《彈性力學(xué)》試題（2003級(jí)）參考答案

1、彈性力學(xué)試題（a）參考答案（2003級(jí)）一、填空題（每小題4分）1最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)方程中： 平衡微分 方程和 應(yīng)力 邊界條件。2將平面應(yīng)力情況下物理方程中的e、分別換成 、，即得到平面應(yīng)變情況下的物理方程。3等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中， 的物理意義是 端部邊界條件 。4平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法中，airy應(yīng)力函數(shù)及在邊界上值的物理意義分別是 面力對(duì)某一點(diǎn)的矩 ， 面力的主矢量（合力投影） 。5對(duì)無(wú)限大多連體，解析函數(shù)中常數(shù)的物理意義為： 無(wú)窮遠(yuǎn)處的主應(yīng)力及其方向 。二、簡(jiǎn)述題（每小題6分）1試簡(jiǎn)述力學(xué)中圣維南原理的要點(diǎn)及在彈性力學(xué)分析中作用。圣維南原理的要點(diǎn)：（1）靜力等效；（2）一小部分邊

2、界（次要邊界）；（3）近處的應(yīng)力明顯受影響而遠(yuǎn)處應(yīng)力的影響可忽略不計(jì)。圣維南原理在彈性力學(xué)分析中作用：（1）近似列出復(fù)雜面力的應(yīng)力邊界條件；（2）將一小部分位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件問(wèn)題。2材料的泊松比為，試根據(jù)三向拉伸時(shí)體積膨脹，單向拉伸時(shí)產(chǎn)生橫向收縮的性質(zhì)，證明：在線彈性情況下有，。證明：（1）當(dāng)物體處于三向等拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，其任意方向的線應(yīng)變有：因?yàn)椋?，所以有：，即（2）當(dāng)物體處于單向拉伸時(shí)，其橫向線應(yīng)變有：因?yàn)?，物體發(fā)生橫向收縮變形，應(yīng)有：。考慮到拉伸軸向應(yīng)變，由上式可得綜合以上討論，得在彈性階段，材料的泊松比，有3下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域，無(wú)體力）一組應(yīng)力分量和一組應(yīng)變分量

3、，試判斷它們是否可能。（1）；（2）。解：（1）判斷應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程：計(jì)算：，代入平衡微分方程（設(shè)無(wú)體力），有，可見(jiàn)滿足平衡微分方程。判斷應(yīng)力分量是否滿足相容方程：計(jì)算：可見(jiàn)滿足相容方程。綜合以上判別得：所給應(yīng)力分量為一組可能應(yīng)力分量。（2）判斷應(yīng)力分量是否滿足變形協(xié)調(diào)方程：計(jì)算：，將其代入變形協(xié)調(diào)方程：，顯然有：滿足變形協(xié)調(diào)方程，表明所給應(yīng)變分量一組可能的應(yīng)變分量。4圖示曲桿，在邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水平集中力p。試寫(xiě)出其邊界條件（除固定端外）。題二（4）圖（1）；（2）（3） 5試簡(jiǎn)述拉甫（love）位移函數(shù)法、伽遼金（galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性

4、力學(xué)問(wèn)題的基本思想，并指出各自的適用性。love、galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想：（1）變求一般函數(shù)（或）為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)）。適用性：love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱(chēng)的空間問(wèn)題； galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱(chēng)的空間問(wèn)題。三、計(jì)算題1圖示半無(wú)限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為p，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。 （13分）題三（1）圖解：很小，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶m的情形。其應(yīng)力函數(shù)可取為：將應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分

5、量公式，可求得應(yīng)力分量： ； ； 邊界條件：（1）； 代入應(yīng)力分量式，有 或 （1）（2）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：，和m = pd由該脫離體的平衡，得將代入并積分，有 得 （2）聯(lián)立式（1）、（2）求得：，代入應(yīng)力分量式，得； ； 。結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2圖示頂角為的楔形體，下端無(wú)限長(zhǎng)，受水平方向的常體力作用，設(shè)單位體積的水平力為，試用純?nèi)味囗?xiàng)式為應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。 （12分） 題三（2）圖解：由題意，取應(yīng)力函數(shù)為 （1）計(jì)算應(yīng)力分量： （2）邊界條件1：， （3）將式（2）代入得：，解得：。式（2）變?yōu)椋?（4）考察邊界條件（）：其中：，。將上式及式（4）代入，有 （5）將代入解得： 將上述結(jié)果代入式（4），得 （6）3一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度ei為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試求：（1）用三角函數(shù)形式和多項(xiàng)式寫(xiě)出梁撓度（w）近似函數(shù)的表達(dá)式；（2）在上述梁撓度（w）近似函數(shù)中任選一種，用最小勢(shì)能原理或ritz法求梁撓度（w）的近似解（取1項(xiàng)待定系數(shù)）。 （13分）題三（3）圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為 多項(xiàng)式函數(shù)形式 三角函數(shù)形式此時(shí)有：即滿足梁的端部邊界條件。 梁的總勢(shì)能為?。海?，代入總勢(shì)能計(jì)算式