直線方程一般形式教案

1、 直線方程的一般形式教學(xué)設(shè)計(jì)一 教材分析1直線是最簡(jiǎn)單的幾何圖形，它是研究各種運(yùn)動(dòng)方向和位置關(guān)系的基本工具。直線方程是學(xué)習(xí)圓錐曲線方程和其他知識(shí)的基礎(chǔ)。本章教材是學(xué)生在初中掌握了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)的圖象及高一掌握了三角函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對(duì)高二學(xué)生來(lái)說(shuō)是容易掌握的。2 兩點(diǎn)可以確定一條直線，給出一點(diǎn)和直線的方向也可以確定一條直線，由兩個(gè)獨(dú)立條件選用恰當(dāng)形式可求出直線方程并統(tǒng)一寫(xiě)成一般式。由于直線方程的幾種特殊形式都有局限性，有必要引進(jìn)一般式。直線的一般式方程中字母常數(shù)的幾何意義不很鮮明，常常要將直線方程的一般式化為斜截式和截距式，所以本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握直線方程的一般式及各種形式互化的方法

2、。3直線方程的形式雖然不止一種，但從方程的類(lèi)型來(lái)看本質(zhì)是相同的，其方程的類(lèi)型都是二元一次方程，使學(xué)生從直觀到理論來(lái)認(rèn)識(shí)坐標(biāo)平面上直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由于直線與直線的方程是解析幾何中曲線與方程概念的首次展現(xiàn)，所以曲線與方程的概念在這一節(jié)教學(xué)中要求不能太高，通過(guò)今后的教學(xué)逐步加深理解。本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵是掌握直線方程各種形式的互化方法。二 教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生經(jīng)歷直線方程一般式的推導(dǎo)過(guò)程，從一般式中實(shí)現(xiàn)直線點(diǎn)斜式，斜截式，截距式的相互轉(zhuǎn)化，以及了解他們之間的相互轉(zhuǎn)化。2.在直線一般式方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于用到分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，所以，進(jìn)一步向?qū)W生貫徹分類(lèi)討論的學(xué)習(xí)思想。3.繼續(xù)加強(qiáng)學(xué)生的觀

3、察，理解，歸納，和總結(jié)能力。三教學(xué)重點(diǎn)：1. 直線方程一般形式的推導(dǎo)過(guò)程，即如何運(yùn)用直線斜截式(斜率K存在的情況)，和X=C（K不存在）的情況得出我們直線方程的一般形式：AX+BY+C=0.2. 在得出了直線方程一般形式的情況下，怎么用一般形式表示出我們的幾種特殊直線方程，比如：X=C ，Y=C等特殊直線。3. 幾種特殊直線方程和一般形式的相互轉(zhuǎn)化。 四教學(xué)難點(diǎn)：1. 直線方程的推導(dǎo)，二元一次方程與直線一般式方程之間的聯(lián)系， 分類(lèi)討論過(guò)程和總結(jié)過(guò)程。2. 一般式方程與特殊方程之間的轉(zhuǎn)化。3. 利用一般式方程表示特殊直線方程。五，教學(xué)過(guò)程： 師：我們已研究過(guò)直線方程的4種形狀，請(qǐng)敘述這4種直線方

4、程，并各舉一例，而且請(qǐng)指明它們的條件及應(yīng)用范圍。 (學(xué)生回答，教師打出投影片。見(jiàn)表三) 師：在平面內(nèi)任意給定一條直線一定可以用以上4種形式之一來(lái)表示嗎? (提出問(wèn)題，再次突出4種直線方程的不足。) 生：不一定。 (引起學(xué)生的反思：研究了4種直線方程但并不能表示平面內(nèi)任一條直線，是不是。從而呼喚有一種直線方程能表示平面內(nèi)的任一條直線。) 師：是否有另一種直線方程能表示平面內(nèi)任何一條直線?如果這樣的直線方程存在，我們可以把它叫做。 生：（看書(shū)后回答），直線方程的一般形式-引出課題，并且寫(xiě)在黑板上。 此時(shí)，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察，幾種特殊的直線方程，發(fā)現(xiàn)他們都含有兩個(gè)未知數(shù)X和Y，并且都是一次的，所以直線

5、特殊形式都是關(guān)于X和Y的二元一次方程。 教師不失時(shí)機(jī)的提問(wèn)：也就是說(shuō)我們關(guān)于x，y的二元一次 方程都綜合了我們幾種特殊直線的一些特點(diǎn)，那它是不是我們尋找的直線方程的一般形式呢？ 在學(xué)生的思考下，提出我們開(kāi)始推導(dǎo)。 師提問(wèn)：我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線的表示的時(shí)候，我們是不是平面上的直線可以通過(guò)兩種情況把它們表示出來(lái)，自己與學(xué)生一起回答：第一種斜率存在的時(shí)候，Y=kX+b，第二種斜率不存在的時(shí)候，X=c 老師此時(shí)在黑板上畫(huà)出兩種直線的幾何形式 開(kāi)始推導(dǎo)， 師： 那我們能不能把他們給轉(zhuǎn)化為我們的二元一次方程的形式呢? 抽學(xué)生起來(lái)回答，并且要求學(xué)生在草稿紙上做。 學(xué)生回答能夠推出， 教師開(kāi)始利用利用學(xué)生的結(jié)果在黑

6、板上演算，并且得出能夠?qū)崿F(xiàn)把我們斜率存在的直線方程轉(zhuǎn)化為我們的二元一次方程，緊接著討論斜率不存在的情況。同樣的得出結(jié)論。反過(guò)來(lái)，我們推導(dǎo)二元一次方程表示我們的特殊直線師：AX+By+C=0總表示直線嗎?若是，它又表示怎樣的直線，我們?cè)撛趺慈パ芯? 生：根據(jù)A、B、C不同的取值來(lái)討論。 師：分類(lèi)討論都要有個(gè)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，此處以什么為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類(lèi)好呢? (學(xué)生討論鑒別，最后總結(jié)。) 生：根據(jù)直線斜率存在不存在兩種情況來(lái)看，可以以B等不等于零來(lái)分類(lèi)。 師：好，請(qǐng)你做一做。 生：1)若B0，方程AX+By+C=0可以移項(xiàng)，然后兩邊同除以B得，它就是直線方程的斜截式，表示斜率為的直線。 2)當(dāng)B=0時(shí)，方程

7、AX+By+C=0變?yōu)锳X+C=0。 若A0，則方程變?yōu)楸硎拘甭什淮嬖诘闹本€。 若A=0，而此時(shí)就得看C了。 i)若C0，方程即為0x+0y+C=0，矛盾方程，沒(méi)有圖象。 ii)若C=0,方程即為0x+0y+0=0，。 師(追問(wèn))：此時(shí)Ax+By+C=0它表示什么圖形? (升華，把學(xué)生的思維積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，并且使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的把握不停留在表面，而是讓學(xué)生積極挖掘一個(gè)看似簡(jiǎn)單知識(shí)的深刻內(nèi)涵。) 生1：沒(méi)想好。 生2：0x+0y+0=-0，對(duì)任意的x、yR都是成立的，因此它可表示平面內(nèi)的任一點(diǎn)，也就是說(shuō)這個(gè)方程此時(shí)可表示整個(gè)坐標(biāo)平面。 師：解釋得非常好。 (以上的討論過(guò)程可視學(xué)生的情況具體操作。)

8、師：從上面的討論過(guò)程看，AX+By+C=0到底何時(shí)表示直線呢? (觀察，總結(jié)。) 1)B0，A0，2)B0，A=0，3)A0，B=0這3種情形下都表示直線。 即A或B0，即A、B中至少一個(gè)不為零。 結(jié)論：當(dāng)A、B不全為零時(shí)，AX+By+C=0表示直線。并且它可以表示平面內(nèi)的任一條直線。 師：是否可以說(shuō)直線方程的一般形式是AX+By+C=0，其中A、B不全為零。它可以表示平面內(nèi)的任一條直線? 學(xué)生：還需證明。 師生共同分析要證哪些方面： (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任何直線的方程都可表示成AX+BY+C=0(A、B不全為零)的形式。 (2)方程AX+By+C=0(A、B不全為零)可表示平面直角坐標(biāo)系

9、內(nèi)的任意一條直線。 (證明過(guò)程可視學(xué)生的具體情況而適當(dāng)給予分析引導(dǎo)，或可讓學(xué)生課下自行證明。) 生：證明：1)平面內(nèi)的所有直線都可分為兩類(lèi)：傾斜角a90，直線的斜率K存在，故直線可表示為y=kX+B，即KXY+B=0的形式，傾斜角a=90，直線的斜率K不存在，直線可表示為x=a，即xa=0。 由可知，平面直角坐標(biāo)系中的任一直線的方程都可表示成Ax+by+C=0(A、b不全為零)的形式。故(1)得證。 (2)已知方程ax+by+C=0(A、B不全為零)，由以上的分析討論可知： 1)當(dāng)b0時(shí)，方程可化為y=，這是直線的斜截式，它表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)斜率存在的任意直線。 2)當(dāng)b=0時(shí)，由于A、B不

10、同時(shí)為零，所以A0。此時(shí)AX+BY+C=0可化為X=，它表示平面內(nèi)斜率不存在的任意直線。 由1)、2)可知，方程AX+By+C=0(A、B不全為零)可表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線。 師：經(jīng)過(guò)同學(xué)們的共同探索，我們得到結(jié)論：直線方程的一般形式存在(去掉前面畫(huà)的問(wèn)號(hào))，且是AX+By+C=0(A、B不全為零)這樣的二元一次方程。 師：從上面的討論、證明過(guò)程我們可以看到直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式與直線方程的一般式是相互聯(lián)系的。直線方程的各種特殊形式都可化為一般式，而直線方程的一般式也可以化為某種特殊形式。教師給出總結(jié)如下表；有了以上分析，我們來(lái)練習(xí)鞏固一下 例1 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

11、(4，6)，斜率為，求直線的點(diǎn)斜式；一般式；截距式。 解 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，6)并且斜率為的直線的點(diǎn)斜式是： 化成一般式，得3X4y12=0， 化成截距式得。 例2 把直線L的方程X2y+6=0化成斜截式，求出直線L的斜率和在X軸與y軸上的截距，并畫(huà)圖。 解 直線L：X2y+6=0化成斜截式得，所以直線L的斜率，L在y軸上的截距B=3，在X軸上的截距a=-6。如圖123。 (以上兩個(gè)例題可由學(xué)生自己完成，教師打出投影片，并提醒學(xué)生注意。) (1)要求直線的斜率和縱截距，應(yīng)化成斜截式；要求直線的橫截距和縱截距，應(yīng)化成截距式或用分別令x=0和y=0的方法來(lái)求。 (2)在畫(huà)一條直線時(shí)，通常是用直線與兩個(gè)

12、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，這樣較為方便。 例3 直線方程ax+by+C=0的系數(shù)A、B、C滿足什么關(guān)系時(shí)，這條直線：(1)與坐標(biāo)軸都相交；(2)只與x軸相交；(3)是X軸；(4)是一、三象限角平分線。 (此例目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)字母系數(shù)的各種可能情形的認(rèn)識(shí)及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力。) 解(1)A0，B0時(shí)，與坐標(biāo)軸都相交(畫(huà)草圖)。 (2)B=0，A0時(shí)，只與x軸相交(畫(huà)草圖)。 (3)當(dāng)B0，A=C=0時(shí)，是X軸。 (4)當(dāng)A=B，C=0時(shí)，是一、三象限角分線。 例4 把直線L的方程MX+2Y4=0化成點(diǎn)斜式，求出直線L的斜率，并指出對(duì)任意m值，直線L的共同特征。 分析 把MX+2Y4=0化成點(diǎn)斜式可以有很多種形式，但要指出L的特征，無(wú)論m取何值，L都有不受影響的特點(diǎn)，因此可以想到把MX稱到等式的右邊得2y-4=-MX，2(y-2)=-MX，