(shù)不是周期函數(shù)，無(wú)法直接用周期函數(shù)的定積分性質(zhì)計(jì)算，采用分部積分比較繁瑣，可以考慮還原。令 則移向得： 所以 例15 求定積分 。

6、解： 例16 求定積分 解：注意到被積函數(shù)是以為周期的偶函數(shù)，因此可用定積分中相應(yīng)性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算例17 求定積分。解：注意到是對(duì)稱(chēng)區(qū)間，函數(shù)可以應(yīng)用定積分的奇偶性來(lái)計(jì)算例18 證是以T為周期的周期函數(shù)，則。證明：因?yàn)?故只需證明由題設(shè)可知 現(xiàn)令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且 所以有例19 設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，證明。分析:等價(jià)于 所以 =即由題設(shè) 可令 證明：令，則例20 設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)n為正整數(shù)，且時(shí)，證明；(2)求證明：(1)因?yàn)?，且，所以，又因?yàn)榫哂兄芷?，在長(zhǎng)度的積分區(qū)間上積分值相等：，從而同理可得到(2)由(1)有，當(dāng)去極限，由夾逼定理得，例21 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而且。證明：(1)若為偶函數(shù)，則也

7、是偶函數(shù)；(2)若單調(diào)不減，則單調(diào)不減(1)證明：令，則故為偶函數(shù)。(2)由于被積函數(shù)連續(xù)，所以可導(dǎo)，且，因此在上單調(diào)不減例22 設(shè)在上連續(xù)，以T為周期，令，求證：(1)一定能表成：，其中k為某常數(shù)，是以T為周期的周期函數(shù)；(2)；(3)若有，n為自然數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有。證明:(1) 即確定常數(shù)k，使得以T為周期，由于T因此，取，則是以T為周期的周期函數(shù)。 此時(shí) (2) .且在上連續(xù)并以T為周期，于是在在有界，在也有界。因此(3)因，所以當(dāng)時(shí)，例23 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試運(yùn)用周期函數(shù)性質(zhì)證明。證明：因?yàn)?，其中，令，令，則，所以左端，按照周期函數(shù)的性質(zhì)知所以左端=，知 故例24 設(shè)，證明（1）；（2）求出的最大最小值。證明：(1)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則(2) 因?yàn)橛叶诉B續(xù)，故可導(dǎo)，又為周期函數(shù)，故只討論一個(gè)周期內(nèi)即可，現(xiàn)討論 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)取最大值，；當(dāng)時(shí)取最大值，。參考文獻(xiàn)1曹繩武，王振中，于遠(yuǎn)許 高等數(shù)學(xué)重要習(xí)題集 大連理工大學(xué)出版社 20012郝涌，盧士堂 考研數(shù)學(xué)精解 華中理工大學(xué)出版社 19993李永樂(lè)，李正元 考研復(fù)習(xí)全書(shū)國(guó)家行政出版社 20124林益，邵琨，羅德斌等 數(shù)學(xué)分析習(xí)題詳解 2005課程論文成績(jī)考核表學(xué)生姓名專(zhuān)業(yè)班級(jí)題 目評(píng) 審 者考 核 項(xiàng) 目評(píng)分指導(dǎo)教師1平時(shí)態(tài)度與遵守紀(jì)律的情況（滿分20分）2掌握