數(shù)列求和種方法方法全例子多

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減 法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定 的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求

2、和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn n（aan） na! n（n2 22、等比數(shù)列求和公式：Snna1a1(1 qn)1 qn13、Snkn(n1)k 12n.3r1 “25、Snkn(n1)k 12h1,23例1已知log3X求X XXlog23(q 1)n214、Snkn(n 1)(2 n 1)k 16n X的前n項(xiàng)和.代（q i）解：由log3 x1log 2 3log 3 xlog 32由等比數(shù)列求和公式得SnX X2 X3（利用常用公式）例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解：由等差數(shù)列求和公式得SnSnf(n

3、) (n 32)Sn 1164n 34 -nx(1 xn)=1 xSn1 1(1 -)20 = 1 -丄1 2n1 -2(n 32)Sn 11n(n 1),2-2-34n 641 8 2 (n ).n50的最大值.Sn150當(dāng).n 8，即 n= 8 時(shí)，f (n)maxV81501-(n 1)( n 2)2（利用常用公式）題 2 .若 12+2 2+ +(n-1)2= an3+bn2+cn，貝V a=,b =,c=二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列設(shè)xSn1x3x25x37x4(2n1

4、)xn 一得(1x)Sn12x 2x22x32x42xn 1(2n1)xn解：由題可知，(2n 1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 xn 1an bn的前 n的通項(xiàng)之積(設(shè)制錯(cuò)位)(錯(cuò)位相減)例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1 X)Snn 11 2xS-(2n1)xnSn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)22 46例4求數(shù)列一，-2 2算前n項(xiàng)的和.解:由題可知,設(shè)Sn2Sn2 1 23 12 n歹的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列4224一得（11）Sn2_6_236尹22練習(xí)題1 已知答案

5、:Sn2n孑2n盯2 2 2T2 T3 T42 2 2 n 22* 12 2nnn 12 2f 的通項(xiàng)之積，求數(shù)列 an的前（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）n項(xiàng)和Sn.答案：，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個(gè) （a1an).0 1 2 例 5 求證： Cn0 3Cn1 5Cn2(2n 1)Cnn(n 1)2n證明： 設(shè) Sn Cn0 3C1n5Cn2(2n1)Cnn三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序）把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn(2n1)Cnn (2n1)Cnn 13Cn1 Cn0反序）又由Cm nCnn m 可得Sn(2n1)Cn0 (2

6、n1)Cn1n 1 n3CnCn.n 1 n nCnCn ) 2(n 1) 2反序相加）01+得 2Sn (2n 2)(Cn0 C1nSn(n1)2 2sin 2 88sin 289 的值2 2 2例 6求 sin 1 sin 2 sin 3解：設(shè) S sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 89 .將式右邊反序得2S sin 2 89sin 2 8822sin23sin22sin 2 1.（反序）sin 1 .又因?yàn)?sinxcos(90x),sin22x cos x 1+得（反序相加）2S (sin 2 12 cos 1 )(sin 2 22cos 2 )(sin

7、 2 892cos 89 )=89S= 44.5題 1 已知函數(shù)的值.=右邊（2）求解：（ 1 ）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊（ 2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以練習(xí)、求值:四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可14, 2a(Aag1例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11,a1 解：設(shè) Sn (11)(4)a將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得1Sn (1a當(dāng)a= 1時(shí),Sn7,7)當(dāng)a 1時(shí),1F)(1a(3n1)n 211L (3n 1)n1丄 a例8求數(shù)列n(n+1)

8、(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) akk(k 1)(2k 1)2k33k2(丄n 1 a(3n1)n3n 2)3n 2)(分組)(分組求和)(3n 1)n2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nn32Sn= 2k33 k2k 1k 1(分組)=2(1323n3) 3(1222n2) (1 2n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 22n(n 1) (n 2)2五、裂項(xiàng)法求和（分組求和）這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目

9、的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n1)1 1(2n2n 1)(5)an1n(n 1)(n2)2 n(n 1)(n1)(n 2)ann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n1)12n1n 2n 1，則 Sn1(n 1)2n n1(n 1)2n(7)(8)an(An B)(A n C)C B( AnAnan例9求數(shù)列12 .2.3的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an（裂項(xiàng)）則Sn（裂項(xiàng)求和）=C-2-1)(3例10在數(shù)列an中,an，又b-，求數(shù)列b

10、 n的前n項(xiàng)的和.a n a n 1解:an 6 n n2 - 數(shù)列b n的前1)1Sn8(12_1n2-n項(xiàng)和(23)8nn 1(14)4(丄n七（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）111cos0 C0S1cos1 cos2cos 88cos 89111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos 89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos 88cos 891(tan 1tan 0 ) (tan 2tan1 )(tan 3=8(1n例11求證:解：設(shè)S Stan 2 ) tan 89sin1)cos1sin21（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和

11、）tan 88 1 (tan 89sin 1tan 0 )=sin 1cot1 =哼sin 1原等式成立練習(xí)題1.答案：練習(xí)題2。答案:六、分段求和法（合并法求和）針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值.解：設(shè) Sn= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179cosn cos(180 n )找特殊性質(zhì)項(xiàng)）二 Sn=(cosi + cos179 + ( cos89 + cos91

12、=0) + ( cos2 + cos1 78) + ( cos3 ) + cos90+ cos177） + （合并求和）例 13數(shù)列an: ai1,a23,a32,an 2an 1an ，求 S2002.解：設(shè) S2002= aia2a3a2002由 a11, a23,a32, an 2 anan可得a6k 1a6k2 a6k 3a6k 4 a6k 5a6k 60找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002= a1a2a3a2002合并求和）= (a1a2a3a6) (a7a8 a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )= a1999a2000a2001a2002= a6k 1a6k 2a6ka6k 4=5例

13、 14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，a5a69,求 log 3ailog3 a2log 3 a10 的值 .解：設(shè) Snlog 3 a1 log 3 a2log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì) m n p qamanapaq找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga Mlogaloga M NSn(log 3 a1log 3 a10 ) (log 3 a2log3 a9)(log 3 a5 log3 a6)合并求和）= (log 3 a1a10 ) (log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6)= log 3 9log39log3 9練習(xí)、求和：練 習(xí) 題 1 設(shè)答案： 2 .練習(xí)題 2 .若

14、Sn = 1-2+3-4+(-1)n-1 n，則 S17+S33 + S 50 等于 ()A.1 B.-1 C.0 D .2答案：解：對(duì)前 n 項(xiàng)和要分奇偶分別解決， 即： Sn=A練習(xí) 題 3100 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-1 2的值是A .5000 B.5050 C.10100 D.20200解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式 =(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái) 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法 .15求 1 11111111

15、1之和.n個(gè)1解：由于11111-9999l(10kk個(gè) 19k個(gè) 19二 1 11111111 1n個(gè)11 11 213=-(1091)-(10 1)99(10 1)=1(10110210310n)丄(1991)（找通項(xiàng)及特征）!(10n 1)（分組求和）91 11)n個(gè)11 10(10n 1)910 1=丄(10n1 10819n)例16已知數(shù)列an: an(n(n 1)(anan 1）的值.解：(n 1)(anan 1 )8(n1)( n 1)(n3)(n 2)( n 4)（找通項(xiàng)及特征）(n 2)(n4)(n（設(shè)制分組）(n8(n4）（裂項(xiàng)）(n 1)(an an 1)1(七）（分組、裂項(xiàng)求和）4(1133提高練習(xí)：1.已知數(shù)列設(shè)數(shù)列anbn中，Sn是其前n項(xiàng)和,an 12an( n 1,2,并且）,Sn 1求