數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)

1、數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)第一章 緒論1.1 主要內(nèi)容誤差的來(lái)源與分類(lèi)：計(jì)算誤差，截?cái)嗾`差（方法誤差）誤差和誤差限的概念及計(jì)算：絕對(duì)誤差，絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差，相對(duì)誤差限.有效數(shù)位，有效數(shù)字的判斷代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差，誤差的傳播等概念 . 1.2 例題分析例1 近似值45.0的誤差限為（ ）。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.解 因 ，它為具有3位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限為 。所以，答案為B.例2 已知 求近似值的誤差限，準(zhǔn)確數(shù)字或有效數(shù)字。解 由 誤差限為.因，由定義知具有4位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到位的近似數(shù)。例3 已知近似數(shù)求的誤差限和準(zhǔn)確數(shù)位。解 因， 所以 準(zhǔn)確到位。則準(zhǔn)

2、確到位。1.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)建立積分的遞推關(guān)系，并在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)解題提示：由。建立下列兩種遞推公式：（A） （B），討論數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性第二章 插值法2.1 主要內(nèi)容設(shè)函數(shù)在上連續(xù)。已知它在上個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的值，如果多項(xiàng)式在點(diǎn)上滿(mǎn)足，則稱(chēng)是函數(shù)的插值多項(xiàng)式。一、拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法。拉格朗日插值多項(xiàng)式包括線(xiàn)性插值多項(xiàng)式、拋物線(xiàn)插值多項(xiàng)式和次插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式為：，其中基函數(shù)的公式為： 余項(xiàng)公式為拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算步驟:準(zhǔn)確計(jì)算插值基函數(shù)，并化簡(jiǎn)； 代入拉格朗日插值多項(xiàng)式公式正確求出插值多項(xiàng)式； 求出結(jié)果后，可以用進(jìn)行驗(yàn)算； 根據(jù)余項(xiàng)公式進(jìn)行誤

3、差估計(jì)，如果要估計(jì)誤差，須知道函數(shù)的表達(dá)式。二、牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式是一種重要的計(jì)算插值多項(xiàng)式的方法。在學(xué)習(xí)時(shí),應(yīng)掌握節(jié)點(diǎn)數(shù)較少的牛頓插值多項(xiàng)式的計(jì)算。牛頓插值多項(xiàng)式公式為 其中k階差商的計(jì)算公式為：牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)公式為牛頓插值多項(xiàng)式的計(jì)算步驟:（1）利用階差商的計(jì)算公式準(zhǔn)確計(jì)算各階差商，并化簡(jiǎn)（2）代入牛頓插值多項(xiàng)式公式正確計(jì)算出插值多項(xiàng)式（3）求出結(jié)果后，可以用進(jìn)行驗(yàn)算 在計(jì)算插值多項(xiàng)式時(shí), 牛頓插值多項(xiàng)式的計(jì)算量比拉格朗日插值多項(xiàng)式的計(jì)算量要小。因?yàn)閼?yīng)用牛頓插值多項(xiàng)式時(shí)，可以避免拉格朗日插值多項(xiàng)式在計(jì)算時(shí),每增加或改變節(jié)點(diǎn)時(shí)需要重新計(jì)算插值基函數(shù)的缺陷，而只需要在已知的多項(xiàng)

4、式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)即可。三、埃爾米特插值多項(xiàng)式 埃爾米特插值多項(xiàng)式又稱(chēng)為帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式,即在節(jié)點(diǎn)處既要求函數(shù)值和已知函數(shù)值相等又要求導(dǎo)數(shù)值和已知導(dǎo)數(shù)值相等，且埃爾米特插值多項(xiàng)式的精度較高。(1)兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式公式為：(2)一般埃爾米特插值多項(xiàng)式公式為： 其中和是拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。埃爾米特插值余項(xiàng)公式為：四分段插值多項(xiàng)式（1）分段線(xiàn)性插值多項(xiàng)式公式 分段線(xiàn)性插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式 ，其中 (2) 分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式 分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式公式為 分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式為 其中2.2 例題分析例1 已知用線(xiàn)性插值計(jì)算，并估計(jì)誤差。解 取最接近的兩

5、點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)插值基函數(shù)分別為 故有 下面估計(jì)誤差 因?yàn)?所以 例2 已知數(shù)表123求拋物（二次）插值多項(xiàng)式及近似值137解 作差商表：一階差商二階差商112323741 代入牛頓插值多項(xiàng)式得： 故 例3 已知的函數(shù)表012求在0，2內(nèi)的零點(diǎn)近似值8-7.5-18解：因?yàn)殛P(guān)于嚴(yán)格單調(diào)減少，用反插值法求零點(diǎn)的近似值比較簡(jiǎn)單，具體作法如下：先作反函數(shù)表 X8-7.5-18Y012 將節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)函數(shù)值代入二次拉格朗日插值多項(xiàng)式，再令,得 于是得在內(nèi)零點(diǎn)值得注意的是，只有所給函數(shù)（或函數(shù)表）在 上嚴(yán)格單調(diào)情況下，才能使用反插值方法，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。例4: 求滿(mǎn)足條件x12試用兩點(diǎn)三次埃爾米特

6、插值求埃爾米特插值多項(xiàng)式y(tǒng)23y/1-1解 【思路】根據(jù)所給條件代入兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式公式。2.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)給定,取節(jié)點(diǎn),()，構(gòu)造牛頓插值函數(shù)計(jì)算點(diǎn) 處的值，并繪制圖形與比較。 第三章 函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合3.1 主要內(nèi)容設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。已知它在上個(gè)互異的點(diǎn)處的值。構(gòu)造一個(gè)反映函數(shù)值變化規(guī)律的)次多項(xiàng)式，使得它在處的函數(shù)值與觀測(cè)值的偏差的平方和最小，即,使 取最小值。稱(chēng)是函數(shù)的最小二乘多項(xiàng)式，稱(chēng)為的權(quán)函數(shù)。最小二乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法:1根據(jù)已知數(shù)據(jù)的分布情況選擇擬合多項(xiàng)式2將數(shù)據(jù)代入法方程組中,求出擬合多項(xiàng)式的系數(shù)和具體形式.3. 還可以利用該多項(xiàng)式估計(jì)其它點(diǎn)的函數(shù)擬合值3.2 例題分

7、析例1測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下表，試用直線(xiàn)擬合這組數(shù)據(jù)1.41.51.61.71.81.92.02.11.71.791.881.952.032.102.162.21【思路】利用所給數(shù)據(jù)計(jì)算出最小二乘多項(xiàng)式法方程組所需要的數(shù)值，代入法方程組求出相關(guān)的參數(shù)，再寫(xiě)出擬合方程。解：列表法計(jì)算Iyii012345671.41.51.61.71.81.92.02.11.71.791.881.952.032.102.162.211.962.252.562.893.243.614.004.412.3802.6853.0083.3153.6453.9904.3204.64114.0015.8224.9227.984代入

8、法方程組，則所求直線(xiàn)擬合方程為 求解矛盾方程組: 矛盾方程組是指一組無(wú)精確解的方程組。求解矛盾方程組就是求出使每個(gè)方程組的偏差的平方和最小的解的過(guò)程。另法：也可以將計(jì)算的相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式算出 直線(xiàn)擬合方程為 例2 已知數(shù)表件123求最小二乘一次式。3.87.210解: 設(shè)最小一次式為，由系數(shù)公式得： 于是有法方程組 解法方程組得，。所以所求最小二乘一次式例3 求下列矛盾方程組的最小二乘解:解：令 由 ，得法方程組 解得，所以最小二乘解為，3.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)已知一組數(shù)據(jù)如下，求它的線(xiàn)性擬合曲線(xiàn)。1234544.5688.521311第四章 數(shù)值求積4.1 主要內(nèi)容內(nèi)插求積公式及其余項(xiàng).代數(shù)精確度的

9、概念及計(jì)算.牛頓-柯特斯求積公式梯形公式、辛普森公式及余項(xiàng).復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛卜生公式及余項(xiàng).龍貝格積分法一、內(nèi)插求積公式及余項(xiàng) 數(shù)值積分是為了解決用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算積分的局限，即用牛頓-萊布尼茲公式難以計(jì)算或無(wú)法計(jì)算的函數(shù)f(x)在a,b上的精確積分值，通過(guò)構(gòu)造內(nèi)插求積公式，把求解f(x)的精確積分值轉(zhuǎn)化為求解f(x)的近似積分值的一種積分方法。內(nèi)插求積公式為： 余項(xiàng)公式為： 內(nèi)插求積公式的步驟： 1.計(jì)算內(nèi)插求積公式系數(shù)（其中是較簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式積分），或函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 2.利用系數(shù)和來(lái)構(gòu)造內(nèi)插求積公式（即和的某種線(xiàn)性組合），求出函數(shù)在區(qū)間上的近似積分值3.并估計(jì)積分余項(xiàng)（余項(xiàng)）

10、。二、龍貝格算法龍貝格算法利用外推法，提高了計(jì)算精度，加快了收斂速度。 對(duì)每一個(gè)從2做到，一直做到小于給定的精度是停止計(jì)算。其中（復(fù)化梯度求積公式），龍貝格算法計(jì)算步驟步驟1：輸入?yún)^(qū)間端點(diǎn)，精度控制值，循環(huán)次數(shù)，定義函數(shù)取， 步驟2：for to 步驟3：數(shù)據(jù)積分近似值。4.2 例題分析例1 在區(qū)間上，求以為節(jié)點(diǎn)的求積公式，并判斷代數(shù)精度。解： 由系數(shù)計(jì)算公式得 以求積公式為由于此公式為3個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式，代數(shù)精度至少為2。 令，代入求積公式得 ，代入求積公式得，所以此公式具有3次代數(shù)精度。例2 用梯形公式和的復(fù)化梯形公式求積分，并估計(jì)誤差。解： 1 梯形公式 因?yàn)?，代入梯形公式得 則

11、2 復(fù)化梯形公式 因?yàn)?和復(fù)化梯形公式得 因?yàn)?， ， 所以 例3 用辛普森公式和復(fù)化辛普森公式,計(jì)算積分 ，使誤差小于解 1、辛普森公式 因?yàn)?，代入辛普森公式?2、復(fù)化辛普森公式 因?yàn)榻獠坏仁?得 ，用，復(fù)化辛普森公式計(jì)算得 4.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)用龍貝格算法計(jì)算：第四章 線(xiàn)性方程組直接解法4.1 主要內(nèi)容求解階線(xiàn)性方程組的根（即方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等的線(xiàn)性方程組） 一、高斯消元法高斯消元法的基本思想：通過(guò)對(duì)線(xiàn)性方程組的進(jìn)行同解消元變換（也可以用矩陣的初等行變換法進(jìn)行線(xiàn)性方程組的消元變換），將線(xiàn)性方程組化為上三角形方程組，然后用回代法求出此線(xiàn)性方程組的解。高斯消元法計(jì)算公式： 利用高斯消元

12、法進(jìn)行消元時(shí)，消元過(guò)程能進(jìn)行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為零?；蛞螅?則消元法過(guò)程無(wú)法進(jìn)行；若雖然，但很小，用它作除數(shù)，會(huì)引起很大的誤差。所以為了減小舍入誤差、提高數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，通常采用選主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法）。二、列主元消元法列主元消元法的計(jì)算步驟： 在進(jìn)行第步消元時(shí)，首先在第列下面的個(gè)元素中選取絕對(duì)值最大的元素作為列主元素，然后將列主元所在方程與第個(gè)方程交換位置，再按照高斯消元法進(jìn)行消元、回代計(jì)算。4.2 例題分析例1 用列主元消元法的方程組解：第1列主元為3，交換第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元為交換第2、3方程位置后消元得 回

13、代解得 例2 將矩陣A進(jìn)行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解） 其中解：將矩陣進(jìn)行三角分解，應(yīng)用矩陣乘法和矩陣相等原則（或代入公式得） 則矩陣的Doolittle分解為 因?yàn)閷?duì)角陣，則所以矩陣的LDU分解為 矩陣的Crout分解為例3 用緊湊格式求解方程組解：（1）將矩陣進(jìn)行三角分解，由上例得： 矩陣的三角分解為（2）解方程組（3）解方程組 所以 4.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)求解下列兩個(gè)線(xiàn)性方程組，并對(duì)結(jié)果加以比較1 2. 第五章 線(xiàn)性方程組的迭代解法5.1 主要內(nèi)容向量和矩陣范數(shù)的概念及其性質(zhì)、譜半徑、條件數(shù)和線(xiàn)性方程組的性態(tài)雅可比迭代法高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗啃缘呐卸ㄒ?、向量?/p>

14、范數(shù)和性質(zhì)1. 維向量的范數(shù)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。常用的三種向量的范數(shù)為： 2向量范數(shù)的性質(zhì) 3.向量序列的收斂 （1）若是一向量序列， 對(duì)有則稱(chēng)向量為向量序列 的極限，或稱(chēng)向量序列依坐標(biāo)收斂于向量，記作 （2）向量序列依坐標(biāo)收斂于向量X*充要條件是向量序列是依范數(shù)收斂于向量X*，即二、矩陣的范數(shù)和性質(zhì)1若是階方陣，是一種向量范數(shù)，滿(mǎn)足下列條件：（1），僅當(dāng)時(shí)，有（2）對(duì)任意數(shù)，有，（3）（4）（5）對(duì)任意向量X，有三種常用矩陣范數(shù)為： 三、譜半徑和線(xiàn)性方程組的性態(tài)1.譜半徑：若矩陣的特征值,稱(chēng)為的譜半徑。 性質(zhì)：（1）若A為n階矩陣，為A的任一范數(shù)，則有 （2）對(duì)任給0，則存在范 ，使得 說(shuō)明：可

15、以用譜半徑討論迭代法的收斂性問(wèn)題。2. 線(xiàn)性方程組的性態(tài) （1）假設(shè)系數(shù)矩陣A是精確的，且非奇異，則右端向量b的誤差對(duì)解的影響 設(shè)是的誤差，而是的誤差，所以當(dāng)時(shí)，則有 （2）假設(shè)右端向量b是精確的，則系數(shù)矩陣A的誤差對(duì)解的影響設(shè)是的誤差，而是的誤差，則有 （3）方陣的條件數(shù)若是階非奇異矩陣,稱(chēng)數(shù)為A的條件數(shù)。記作條件數(shù)具有下列性質(zhì) ，為非0常數(shù)系數(shù)矩陣的條件數(shù)能反映線(xiàn)性方程組的解對(duì)于初始數(shù)據(jù)誤差的敏感程度，當(dāng)很大時(shí)，則系數(shù)矩陣A的微小相對(duì)誤差或右端向量的微小相對(duì)誤差，可能使解產(chǎn)生相當(dāng)大的相對(duì)誤差，則稱(chēng)方程組是病態(tài)的；當(dāng)較小時(shí)，則系數(shù)矩陣A的微小相對(duì)誤差或右端向量的微小相對(duì)誤差，不會(huì)使解產(chǎn)生大的

16、相對(duì)誤差，則稱(chēng)方程組是良態(tài)的。四、雅可比迭代法線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣為非奇異矩陣，且的所有對(duì)角元, 則由克萊姆法則知，線(xiàn)性方程組存在唯一的解，利用雅可比迭代法公式進(jìn)行迭代計(jì)算，可求得線(xiàn)性方程組的近似解。 雅可比迭代法公式： 1.方程組形式： 2.矩陣形式： 將系數(shù)矩陣分解為，其中分別為矩陣A的嚴(yán)格下三角部分，嚴(yán)格上三角部分和對(duì)角部分 雅可比迭代法矩陣形式為：其中雅可比迭代矩陣五、高斯-塞德?tīng)柕ǜ咚?塞德?tīng)柕ü剑?1.方程組形式： 2. 矩陣形式： 其中高斯-塞德?tīng)柕仃?六 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣 設(shè)為階方陣，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)A為對(duì)角占優(yōu)矩陣； 若上式中不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣

17、。七 收斂性的判斷方法 1. 若線(xiàn)性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法收斂，且有誤差估計(jì)式 2.若線(xiàn)性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗?，且高?塞德?tīng)柕ǖ恼`差估計(jì)式為 3.若系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗俊?.2 例題分析例1 已知矩陣 ，求它的三種常用范數(shù)。解： 例2 用雅可比迭代法求解線(xiàn)性方程組 解：原方程組同解變形為： 雅可比迭代公式為： 選取初始值迭代計(jì)算，列表如下：00.000000.000000.0000010.720000.830000.8400020.971001.070001.15000

18、31.057001.157101.2482041.085351.185341.2828251.095101.195101.2941461.098341.198341.2950471.099441.199811.2993481.099811.99911.2997891.099941.199941.29992取方程組的近似值為 比較兩種解法，一般地，高斯-塞德?tīng)柕ū妊趴杀鹊ê茫灿懈咚?塞德?tīng)柕妊趴杀鹊諗柯?，甚至雅可比迭代法收斂而高?塞德?tīng)柕ú皇諗?。? 用高斯塞德?tīng)柗ń夥匠探M證明高斯塞德?tīng)柗ㄊ諗?；?xiě)出高斯塞德?tīng)柗ǖ?；取初始值，求出。解：?）高斯-塞德?tīng)柗ǖ綖?/p>

19、：（2）因?yàn)闉閲?yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗?（3）取初值，計(jì)算得 5.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)應(yīng)用雅可比迭代算法求解線(xiàn)性方程組要求：選擇不同的迭代次數(shù)，觀察輸出結(jié)果；第七章 非線(xiàn)性方程求根7.1 主要內(nèi)容：區(qū)間二分法.切線(xiàn)法.弦位法.一般迭代法.一、區(qū)間二分法 區(qū)間二分法是求方程根的近似值的常用方法。二分法的計(jì)算步驟如下：1.計(jì)算函數(shù)值（不妨設(shè)），確定初始有根區(qū)間 2.二分有根區(qū)間 ，并計(jì)算 取 3.判斷：若，則方程的根為；若 ，則有根區(qū)間為 ；令若 ，則有根區(qū)間為；令 4. 若（為誤差限），則方程的根為；否則轉(zhuǎn)步驟2，繼續(xù)二分有根區(qū)間，并計(jì)算中點(diǎn)值，繼續(xù)有根區(qū)間的判斷，直到滿(mǎn)足精度要求為

20、止.二分次數(shù)的確定：如果給定誤差限，則需要二分的次數(shù)可由公式 確定應(yīng)二分的次數(shù)。區(qū)間二分法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算程序簡(jiǎn)單，只要在區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間二分法就可使用，但區(qū)間二分法不能用來(lái)求偶次重根，由于區(qū)間二分法收斂比較慢，在實(shí)際計(jì)算中，區(qū)間二分法常用來(lái)求比較好的含根區(qū)間和初始近似值，以便進(jìn)一步使用收斂更快的迭代法求出更精確的近似值。二、迭代序列收斂階的概念設(shè)迭代序列收斂于，如果存在實(shí)數(shù)與正常數(shù)c，使得 ，則稱(chēng)序列是階收斂于。特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)序列為線(xiàn)性（一次）收斂； 為線(xiàn)性收斂時(shí)，必須要求。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)序列為平方（二次）收斂；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)序列為超線(xiàn)性收斂； 收斂階越大，則序列與的誤差縮減越快，也就是序列收斂越快。三、

21、切線(xiàn)法(牛頓法)1. 切線(xiàn)法的基本思想：假設(shè)方程在區(qū)間上有唯一根,過(guò)曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，用此切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為方程的根的新的近似值, 再過(guò)點(diǎn)，作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則又得到新的近似值,按此方法進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿(mǎn)足精度要求為止。 切線(xiàn)法(牛頓法)的迭代公式為 2.切線(xiàn)法的收斂性設(shè)在上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足條件 （1）； （2）在上不等于零 （3） 在上不變號(hào) 則對(duì)任意初值 ，只要滿(mǎn)足，則由切線(xiàn)法迭代公式得到的近似根序列平方收斂于方程在區(qū)間 的唯一根。切線(xiàn)法的計(jì)算步驟：先判斷有根區(qū)間 ，然后選擇初始值（一般地，若，則選擇區(qū)間的右端點(diǎn)；若，則選擇區(qū)間的左端點(diǎn)），再建立迭代公式進(jìn)行計(jì)算（列

22、表計(jì)算）。四 、弦位法 1. 弦位法的基本思想：設(shè)方程在區(qū)間上有唯一根,在區(qū)間內(nèi)的曲線(xiàn)上任取兩點(diǎn)作弦，用此弦與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)作為方程根的近似值。按此方法進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿(mǎn)足精度要求為止。弦位法分為單點(diǎn)弦法和雙點(diǎn)弦法。 2.單點(diǎn)弦法 建立弦的迭代公式時(shí)，固定其中一個(gè)點(diǎn)，而另一個(gè)點(diǎn)變動(dòng)的迭代求根方法。單點(diǎn)弦法的迭代公式： （1）單點(diǎn)弦法的收斂性 單點(diǎn)弦法收斂所滿(mǎn)足條件和切線(xiàn)法的收斂條件相同，不同的是單點(diǎn)弦法迭代公式所產(chǎn)生的序列是線(xiàn)性收斂于在區(qū)間上有唯一根。計(jì)算時(shí)應(yīng)注意，在選擇固定點(diǎn)時(shí)，也要求滿(mǎn)足條件。 （2）單點(diǎn)弦法的計(jì)算步驟同切線(xiàn)法類(lèi)似。3雙點(diǎn)弦法 建立弦的迭代公式時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都變動(dòng)的迭代求根方

23、法。雙點(diǎn)弦法的迭代公式為: （1）雙點(diǎn)弦法收斂性 在上滿(mǎn)足的條件為: ;；,其中,，, 則以為初始值，由雙點(diǎn)弦法迭代公式得到的序列超線(xiàn)性收斂于方程在區(qū)間的唯一根。 （2）雙點(diǎn)弦法的計(jì)算步驟同切線(xiàn)法類(lèi)似。但在計(jì)算時(shí)應(yīng)注意收斂性的判斷和初始值的選擇五、 一般迭代法 一般迭代法的基本思想：若方程在區(qū)間上有唯一根,將方程變形為同解方程，且連續(xù)，則建立迭代公式。設(shè)是方程的一個(gè)近似根,將它代入迭代公式進(jìn)行迭代，求出的一系列近似根，直到滿(mǎn)足精度要求為止。 1. 一般迭代法的迭代公式： 2.一般迭代法的收斂性 建立一般迭代法的迭代公式可以有許多方法，但是有些迭代公式產(chǎn)生的迭代序列不收斂，所以判斷迭代公式的收斂

24、性就十分重要，一般迭代法計(jì)算步驟同切線(xiàn)法類(lèi)似。計(jì)算時(shí)應(yīng)注意收斂性的判斷和初始值的選擇，設(shè) 7.2 例題分析例1 用二分法求方程在某區(qū)間內(nèi)實(shí)根的近似值（精確到0.001）解 f(1.8)=-0.1680, f(1.9)=0.3590 f(x)在區(qū)間1.8 ，1.9內(nèi)有一個(gè)根。由公式 取n=6， 計(jì)算結(jié)果列表如下：Nanbnxnf(xn)11.81.91.85+21.81.851.825-31.8251.851.8375+41.8251.83751.83125-51.831251.83751.834375+61.831251.8343751.8328125則方程在區(qū)間1.8，1.9內(nèi)所求近似值為x

25、* x = 1.8328125例2 證明 計(jì)算的切線(xiàn)法迭代公式為 （n=0,1,）解 因?yàn)橛?jì)算等同于求方程的根，將，代入切線(xiàn)法迭代公式得： 例3 試導(dǎo)出計(jì)算的單點(diǎn)弦法迭代公式，并用它計(jì)算，準(zhǔn)確到。解 因?yàn)橛?jì)算等同于求方程的正根，令 ，代入單點(diǎn)弦法迭代公式，得： 例4 用一般迭代法求方程在區(qū)間0，1內(nèi)的根，要求 解：取初始值：，代入，求得：滿(mǎn)足精度要求，則方程的近似值為7.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn) 求方程在1.5 附近的根.注意：二分法和牛頓法在非線(xiàn)性方程求根中的優(yōu)缺點(diǎn)和收斂速度。二分法簡(jiǎn)單易行，但只有線(xiàn)性收斂，且僅限于求實(shí)根；牛頓法也是一種簡(jiǎn)單的迭代法，具有二階收斂速度（在單根鄰近處）的特點(diǎn)，但對(duì)初值的選

26、擇比較苛刻，否則可能不收斂.第八章 矩陣特征值與特征向量8.1 主要內(nèi)容 1. 冪法和反冪法 2. 對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的雅可比法。一、冪法冪法是求實(shí)方陣A按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量的一種迭代方法。在學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們應(yīng)注意對(duì)前兩種情況的公式的理解和記憶。1. 基本思想：任取非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1=AXk，k=0,1,. 再根據(jù)k增大時(shí)，Xk各分量的變化規(guī)律，求出方陣A 的模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量。2. 冪法的計(jì)算公式 設(shè)矩陣A的n個(gè)特征值按模的大小排列為：，其相應(yīng)的特征向量為 e1, e2, en，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 任取初始非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1=AXk

27、，k=0,1,. X0=a1e1+a2e2+anen .根據(jù)特征值的不同情況得下列三種計(jì)算公式 （1）1為實(shí)根，且12。當(dāng)a1不為0，k充分大時(shí)，則有 （2）1為實(shí)根，且1=-2，23。當(dāng)a1 ，a2不為0，k充分大時(shí)，則有 在實(shí)際應(yīng)用冪法時(shí)，可根據(jù)迭代向量個(gè)分量的變化情況判斷屬于那種情況。若迭代向量各分量單調(diào)變化，且有關(guān)系式Xk+1cXk，則屬于第1種情況；若迭代向量各分量不是單調(diào)變化，但有關(guān)系式Xk+2cXk，則屬于第2種情況；在應(yīng)用乘冪法計(jì)算特征值和特征向量時(shí)，為了防止溢出，也可采用迭代公式（6.6）進(jìn)行迭代計(jì)算。當(dāng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，可采用計(jì)算內(nèi)積的方法加速迭代的收斂，即計(jì)算特征值1時(shí)可用

28、公式，其精度與上式（1）中相當(dāng)。3. 冪法的計(jì)算步驟： 任取初始非零初始向量X0（一般取X0=（1，1，1）T或X0=（1，0，0）T）。 作迭代序列Xk+1= AXk，k=0,1,（也可以列表計(jì)算）。 根據(jù)迭代向量個(gè)分量的變化情況判斷屬于那種情況，選擇所屬公式。 代入公式計(jì)算出方陣A按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量。二、反冪法 反冪法是求實(shí)方陣A按模最小的特征值及相應(yīng)的特征向量的一種迭代方法。1. 基本思想：設(shè)非奇異矩陣A的n個(gè)特征值為：12n，其相應(yīng)的特征向量為 e1, e2, en，則的特征值為其相應(yīng)的特征向量仍為 e1, e2, en。 則求A-1按模最大的特征值的倒數(shù)則為矩陣A按模最

29、小的特征值。再利用冪法求A-1按模最大的特征值。2. 反冪法的計(jì)算公式 任取初始非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1= A-1Xk，k=0,1,.它等價(jià)于AXk+1=Xk，k=0,1,.求得Xk+1 .當(dāng)n-1n，a0,k充分大時(shí)，則有3. 反冪法的計(jì)算步驟：（和冪法的計(jì)算步驟基本相同） 任取初始非零初始向量X0（一般取X0=（1，1，1）T或X0=（1，0，0）T）。作迭代序列Xk+1= A-1Xk，k=0,1,（也可以列表計(jì)算）。在實(shí)際計(jì)算中，為了減少運(yùn)算量，先將矩陣A作三角分解 A=LR，然后再求解方程組 根據(jù)迭代向量個(gè)分量的變化情況判斷屬于那種情況，選擇所屬公式。 代入公式計(jì)算出特征值

30、及相應(yīng)的特征向量。4. 利用反冪法還可以求得比已知特征值更準(zhǔn)確的特征值和特征向量。 求在附近的特征值。設(shè)與最接近的特征值為用反冪法求出矩陣的按模最小的特征值和相應(yīng)的特征向量為 于是得A在 附近的特征值和相應(yīng)的特征向量為 三、對(duì)稱(chēng)矩陣的雅可比法 雅可比法是求實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣全部特征值和特征向量的變換方法。 1.雅可比法的基本思想：對(duì)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A（記A0=A=（aij(0)）作一系列平面旋轉(zhuǎn)相似變換，即用一系列正交旋轉(zhuǎn)矩陣R1，R2，Rk，對(duì)A作平面旋轉(zhuǎn)變換。將對(duì)稱(chēng)矩陣A化為對(duì)角矩陣D，即D= Ak=( R1R2Rk)TA0(R1R2Rk)= RkTAk-1Rk，(k=1,2,)。則對(duì)角矩陣D的n個(gè)

31、對(duì)角元素就是A的全部特征值，而變換陣之積的各列就是相應(yīng)的特征向量。 2.雅可比法的的計(jì)算步驟： 構(gòu)造正交旋轉(zhuǎn)矩陣R1， 在n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A中，選擇最大的非對(duì)角線(xiàn)上的元素apq所在的第p行和第q列構(gòu)造正交旋轉(zhuǎn)矩陣R1，其中p,q應(yīng)滿(mǎn)足： 。 計(jì)算得A1=R1TA0R1，或代入雅可比法的計(jì)算公式（6.12），（6.13）計(jì)算A1，其中A1也為對(duì)稱(chēng)矩陣，且矩陣A1中的元素 同理，構(gòu)造正交旋轉(zhuǎn)矩陣R2，Rk，對(duì)A(k-1) (k=2,3,)作平面旋轉(zhuǎn)變換得Ak= RkTAk-1Rk (k=1,2,)。直到將A(k-1)化為對(duì)角陣或滿(mǎn)足精度要求為止。則求得對(duì)角矩陣的n個(gè)對(duì)角元素就是A的全部特征值，而變換

32、陣R1，R2，Rk之積的各列就是相應(yīng)的特征向量。在用雅可比法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意旋轉(zhuǎn)角的公式和計(jì)算： （1）構(gòu)造正交旋轉(zhuǎn)矩陣Rk，使，應(yīng)滿(mǎn)足 一般地，限定 ， 例如：但是，在進(jìn)行迭代時(shí)，對(duì)稱(chēng)矩陣A中已化為零的元素在下一步迭代時(shí)又可能變?yōu)榉橇阍亍８鶕?jù)雅可比法的收斂性可知，這些元素是趨于0的，只是收斂的速度可能慢些。所以在實(shí)際迭代計(jì)算時(shí)，只要每個(gè)元素小于某一給定的精度數(shù)值即可。在實(shí)際使用雅可比法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，為了避免尋找最大非對(duì)角元，常采用按a12,a1n, a23,a2n,，an-1 n,次序化零的循環(huán)雅可比法 。 例1用乘冪法求矩陣按模最大特征值和特征向量。解：取X0=（1，1，1）T，用乘冪法

33、迭代公式Xk+1=AXk，k=0,1,.計(jì)算列表如下： 012345611 1 112 7 12134 69 1341478 743 147816266 8141 16266178942 89487 1789421968394 984229 196839411.000 10.999 11.000因?yàn)榈蛄扛鞣至繂握{(diào)變化，且滿(mǎn)足Xk+111Xk，則屬于第一種情況，所以 例2 用雅可比法求矩陣 的特征值和特征向量。 解 , 取p=1,q=2, 根據(jù)雅可比法迭代計(jì)算公式知 則矩陣A的特征值和特征向量分別為：8.3數(shù)值實(shí)驗(yàn)已知矩陣 ，計(jì)算該矩陣主特征值和相應(yīng)的特征向量.參考結(jié)果：主特征值為6；相應(yīng)的

34、特征向量為第九章 常微分方程數(shù)值解法9.1 主要內(nèi)容： 1歐拉法、改進(jìn)歐拉法. 2龍格-庫(kù)塔法。 3單步法的收斂性與穩(wěn)定性。一、微分方程的數(shù)值解法在工程技術(shù)或自然科學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到的許多微分方程的問(wèn)題，對(duì)于微分方程問(wèn)題需要考慮求它們的滿(mǎn)足一定精度要求的近似解的方法，稱(chēng)為微分方程的數(shù)值解法。數(shù)值解法的基本思想是：在常微分方程初值問(wèn)題解的存在區(qū)間a,b內(nèi)，取個(gè)節(jié)點(diǎn)（其中差稱(chēng)為步長(zhǎng)，一般取為常數(shù)，即等步長(zhǎng)），在這些節(jié)點(diǎn)上把常微分方程的初值問(wèn)題離散化為差分方程的相應(yīng)問(wèn)題，再求出這些點(diǎn)的上的差分方程值作為相應(yīng)的微分方程的近似值（滿(mǎn)足精度要求）。二、歐拉法與改進(jìn)歐拉法 歐拉法與改進(jìn)歐拉法是用數(shù)值積分方法對(duì)

35、微分方程進(jìn)行離散化的一種方法。 將常微分方程變?yōu)?歐拉法（歐拉折線(xiàn)法）歐拉法的基本思想：用左矩陣公式計(jì)算（）式右端積分，則得歐拉法的計(jì)算公式為：歐拉法局部截?cái)嗾`差 或簡(jiǎn)記為。計(jì)算時(shí)應(yīng)注意歐拉法是一階方法，計(jì)算誤差較大。歐拉法的幾何意義：過(guò)點(diǎn)，斜率分別為所連接的一條折線(xiàn)，所以歐拉法亦稱(chēng)為歐拉折線(xiàn)法。2改進(jìn)歐拉法 改進(jìn)歐拉法的基本思想：用梯形公式計(jì)算（）式右端積分，則得改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式為： 利用改進(jìn)歐拉法計(jì)算常微分方程初值問(wèn)題時(shí)，計(jì)算公式為隱式表達(dá)式，需要對(duì)它進(jìn)行迭代求解。計(jì)算時(shí)可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式和反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式。改進(jìn)歐拉法預(yù)

36、估-校正法公式： 反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差或簡(jiǎn)記為O（h3）。從局部截?cái)嗾`差的形式看，改進(jìn)歐拉法是二階方法，因此，它比歐拉法更精確。三、龍格-庫(kù)塔法 1龍格-庫(kù)塔法龍格-庫(kù)塔法具有精度高、收斂、穩(wěn)定，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，是求解微分方程初值問(wèn)題的一組著名的顯示單步方法，廣泛應(yīng)用于求解常微分方程的初值問(wèn)題。龍格-庫(kù)塔法的基本思想：在計(jì)算初值問(wèn)題的數(shù)值解時(shí)，考慮均差，由微分中值定理可得，由初值問(wèn)題可得公式為：上式中稱(chēng)為區(qū)間上的平均斜率。如果給平均斜率一種計(jì)算方法，就可得到計(jì)算的近似值的公式。如果僅取處的斜率值作為平均斜率近似值，得到的的公式為歐拉公式；如果取處的斜率值，的平均值