高等數(shù)學(xué)(北大第二版)64課件

1、一、偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義的定義及其計算法及其計算法定義定義),(yxfz 設(shè)設(shè)),(000yxp在在內(nèi)內(nèi)的某的某)(0pu有定義有定義若若0lim xx ),(00yxxf ),(00yxf 則稱則稱此極限為此極限為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(yxfz 處處在在),(000yxp的的對對x記作記作),(00yxfx(,)00|或或xyxz(,)00|或或xyzx xf 或或0 xx 0yy 同理同理偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的的對對y),(00yxfy0lim yy ),(00yyxf ),(00yxf ),(00yxfx 1例例),(yxf設(shè)設(shè) 22yxxy時時022 yx時時022 yx0、求求)0 , 0(x

2、f)0 , 0(yf解解)0 , 0(xf0lim xx )0 ,0(xf )0 , 0(f 0lim xx 00 0 同理同理)0 , 0(yf0 注意：注意：處處在在),(000yxp 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù)?處處在在),(000yxp 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù)2例例),(yxf設(shè)設(shè)22yx )0,0(),(limyx),(yxf)0,0(),(lim yx22yx 0 )0 , 0(f ),(yxf)0 , 0(在在連續(xù)連續(xù))0 , 0(xf0lim xx )0 ,0(xf )0 , 0(f 0lim xx x 0 不不幾何意義幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的),(00yxfy0lim yy ),(0

3、0yyxf ),(00yxf 注注意意： 始終不變始終不變0 x),(yxfz ),(00yx 0 xx0 x實實質(zhì)質(zhì)：仍是仍是一元函數(shù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)zy00 xx ),(00yx 0y數(shù)數(shù)函函偏導(dǎo)偏導(dǎo))(),(yxfz 設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域d每點的每點的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 都都 ),(00yxfx0lim xx ),(00yxxf ),(00yxf ),(00yx可以是可以是內(nèi)的內(nèi)的d點點 ),(yxfx3例例求求223yxyxz 處的處的在在)2 , 1(偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)解解xz x2 y3 1 x2 yxz 8 yz x3 y2 1 x2 yyz 5 4例例求求yxz5sin3 的偏導(dǎo)數(shù)的偏

4、導(dǎo)數(shù)解解 xzyx5sin32 yzyx5cos355例例yxz 設(shè)設(shè)求證求證xzyx yzx ln1z2 證證 xz1 yyx yzxxylnyzxxzyx ln11 yyxyxxxxylnln1 yyxx z2 6例例氣態(tài)方程氣態(tài)方程rtpv ?pvtvtpvrtp vp2vrt prtv tvprrpvt ptrv2vrt pr rv 1 pvrt pvtvtp注意：注意：分段函數(shù)分段函數(shù)分段點分段點的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)必須必須用定義計算用定義計算xz 是一個是一個整體符號整體符號x zdxdydy dx1 ?xz 對對二、二、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)高階高階xz 二、二、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)高階高階 xzx2

5、2xz ),(yxfxx ),(22yxfyzyzyyy xzy z2 yx ),(yxfxy ),(2yxfxyzyzxyx 混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)7例例73323 xyxyyxz求求的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)33yz 及及解解xz 223yx 33y y 22xz 26xy 33yz x18 yz yx32 29xy x 22yz 32x xy18 223(yx33y )y yxz 2 xzyy yx26 29y 1 xyz 219622 yyx8例例byeuaxcos 求求的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)解解 xubyaeaxcos yubybeaxsin 22xubyeaaxcos2 22yubyeb

6、axcos2 yxu2byabeaxsin xyu2byabeaxsin 9例例),(yxf設(shè)設(shè) 223yxyx時時022 yx時時022 yx0)0 , 0(xyf)0 , 0(yxf與與是否相等？是否相等？解解時時022 yx),(yxfx 222)(yx yx23)(22yx yx3 x2 2224222)(23yxyxyxyx )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim00 )0 , 0(xyf0 yfyfxxy )0 , 0(), 0(lim00)0 , 0( xyf同理同理),(yxfy時時022 yx22223)(2yxyx 223yxx時時022 yx0 )0

7、 , 0(yxfxfxfyyx )0 , 0()0 ,(lim01 )0 , 0(xyf)0 , 0(yxf 定定理理1 1),(yxfz 設(shè)設(shè)若若、yxz 2xyz 2內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域d,連續(xù)連續(xù) 則相等則相等10例例驗證驗證)ln(2122yxz 滿足滿足02222 yuxu證證22yxxxu 22yxyyu 22xu 222)(yx 22yx x x222222)(yxxy 同理同理 22yu22222)(yxyx 02222 yuxu 全微分全微分xxxxx0( ) li ( )()myfxxxyfxdyx 回顧：對于一元函數(shù)回顧：對于一元函數(shù) ，可導(dǎo)與可微一致，可導(dǎo)與可微一致( )y

8、f x 微分概念推廣到二元函數(shù)微分概念推廣到二元函數(shù)( , )zf x y ),(),(yxfyxxf ( , )xfx yx ),(),(yxfyyxf ( , )yfx yy 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量z =),(),(yxfyyxxf 全增量：全增量： 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為，)(r roybxaz ，其中，其中ba,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx r r則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf

9、z 在點在點),(yx可微分，可微分，ybxa 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的 全微分全微分，記為，記為dz，即，即dz= =ybxa . .全微分定義全微分定義 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 d 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 d 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.由于由于),(r roybxaz , 0lim0 zr r),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf r r),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù). , ,定理定理3 3 （必要條件（必要條件) )如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可

10、微分，則該函數(shù)在點可微分，則該函數(shù)在點),(yx的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)全微分為全微分為 、必存在，且函數(shù)必存在，且函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的zx zy zzdzxyxy 0(, )( , )limxf xx yf x yax 0( ,)( , )limyzf x yyf x ybyy 同同理理可可得得： ( , )( )0zf x yza xb yorrrr 證證：可可微微0,|(, )( , )(|)yxzf xx yf x ya xoxr r 若若則則 zx zzdzxyxy 一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在(

11、可導(dǎo)可導(dǎo)) 全微分存在（可全微分存在（可微）微）例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有 (0,0)(0,0)0 xyff (0,0)(0,0)xyzfxfy ,)()(22yxyx 如果考慮點如果考慮點(,)pxy 沿著直線沿著直線xy 趨近于趨近于)0 , 0(， 則則r r22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0r r而而趨趨于于 0,0r r當(dāng)當(dāng) 時，時，(0,0)(0,0)( ),xyzfxfyor r 函數(shù)在點函數(shù)在點)0 , 0(處不可微處不可微.偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在全全微微分分存存在在

12、（可可微微）習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dxdyzzdzxy全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)12112.niniiinuuuuududxdxdxdxxxxxx 12(,)nuf xxx 對對于于函函數(shù)數(shù) 、若若xz yz 00(,),xy在在點點連續(xù)連續(xù)則則),(yxfz 可微可微證證 z0000(,)(,)f xx yyf xy 00 (,)f xx yy 00(,)f xyy 00 (,)f xyy 00(,)f xy 10(,)xfyy x 02(,)yfx y 00(,)xfxy 1 x 00(,)yfxy 2 y 00(,)xfx

13、yx 00(,)yfxyy x 1 y 2 z 00(,)xfxyx 00(,)yfxyy x 1 y 2 x 1 y 2 r r1 2 )0 , 0(),( yx012, （無無窮窮小小量量）1lnyyyzxzzdzdxdyyxdxxxdyxy 例例：求求的的全全微微分分解解：:,(1,1)xyzxeydz例例設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)求求2(1)(1)xyxyzzdzdxdyexy dxx edyxy解解：(1,1)2(1)dzedxedy因因此此：全全微微分分的的應(yīng)應(yīng)用用：近近似似計計算算解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分解解),2sin(yxyxz