《二次根式》教材分析.docx

1、二次根式教材分析1一、本章地位與作用本章內容屬于“數與代數”的基礎內容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三類重要代數式，也是“實數”之后對“數”的認識的深化本章內容具有極強的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在為解二次方程做好準備；本學期安排本章在“勾股定理”之前，能為解任意直角三角形的三邊數值掃清障礙整式應用式分式勾股定理二次根式（解直角三角形）數算術平方根a(a 0)一元二次方程二、知識網絡歸納二次根式定義性質乘除運算最簡二次根式a (a0)加減運算* 同類二次根式三、課標及中考要求【課標要求】了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數

2、）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算（不要求進行根號下含字母的二次根式的四則運算，如a3b ，b2ab等）【中考要求】考試要求AB二次根式了解二次根式的概念，能根據二次根式的性質對代數式作簡單及其性質會確定二次根式有意義的條件變形；能在給定條件下，確定字母的值二次根式的理解二次根式的加、減、乘、會進行二次根式的化簡， 會進行二次根式化簡和運算除運算法則的混合運算（不要求分母有理化）1參考了之前幾次同題教材分析稿，例題也大多沿用之。四、課時安排建議21 1二次根式約 2課時21 2二次根式的乘除約 2課時21 3二次根式的加減約 34 課時數學活動與小結約2課時五、全章教學建

3、議1 注意本章內容的 “工具性”二次根式相關知識的學習是為后續(xù)勾股定理、二次方程的學習打基礎，因此應重點落實二次根式的性質、化簡和計算（特別是實數的化簡和計算）的準確性，提高學生的計算能力盡管課本中的例題相對簡單，但不要忽視它們在學生建立知識結構的過程所起的過渡作用非實驗班不建議在此補充涉及代數式化簡、運算技巧的內容（如分母有理化等），相應地，學探診測試6 第 6 題及之后的題目可不作為基本教學要求2 從提出二次根式的概念開始，就注意強化“二次根式在一定條件下才有意義”這一觀念避免教材第 7 頁小貼士“在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數”給學生帶來的誤解和誤導總有為數不少的學生將

4、二次根式有意義的“非負性”條件誤記為“正性”條件，可能與此有關3 注意對“實數”一章知識的復習，體現“數式通性”的原則；注意與“整式”、“分式”相關知識的聯(lián)系，相關結論可以類比記憶4 注意教材和學探診中，有些題目需要用到勾股定理，可先回避六、各小節(jié)教學建議211二次根式（ 1）實例引入，注意復習開平方、算術平方根的概念和符號表示（ 2）二次根式的形式定義：建議不要把精力放在辨別一個式子是否為二次根式上，而應該側重于理解被開方數是非負數 （不要誤記為正數）的要求例如，2 是二次根式嗎？按本人的理解，2 作為單獨一個數應屬于單項式，非二次根式學探診92 頁第 6 題：下列各式中， 一定是二次根式的

5、是： （ A）32(0.3)22x ，BCD（ ）（ ）（ ）答案 B本人認為題干應該改為“下列各二次根式一定有意義的是”總之，真正該提醒學生的是“數式通性”：如果被開方數是一個常數，那么它不可以是負數；如果被開方數含字母，那么它有取值范圍的限制（與分式類似）（ 3）二次根式（根號）的雙重非負性：a0, (a0) ；（ 4）教材要求掌握的公式： ( a )2a ( a0) ， a2a ( a 0) ，建議授課時提高要求，理解并掌握a 2aa(a 0)a(a0)a2 與 ( a ) 2 的對比： 運算順序不同： ( a )2是先求算術平方根再平方，a2是先平方再求算術平方根； a 的取值不同：

6、( a )2中 a 的取值是 a0 ，而 a 2中 a 的取值是任意實數； 運算結果不同： ( a )2= a （ a0 ）；a2=| a |a(a0)a(a0)（ 5）代數式的概念：建議適當補充一些代數式的書寫規(guī)范（如果之前沒有講過）例 1：當 x 是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？（ 1） x 1 ； （2） 1x ； （ 3）1； （4）1x1x1答案：（ 1） x 1； （ 2） x 1； （3） x1 ；（ 4） x0 且 x1 提高題：求下列函數解析式中自變量x 的取值范圍：（ 1） yx2 3 2x ；（2） yx 1；1x（ 3） y2 x1 ；（ 4） yx22x

7、2 | x |2答案：（ 1） 2x30 且 x1；（ 3） x12 ；（ 4）全體實數；（ 2） x且 x22例 2 ：若 x、 y 為實數，且 y x2 2x 3求 yx 的值（yx=9）例 3 ：判斷下列等式是否成立：(1) (19) 219()(2) (19) 219()(19)219()2a b()(3)(4)a b(5)( ab) 2a b()(6) aa2 (a0)().答案：（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）；（ 5）；（ 6）例 4 ：已知 a, b, c 為三角形的三邊，則(a bc)2(bc a) 2(b c a) 2= （ a b c ）212 二次根式的乘除（ 1

8、）從具體到抽象，歸納得出乘法公式：abab (a0, b0)理解二次根式乘除運算法則的合理性：可與an bn(ab)n 做形式上的類比；* 可以利用算術平方根的定義進行推理證明：222a 0, b 0 ， a bab a babab 且從公式的適用范圍看，包括了某些字母取0 的情況；為降低難度，如果遇到純二次根式化簡問題，可以默認為字母都表示正數；當涉及字母的取值范圍問題時，不能認為字母都是正數（ 2）公式的逆用：abab (a0, b0) ；能利用這條性質對二次根式進行化簡注意學生不易理解“開得盡方的因數或因式”的含義，教材在第8 頁小貼士的解釋：可以開方后移到根號外的因數或因式在這里，不妨

9、多舉一些例子，讓學生明確在化簡時，一般先將被開方數進行因數分解或因式分解，然后再將能開得盡方的因數或因式開出來初步總結乘法運算的結果應滿足以下兩個要求：結果是一個二次根式，或單項式乘以二次根式；也可能沒有根號，只是單項式；根號下不再有 “開得盡的因數或因式”（ 3）除法公式及逆用：aa (a 0,b0) ，aa ( a 0, b 0)bbbb注意 b 0 的條件；anan得出此公式；可以通過歸納、或證明、或類比bbn對于二次根式的除法運算和二次根式的化簡，應讓學生一題多解，一方面是熟悉二次根式性質、運算法則和方法，另一方面，通過一題多解，總結做題經驗，使運算更靈活、更簡潔如3335151533

10、51515555 552；555 (5)25588 2a4 a 2 a82 222 a2 a2a2a2a2a；2a2 aaa aaa又如 2121212222 ；22222211(2) 22； 2122112 22222422如果學生覺得不易靈活運用，也可總結為更易操作的“算法”：a 型即a 型，所有a 的轉化為aabab 再化簡；bbbbbbb或者：a 型即a型，所有的a 轉化為abab 再化簡bbbbbb用具體的實例歸納總結出把一個二次根式化為最簡二次根式的方法技巧如：當被開方數較大時，可用分解因數的辦法將被開方數盡可能寫成完全平方數的乘積形式至此學生應能對12,1 , 12.5, 等常見

11、數值進行化簡3總之，學生在化簡運算的簡潔性和準確性上都容易出現問題，因此建議在教學過程中先要求學生觀察二次根式的特點，根據其特點分析運用哪條性質、哪種方法來解答，每步運算的根據的什么，培養(yǎng)學生的分析能力和觀察能力，以及計算的目的性和條理性（ 4）最簡二次根式的概念：不要求學生背出定義，關鍵是遇到實際式子能夠加以判斷，讓學生在練習中熟悉這個概念，同時明確二次根式的運算結果應化為最簡二次根式例 5：計算：（ 1）35； （2）127314274451）3； （； （ ）5例 6：化簡：（ 1）8 ；（ 2）12 ；（ 3）18 ；（ 4）24（5） 28 ；（6） 32 ；（7） 48 ；（8）

12、50 ；（ 9）16ab2c3；（10） 35 210 例 7：計算：（ 1）24；（ 2）31；（ 3）3；（ 4）25 y；32181009x2（ 5）1 ；（6） 32 ；（ 7）1 ；（8）3 2； （9）8 238272a例 8：計算：（ 1） 22312 ；（ 2）75( 612) 例 9：已知21.414 ，求 200,0.0002,10.72 的近似值（保留3 個有效數字） ,8213二次根式的加減（ 1）教材采用了“被開方數相同的最簡二次根式”的說法；為簡潔明了，建議還是類比同類項的概念給出“同類二次根式” 的概念，能通過實例判斷幾個二次根式是不是同類二次根式， 注意強調先化

13、簡的重要性 例如，分成幾個小問題： 把被開方數都是整數的放在一個小題中， 把被開方數都是分數的放在一個小題中， 把被開方數帶有簡單字母的放在一個小題中， 把字母次數略高于2 的放在一個小題中， 使問題的解決有一個由淺入深的漸進過程，最終再給出類似a21 和 12a3 的例子3a（ 2）明確二次根式的加減法運算的實質就是合并同類二次根式，這與整式加減的實質類似加減法的練習也同樣可細分成幾個層次進行教學例如： 不需要化簡能直接進行相加減的， 需要化簡但被開方數都是簡單整數的， 被開方數都是有理數但既有整數又有分數的， 被開方數含有字母的，等等加減運算中常出現的錯誤類型有： 運算結果含有28 或類似

14、的式子； 運算過程中有49 23或313 或類似的問題；44 運算過程中有235或 11222 或類似的問題33（ 4）二次根式的混合運算教材利用小貼士類比了它與實數、整式運算的聯(lián)系:第 14 頁 : “在有理數范圍內成立的運算律，在實數范圍內仍成立”；第 17 頁 : “在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用”分析式子結構，明確運算順序；關注乘法公式和運算律的應用；計算少跳步，避免類似535 316， 222=8 之類的典型錯誤例 10計算：（ 1） 82（2） 4545842（ ）281181 32；（ 4）212 413 48；32427（5） 8322（ 6） ( 1)0

15、12312（7） 18280（8） 2412216225 1238例 11計算：（1） (5 48627415)3（ 2） (6 x2x1 )3 x4x（3）1 10(315 56)（4）33 26 3152（5）( 848)( 212)( 23) 2（6） (2332 )(233 2 )（7） (4 3 5)2（8） (56)(5 2 2 3)（9） (310)15 (310)15（10） (2 3326)(23 326)(11)21(31)（12） 2ab5(3a 3b )3b31b2a22（ 13） (4ba 23) (3b9 )（ 14）1313ba baab22aa2222（15）1

16、2131213（ 16） ab a b a b2 （ a 0， b 0）bab a例 12一個長方體的長為2 2cm ，寬為3cm ，高為2cm ，則它的表面積為cm2 ，體積為cm3 （ 86 6，4 3）例 13若8 11的整數部分是a，小數部分是 b，則 2abb2（ 5）章節(jié)復習及綜合（ 1）條件求值類題目：例 14甲、乙兩人對題目“求值：11a 22 ，其中 a1”有不同的解答，aa 25甲的解答： 11a221( 1a)211a2a49，aa2aaaaa5乙的解答： 11a221( a1 ) 21a1a1 ，aa 2aaaa5誰的解答是錯誤的？為什么？例 15（ 1）如果 ab4a

17、2b5 ，那么 a2b=_（ 2）若實數x，y 滿足x2y223 y30 ，則 xy 的值是 例 16 已知 : a110， 求 a212 的值 （6）aa 已知:x175，y12xy + y2的值11）275 ， 求 x（22（ 2） 尋找規(guī)律、現場學習類：例 17已知下列等式：991910，9999199100 ，999 99919991000 ， 根據上述等式的特點，請你寫出第四個等式，并通過計算驗證等式的正確性； 觀察上述等式的規(guī)律，請你寫出第n 個等式（允許寫成 9999 的形式）n個 9例 18觀察下列等式：12121；13232 ；21(21)(21)32 ( 32)( 32)1

18、4343 ；43(43)(43)回答下列問題： 利用你觀察到的規(guī)律，化簡：1；2322 計算：111.1（ 9）22332199100例 19有這樣一類題目：將a2 b 化簡，若你能找到兩個數m 和 n ，使m2n2a 且 mnb ，則a2 b 可變?yōu)?m2n22mn ，即變成 (mn)2 開方，從而使得a2b 化簡例如：5 26=3 2 26=(3)2( 2)2223(32)2，526(32) 232請仿照上例解下列問題：（ 1）52 6；（2） 4 23七、 * 拓展專題（ 1）分母有理化：例 20化簡：1，1，31 ，ab()323231aa bb例 21計算：111.1)( 2008 1)(13243200822007（ 2）二次根式比較大小：例 22比較大?。海?1）3 與 2 2 （平方法）（ 2） 5 7 與 6 5 （被開方數）（ 3）1與1（分母有理化）7553