用光學(xué)衍射測(cè)量細(xì)絲和狹縫理論模型的改進(jìn)

1、用光學(xué)衍射測(cè)量細(xì)絲和狹縫理論模型的改進(jìn)翻譯：06114131 陳宮傣摘要：用光學(xué)衍射測(cè)量狹縫和細(xì)絲的尺寸通常的模型是，這種模型已被廣泛應(yīng)用很長(zhǎng)一段時(shí)間。在本設(shè)計(jì)方案中，通過理論分析和實(shí)驗(yàn)研究將其改進(jìn)為新模型，即。兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的狹縫和細(xì)絲（細(xì)圓柱體）經(jīng)光學(xué)衍射方法測(cè)量，結(jié)果表明新模型更適合描述光學(xué)衍射現(xiàn)象，測(cè)量細(xì)絲直徑也更為精確。關(guān)鍵詞：直徑 狹縫寬度 光學(xué)衍射 弗朗和費(fèi)衍射 細(xì)絲 細(xì)圓柱體 測(cè)量引言我們知道用經(jīng)典光學(xué)理論狹縫光學(xué)衍射可以被如下近似的描述為1： （1）其中，是衍射光強(qiáng)，為常數(shù)，為狹縫寬度，是衍射角， 則為波長(zhǎng)。上述理論常常用于測(cè)量細(xì)絲直徑2，3和狹縫寬度?；诎唾铝性?，細(xì)絲可以看作

2、反狹縫，其產(chǎn)生的衍射圖像與狹縫相同。為獲得狹縫寬度和細(xì)絲直徑，我們可以測(cè)出衍射極小位置，然后根據(jù)下面的關(guān)系式計(jì)算： m=1，2，3， （2）其中m是上面方程中衍射級(jí)次。式（2）是由式（1）推演而來，即“通常模型”。然而，我們發(fā)現(xiàn)直徑的測(cè)量結(jié)果偏大，而且當(dāng)用式（2）2測(cè)量細(xì)絲時(shí)，直徑隨著被測(cè)量衍射角增大而增大。再者，式（2）也是的基爾霍夫衍射理論解釋狹縫衍射現(xiàn)象結(jié)果，實(shí)際上亦被經(jīng)常提到作為理論模型。盡管在此之上作出了一些改進(jìn)2，但到目前為止沒有得到滿意的結(jié)果。本文設(shè)計(jì)方案的目的在于修改該理論和改進(jìn)測(cè)量精度。為了分析該模型的精度，我們給出數(shù)學(xué)推導(dǎo)如下。正如圖一所示，我們采用笛卡爾坐標(biāo)系，原點(diǎn)在孔中

3、心，x軸和y軸在處理平面上，z軸指向包含觀察點(diǎn)P的半空間。Q點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)源。我們知道在P1點(diǎn)的擾動(dòng)如下： （3）這里，是光波長(zhǎng)，為直線QP 與屏的垂面之間的夾角。此外，從圖一我們有 （4） （5）根據(jù)弗朗和費(fèi)衍射理論，孔的線度遠(yuǎn)小于和。于是，我們得到 （6） （7）忽略和的二次項(xiàng)和高階小量，將式（6）和式（7）代入（3）中，有 （8）在式（8）中，C是常數(shù)，。項(xiàng)，盡管是x、y的函數(shù)，把它看作常數(shù)而放在積分號(hào)前面。式（8）可以簡(jiǎn)化。讓孔成縫，縫寬為b且縫平行于y軸，則在垂直于縫方向上衍射強(qiáng)度可以用式（1）描述。如果滿足式（2）的條件，衍射強(qiáng)度減弱至最小。長(zhǎng)久以來這種數(shù)學(xué)模型用于聯(lián)機(jī)測(cè)量細(xì)絲直徑或者

4、狹縫寬度。然而，這種簡(jiǎn)化形式，尤其在衍射角較大的情況下，R看作常數(shù)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偏移量，因?yàn)镽對(duì)（x，y）的相關(guān)性隨著衍射角增大而增加。通常模型的簡(jiǎn)化和新模型的檢驗(yàn)另一方面，對(duì)于弗朗合費(fèi)衍射，和項(xiàng) 足夠小，所以我們將和按冪級(jí)數(shù)展開4： （9）忽略和的二次項(xiàng)和高階小量，我們得到： （10）在上面的式子中，為常數(shù)，。比較式（6）和式（7），這種推導(dǎo)更為合理，因?yàn)閦是獨(dú)立于（x，y）的變量。根據(jù)式（10），狹縫衍射極小的條件可以改進(jìn)為新的模型： m=， （11）式（2），即通常模型和式（11），即新模型都是在忽略高階小量的情況下根據(jù)基爾霍夫理論得來的。但在通常模型中，有一個(gè)額外的近似即R被看作常數(shù)。正如

5、圖二所示，測(cè)量狹縫寬度兩種模型之間的差別非常大，尤其在大衍射角度情況下。通模型一般用于測(cè)量狹縫寬度和細(xì)絲直徑。通常模型的一個(gè)優(yōu)勢(shì)在于剛好等于從狹縫邊沿到P點(diǎn)的光程差，那么弗朗和費(fèi)衍射可以簡(jiǎn)單地解釋。從數(shù)學(xué)上來看，式（11）比式（2）更為合理。然而，究竟哪一種模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更契合呢？我們將在下面給出答案。1. 實(shí)驗(yàn)1.1. 測(cè)量對(duì)象 模型（2）和（11）是由狹縫推導(dǎo)得出的。盡管根據(jù)巴俾列原理細(xì)圓柱體或細(xì)絲可以看作反狹縫，但有所區(qū)別，因?yàn)閳A柱體的表面并不在同一面上。實(shí)驗(yàn)的目的是確定那種衍射模型更適合測(cè)量細(xì)圓柱體直徑和狹縫寬度。因此，兩個(gè)狹縫，狹縫寬度用誤差為的光學(xué)顯微鏡校準(zhǔn)；兩個(gè)金屬圓柱體，其直徑

6、用誤差為的PBC-比較儀（INCO）5測(cè)量過。將該狹縫和細(xì)圓柱體作為標(biāo)準(zhǔn)物來產(chǎn)生衍射圖樣。狹縫是由用金屬涂層在邊沿附近涂黑表面的石英玻璃制成。兩個(gè)圓柱體是金屬的。表一有詳細(xì)介紹。1.2. 系統(tǒng)組成本系統(tǒng)用于光學(xué)衍射測(cè)量，主要由光源、透鏡和線形CCD組成（見圖三）。光源是發(fā)光二極管并伴有一些額外的光學(xué)元件，可以產(chǎn)生平行偏振光，波長(zhǎng)為，偏振方向不可控制。線形CCD像素為5000，尺度為，位于焦距的凸透鏡后焦平面上作為探測(cè)器。另外，CCD中心部分需遮擋以防止照射光強(qiáng)飽和。衍射圖樣在兩邊偏角從到可以被線形CCD探測(cè)到。1.3. 狹縫寬度測(cè)量為獲得測(cè)量結(jié)果，我們可以處理衍射圖樣然后計(jì)算。然而，在測(cè)量之前

7、有兩個(gè)問題必須解決。（i）由衍射圖樣得出的縫寬與衍射角無關(guān)。（ii）透鏡與CCD之間的光程必須校準(zhǔn)。到目前為止，還沒有比根據(jù)式（11），用縫1作為標(biāo)準(zhǔn)物來校準(zhǔn)它更好的方法。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)物我們測(cè)量了其他物體。兩個(gè)縫的測(cè)量結(jié)果在圖四、圖五中給出，由于大角度衍射情況下衍射圖樣質(zhì)量不好，狹縫寬度不能在整個(gè)范圍內(nèi)計(jì)算。實(shí)現(xiàn)表示通常模型的結(jié)果，而虛線（下邊）表示新模型的結(jié)果。在圖五里由新模型對(duì)縫2的測(cè)量結(jié)果與光學(xué)顯微鏡的測(cè)量結(jié)果相同就不足為奇了，因?yàn)橄到y(tǒng)參量是參考縫1校準(zhǔn)的。從圖四和圖五我們得出結(jié)論：（i）通常模型得出的結(jié)果比新模型得出的大；（ii）用通常模型計(jì)算出的縫寬隨著衍射角增大而增大，然而用新模型計(jì)算

8、出的縫寬幾乎不變；（iii）因?yàn)樾履Ｐ团c衍射角的相關(guān)性比通常模型稍小，所以新模型比通常模型與實(shí)驗(yàn)的一致性更好。1.4. 圓柱體直徑的測(cè)量圖六和圖七展示了由兩種模型測(cè)得的圓柱體衍射結(jié)果。我們也能夠總結(jié)出：（i）兩種模型計(jì)算出的直徑都比實(shí)際值大且隨著衍射角增大而增大；（ii）新模型得出的直徑和新模型與衍射角的相關(guān)性都比通常模型得出的小。還有，兩種模型測(cè)得曲線的線性都比狹縫差，因?yàn)閳A柱體的形狀和不平表面對(duì)衍射圖樣有所影響。結(jié)果比實(shí)際值大的可能原因：（i）細(xì)絲的衍射結(jié)果并不完全與狹縫相同；（ii）用INCO校準(zhǔn)的直徑僅僅是不同圓柱體截面直徑中的一個(gè)，所以由衍射測(cè)得的測(cè)量結(jié)果是平均值。表二詳細(xì)地給出實(shí)驗(yàn)

9、結(jié)果。結(jié)論理論和實(shí)驗(yàn)表明，新模型比通常模型更適合測(cè)量細(xì)絲直徑和狹縫寬度。測(cè)量細(xì)絲時(shí)，新模型比通常模型更貼切地符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。感謝本實(shí)驗(yàn)在德國(guó)Braunschweig PTB完成，當(dāng)時(shí)作者為PTB的訪問學(xué)者。我們要感謝PTB的F Luedicke博士、O Jusko博士和W Mirande對(duì)于我們實(shí)驗(yàn)的支持。參考書目【1】 Born M and Wolf E 1980 Principles of Optics (Oxford: Pergamon)【2】 Schmidt S 1976 Ein Beitrag zur Erklaerung der Lichtbeugung am metallischen Kreiszylinder PTB-Mitteilungen 86 23947【3】 Xing X, Li M, Ozono S, Kato J, Bai G, Zheng W and Li C 1987 High accuracy microdimension measurement system by using laser and CCD Measurement 5 914【4】 Goodman J 1968 Introduction