[小學(xué)一年級(jí)]一年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題

1、同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對(duì)的數(shù)相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果，可以使計(jì)算又快又準(zhǔn)。例1 計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對(duì)于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點(diǎn)是麻煩、容易出錯(cuò)；而且一步出錯(cuò)，以后步步都錯(cuò)。若是利用湊十法，就能克服這種缺點(diǎn)。二、湊整法同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：1+19=20 11+9=302+18=

2、20 12+28=403+17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如：15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。例2 計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解

3、：這是求1到19共10個(gè)單數(shù)之和，用湊整法做：100例3 計(jì)算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個(gè)雙數(shù)之和，用湊整法做：110例4 計(jì)算2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法：三、用已知求未知 利用已經(jīng)獲得較簡(jiǎn)單的知識(shí)來(lái)解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識(shí)事物的一般過(guò)程，湊十法、湊整法的實(shí)質(zhì)就是這個(gè)道理，可見(jiàn)把這種認(rèn)識(shí)規(guī)律用于計(jì)算方面，可使計(jì)算更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個(gè)例子。例5 計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開(kāi)始的前10個(gè)單數(shù)之和以及從2

4、開(kāi)始的前10個(gè)雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計(jì)算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（這步利用了例2和例3的結(jié)果）=210例6 計(jì)算 5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個(gè)自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟練后，此步驟可省略）=55-10=45四、改變運(yùn)算順序在只有加減運(yùn)算的算式中，有時(shí)改變加、減的運(yùn)算順序

5、可使計(jì)算顯得十分巧妙！例7 計(jì)算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進(jìn)行加減運(yùn)算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因?yàn)樗闶捷^長(zhǎng)，多次加減又繁又慢且容易出錯(cuò)。如果改變一下運(yùn)算順序，先減后加，就使運(yùn)算顯得非?！捌痢?。下式括號(hào)中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5五、帶著“+”、“-”號(hào)搬家例8 計(jì)算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運(yùn)算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號(hào)搬家的方法解決。要注意每個(gè)數(shù)自己的符號(hào)就是這個(gè)數(shù)前面的那個(gè)“+”號(hào)

6、或“-”號(hào)，搬家時(shí)要帶著符號(hào)一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運(yùn)算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號(hào)搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。習(xí)題一1計(jì)算：13+14+15+16+17+252計(jì)算：2+3+4+5+15+16+17+18+203計(jì)算：21+22+23+24+25+26+27+28+294計(jì)算：5+6+7+8+9+10+1

7、1+12+13+14+15+16+17+18+19+205計(jì)算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06計(jì)算：10-20+30-40+50-60+70-80+907計(jì)算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8計(jì)算：（2+4+6+20）-（1+3+5+19）9計(jì)算：（2+4+6+100）-（1+3+5+99）第二講 速算與巧算（二）例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說(shuō)誰(shuí)拿得多，多幾塊？解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？再算妹

8、妹共拿了多少塊？72-64=8（塊）方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（塊）可以看出方法2要比方法1巧妙！平時(shí)注意積累，記住一些有趣的和重要的運(yùn)算結(jié)果，非常有助于速算。比如，請(qǐng)同學(xué)記住幾個(gè)自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5

9、+6+7+8+9+10=55例2 星期天，小明家來(lái)了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說(shuō)：“咱們一共10個(gè)人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰(shuí)會(huì)分？”結(jié)果大家都無(wú)法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實(shí)無(wú)法分。因?yàn)橐沟妹總€(gè)人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無(wú)法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說(shuō)，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來(lái)，他就和另一個(gè)先分得9塊糖的那

10、個(gè)小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意：“按小明提的要求無(wú)法分”就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無(wú)解”也叫問(wèn)題的答案。）例3 時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，照這樣敲下去，從1點(diǎn)到12點(diǎn)，這12個(gè)小時(shí)時(shí)鐘共敲了幾下？解：這是一道美國(guó)小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1：湊十法方法2：如果能記住從1到10前十個(gè)自然數(shù)之和是55，計(jì)算會(huì)更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）習(xí)題二1三個(gè)小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？2把16只小雞分別裝進(jìn)

11、5個(gè)籠子里，每個(gè)籠子里都要有雞，而且每個(gè)籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？按同樣要求，把15只小雞裝進(jìn)5個(gè)籠子能辦得到嗎？按同樣要求，把14只小雞分裝到5個(gè)籠子能辦得到嗎？3把100塊糖分給10個(gè)小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？把99塊糖按同樣要求分給10個(gè)小朋友，你能分嗎？4從1到20這20個(gè)數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？5小方家的鐘除了幾點(diǎn)鐘敲幾下外，每半點(diǎn)鐘也敲一下。比如說(shuō)，0點(diǎn)半敲1下，1點(diǎn)鐘敲1下，1點(diǎn)半敲1下，2點(diǎn)敲2下，2點(diǎn)半敲1下，照這樣敲下去，從夜里0點(diǎn)開(kāi)始，計(jì)到白天中午12點(diǎn)鐘，在這12個(gè)小時(shí)之內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？習(xí)

12、題二解答1答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個(gè)人分1塊，第2個(gè)人分2塊，第3個(gè)人分3塊，這樣三個(gè)人共需要有1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個(gè)人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個(gè)人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。25只籠子裝16只小雞的裝法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）5只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無(wú)法分裝。3記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個(gè)人的分法是

13、：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。99塊糖按要求分給10個(gè)小朋友無(wú)法分。4解：方法1：?jiǎn)螖?shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改變運(yùn)算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105

14、解：先記錄時(shí)鐘敲的整點(diǎn)數(shù)和半點(diǎn)數(shù)如下：列算式求和，并改變運(yùn)算順序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）第四講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)時(shí)，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了，要減掉。例1 小朋友排隊(duì)，小紅前面4個(gè)人，后面3個(gè)人，問(wèn)這隊(duì)共有幾個(gè)人？解：這隊(duì)的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。例2 排好隊(duì)，來(lái)報(bào)數(shù)，正著報(bào)數(shù)我報(bào)七，倒著報(bào)數(shù)我報(bào)九，一共多少小朋友？解：見(jiàn)下

15、圖正著報(bào)數(shù)“我”報(bào)了一次，倒著報(bào)數(shù)“我”又報(bào)了一次，所以把兩次報(bào)數(shù)加起來(lái)時(shí)，“我”被加了兩次。因此算這隊(duì)的總?cè)藬?shù)時(shí)，應(yīng)從兩次報(bào)數(shù)之和減1。7+9-1=15（人）。也可以這樣想：正著報(bào)數(shù)報(bào)到我為止，倒著報(bào)數(shù)時(shí)，我就不報(bào)了，只報(bào)到我的后面相鄰的那個(gè)人他應(yīng)該報(bào)8，所以全隊(duì)總?cè)藬?shù)是：7+（9-1）=15（人）。例3 少先隊(duì)員排成隊(duì)去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個(gè)；從排尾數(shù)起，張英是第23個(gè)。已知?jiǎng)⑵降那耙粋€(gè)是張英。問(wèn)這隊(duì)少先隊(duì)員共有多少人？解：畫(huà)示意圖，用點(diǎn)代表少先隊(duì)員。由圖可見(jiàn)，從排頭數(shù)起時(shí)，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時(shí)，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見(jiàn)把他兩人多數(shù)了一次，所以點(diǎn)總?cè)藬?shù)時(shí)，應(yīng)

16、減去多數(shù)的那一次才對(duì)。20+23-2=41（人）。例4 45個(gè)小朋友排成一隊(duì)去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個(gè)；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個(gè)，問(wèn)小剛和小莉中間有幾個(gè)人？解：畫(huà)示意圖。用點(diǎn)“”代表人由圖可見(jiàn)，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-（19+12）=14（人）。例5 一班同學(xué)做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒(méi)有做花的有3人。如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？解：畫(huà)圖如下：由圖可見(jiàn)，做花的人：55-3=52（人）。圖中陰影部分表示兩色花都做的人：38+39-52=25（人）。習(xí)題四1學(xué)生排成一隊(duì)，在小進(jìn)的前面有6人，后面有8人，問(wèn)這隊(duì)共有多少人？212輛汽車(chē)組成一列車(chē)

17、隊(duì)向前行進(jìn)。從前面數(shù)起，紅色的小轎車(chē)是第7輛。問(wèn)從后面數(shù)它是第幾輛？3游泳池里男生都戴藍(lán)帽，女生都戴紅帽。池中一個(gè)男生小強(qiáng)邊看邊數(shù)，他看見(jiàn)藍(lán)帽4個(gè)，紅帽5個(gè)。問(wèn)池中男女生共多少人？4說(shuō)稀奇、道稀奇，鴨子隊(duì)里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請(qǐng)你幫助算一算，小鴨一共有幾只？5一個(gè)小組的小學(xué)生共有5人，已知他們都做了語(yǔ)文作業(yè)或數(shù)學(xué)作業(yè)。又知做完語(yǔ)文作業(yè)的有3人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有4人。問(wèn)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人？6在100名學(xué)生中統(tǒng)計(jì)，有65人會(huì)騎自行車(chē)，有73人會(huì)游泳，有10人既不會(huì)騎自行車(chē)又不會(huì)游泳。問(wèn)既會(huì)騎自行車(chē)又會(huì)游泳的人有多少？7某班有學(xué)生45人，訂閱中國(guó)少年報(bào)的有29人，訂閱小朋友

18、的有28人，其中兩種都訂閱的有16人，問(wèn)兩種刊物都沒(méi)有訂閱的人有多少？習(xí)題四解答1解由圖可知：總?cè)藬?shù)是6+8+1=15人。2解：方法1：數(shù)一數(shù)；先畫(huà)示意圖如下，用代表紅色小轎車(chē)，用代表其他車(chē)。從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車(chē)是第6輛。方法2：算一算；這隊(duì)車(chē)共有12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車(chē)是第7輛，所以紅色小轎車(chē)前面有7-1=6輛車(chē)，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車(chē)是第12-6=6輛。3解：畫(huà)示意圖如下：因?yàn)槟猩?qiáng)邊看邊數(shù)時(shí)，沒(méi)有看見(jiàn)自己的藍(lán)帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時(shí)，要把他加上，即4+5+1=10（人）。4解：畫(huà)示意圖，用代表小鴨，用代表小雞。由圖可見(jiàn)，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。

19、這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把小雞計(jì)算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時(shí)就要減去兩個(gè)小雞。6+7-2=11（只）。5解：畫(huà)示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語(yǔ)文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學(xué)作業(yè)的4人中，因此這部分人被多算了一次，（如圖中陰影部分所示）所以?xún)煞N作業(yè)都做完的人數(shù)是：3+4-5=2（人）。6解：畫(huà)圖如下：由圖可知：會(huì)騎車(chē)或是會(huì)游泳的總?cè)藬?shù)是100-10=90（人）。兩種都會(huì)的人數(shù)是65+73-90=48（人）。（圖中陰影部分所示）7解：畫(huà)示意圖如下：因?yàn)橹辽儆?份刊物的人：28+29-16=41（人）。兩種刊物都沒(méi)有訂的人：45-41=4（人）。第五講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（三）例1小朋友，

20、張開(kāi)手，五個(gè)手指人人有。手指之間幾個(gè)“空”，請(qǐng)你仔細(xì)瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：見(jiàn)右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個(gè)手指間有4個(gè)“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手有5個(gè)手指4個(gè)間隔。例2 小朋友在一段馬路的一邊種樹(shù)。每隔1米種一棵，共種了11棵，問(wèn)這段馬路有多長(zhǎng)？解：畫(huà)示意圖如下：由圖可見(jiàn)，這段馬路的11棵樹(shù)之間有10個(gè)“空”，也就是10個(gè)間隔。每個(gè)間隔長(zhǎng)1米，10個(gè)間隔長(zhǎng)10米。也就是說(shuō)這段馬路長(zhǎng)10米。像這類(lèi)問(wèn)題一般叫做“植樹(shù)問(wèn)題”?？梢缘贸鲆粋€(gè)公式：當(dāng)兩頭都種樹(shù)時(shí)：例3 把一根粗細(xì)一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？如果把這根

21、木頭鋸成100段，需要幾分鐘？解：畫(huà)出示意圖：由圖可見(jiàn)，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。例4 鼓樓的鐘打點(diǎn)報(bào)時(shí)，5點(diǎn)鐘打5下需要4秒鐘。問(wèn)中午12點(diǎn)時(shí)打12下需要幾秒鐘？解：畫(huà)示意圖。鐘打一下用一個(gè)點(diǎn)代表，打5下畫(huà)5個(gè)點(diǎn)。由圖可見(jiàn)，鐘打5下中間有4個(gè)時(shí)間間隔，4個(gè)間隔是4秒鐘，每個(gè)間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打12下時(shí)有12-1=11個(gè)時(shí)間間隔，故用11秒鐘。習(xí)題五1一隊(duì)男生8人。老師要求在2名男生中間插進(jìn)1名女生，問(wèn)可插進(jìn)多少女生？2小冬用12張紙訂成一個(gè)本子。

22、從頭數(shù)起，每隔3紙夾進(jìn)一片樹(shù)葉，問(wèn)這個(gè)本子內(nèi)共放進(jìn)多少片樹(shù)葉？3在一條20米長(zhǎng)的小路兩旁種小松樹(shù)，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹(shù)，問(wèn)這段小路上共種多少棵？4一根鋼管長(zhǎng)6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸?fù)辏?一根木頭鋸成4段，要付鋸工費(fèi)1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費(fèi)多少元？6小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問(wèn)小明上到五樓時(shí)，爸爸上到幾樓？7沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠(yuǎn)，第一面旗插在起點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)起跑經(jīng)過(guò)6秒鐘到達(dá)第6面旗，問(wèn)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)第11面旗時(shí)，需要跑11秒鐘嗎？8三點(diǎn)鐘時(shí)，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點(diǎn)鐘時(shí)，掛鐘打響六下，要用

23、幾秒鐘？習(xí)題五解答1解：方法1：按老師要求，在2名男生中間插進(jìn)1名女生后，寫(xiě)出隊(duì)伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進(jìn)的女生共7人。方法2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹(shù)”，把女生看成“間隔”，就能按植樹(shù)問(wèn)題的公式解這道題。因?yàn)閮深^都是男生，就像兩頭都有樹(shù)一樣，女生數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減1，即8-1=7（人）。2解：畫(huà)示意圖如下：可以這樣想：把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙”，12張紙共粘成4張厚紙。按題目要求，相當(dāng)于每?jī)蓮埡窦堉g放入一片樹(shù)葉，可知共放入3片樹(shù)葉。3解：畫(huà)示意圖如下：（只畫(huà)一旁種樹(shù)情況）由圖可見(jiàn)，每5米為一段，20米長(zhǎng)的路可分為4段，由于路兩端都要種

24、樹(shù)，所以種的棵樹(shù)等于段數(shù)加1，即一旁種樹(shù)4+1=5（棵），兩旁共種5+5=10（棵）。4解：畫(huà)示意圖如下：由圖可見(jiàn)，把6米長(zhǎng)的鋼管鋸成1米長(zhǎng)的6段，只需鋸6-1=5（次），題中說(shuō)，每分鐘鋸下1米，就是說(shuō)鋸1次需要1分鐘，所以鋸5次需5分鐘即5分鐘把鋼管鋸?fù)辍?解：把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費(fèi)1元。當(dāng)把這根木頭鋸成13段時(shí)只需鋸13-1=12次，每鋸3次付費(fèi)1元，鋸12次應(yīng)付鋸工費(fèi)4元。6解：見(jiàn)右圖當(dāng)小明跑五樓時(shí)，實(shí)際上跑過(guò)了4層樓梯，所以爸爸此時(shí)只走過(guò)了2層樓梯，即走到了三樓。7解：畫(huà)出示意圖：在起點(diǎn)插著第一面旗，但在起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員起跑時(shí)，時(shí)間是從0秒開(kāi)始計(jì)時(shí)的。運(yùn)動(dòng)員跑到

25、第六面旗時(shí)，實(shí)際上是跑了5段間隔，這時(shí)他用了6秒鐘的時(shí)間；當(dāng)他跑到第11面旗時(shí)，實(shí)際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來(lái)共用了12秒鐘，而不是11秒鐘。8解：“當(dāng)當(dāng)當(dāng)”鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個(gè)時(shí)間間隔用12秒，一個(gè)時(shí)間間隔就是122=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次，因而鐘打六下要65=30（秒）。第六講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的問(wèn)題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍(lán)子里一個(gè)一個(gè)地往外拿，邊拿邊數(shù)。籃子里的雞蛋拿光了，有多少個(gè)雞蛋也就數(shù)出來(lái)了。這種最簡(jiǎn)單的數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1 用分別寫(xiě)有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出

26、多少個(gè)不同的二位數(shù)？解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來(lái)，可知能排出兩個(gè)二位數(shù)來(lái)。它們是：例2 用分別寫(xiě)有數(shù)字0，1，2的三張紙片能排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？解：因?yàn)椤?”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個(gè)二位數(shù)，它們是：1作十位數(shù)字，0或2作個(gè)位數(shù)字：2作十位數(shù)字，0或1作個(gè)位數(shù)字：例3 用分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個(gè)三位數(shù)都寫(xiě)出來(lái)。再數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)。共6個(gè)不同的三位數(shù)。例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來(lái)，組成一個(gè)二位數(shù)，在紙上記下來(lái)之后，再把卡片

27、放回各自原來(lái)的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回這樣一直做下去，問(wèn)他一共可能組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再?gòu)挠疫叧閷夏茫涯贸龅臄?shù)字卡片排在個(gè)位。下面是記下來(lái)的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個(gè)不同的二位數(shù)。例5 有一群人，若規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：兩個(gè)人，三個(gè)人，四個(gè)人解：畫(huà)圖。用點(diǎn)“”代表人。如果兩人握一次手就在兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線。那么，點(diǎn)和點(diǎn)之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見(jiàn)以下的圖。兩個(gè)人：兩點(diǎn)之間只能連一條線，表示兩個(gè)人共握1次手。三個(gè)

28、人：三點(diǎn)之間有三條連線，表示三個(gè)人共握3次手。四個(gè)人：四點(diǎn)之間有六條連線，表示四個(gè)人共握6次手。例6 鐵路上的火車(chē)票價(jià)是根據(jù)兩站距離的遠(yuǎn)近而定的，距離愈遠(yuǎn)，票價(jià)愈高。如果一段鐵路上共有五個(gè)車(chē)站，每?jī)烧鹃g的距離都不相等，問(wèn)這段鐵路上的火車(chē)票價(jià)共有多少種？解：如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個(gè)點(diǎn)代表五個(gè)車(chē)站，各點(diǎn)間距離不同表示各車(chē)站間距離不同，因而票價(jià)不同。由圖可見(jiàn)，各段長(zhǎng)度不同的線段就表示各種不同的票價(jià)。數(shù)一數(shù)，票價(jià)種數(shù)是：4+3+2+1=10種。例7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過(guò)小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問(wèn)

29、有多少種不同的走法？解：共有6種不同的走法，見(jiàn)下圖。習(xí)題六1用三張數(shù)字卡片，可以排出多少個(gè)不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多少？2有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù)，問(wèn)這些卡片可能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？3用兩套數(shù)字卡片可組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？4在一次小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上有五名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，他們每?jī)蓚€(gè)人都互相握了一次手。問(wèn)他們共握了多少次手？5全區(qū)六所小學(xué)舉行小足球賽，每個(gè)學(xué)校派出一個(gè)代表隊(duì)，要求規(guī)定每?jī)蓚€(gè)校隊(duì)之間都要賽一場(chǎng)，問(wèn)一共要賽多少場(chǎng)？6右圖是小英家和學(xué)校之間的街道圖。問(wèn)小英去上學(xué)時(shí)，共有多少種不同的走法？（不準(zhǔn)故意繞遠(yuǎn)走）7如右圖所示，一只螞蟻從一個(gè)正方體的a點(diǎn)沿著棱爬向b點(diǎn)

30、，如不故意繞遠(yuǎn)，一共有幾種不同的走法？習(xí)題六解答1解：注意，0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個(gè)。它們是：407，470，704，740。最大的數(shù)是740，最小的數(shù)是407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。2解：注意0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個(gè)。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3解：共組成25個(gè)不同的二位數(shù)。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，

31、54，55。4解：畫(huà)圖。用點(diǎn)代表人，用兩點(diǎn)之間的連線代表兩個(gè)人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10條連線，所以共握手10次。5解：共賽15場(chǎng)。見(jiàn)下圖。方法1：如右圖所示這樣數(shù)：一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場(chǎng)；二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場(chǎng)；（二小不能再和一小賽，因?yàn)樗鼈円呀?jīng)比賽過(guò)了，下同）三小再和四小、五小、六小共賽3場(chǎng)；四小再和五小、六小共賽2場(chǎng)；五小再和六小共賽1場(chǎng)。比賽場(chǎng)次總數(shù)：5+4+3+2+1=15（場(chǎng)）。方法2：每個(gè)學(xué)校都要和其他的五個(gè)學(xué)校各賽一場(chǎng)，共5場(chǎng)。因而六個(gè)學(xué)校所賽的場(chǎng)次是56=30場(chǎng)。但是這樣計(jì)算還有個(gè)問(wèn)題，比如說(shuō)一小和

32、二小賽了一場(chǎng)，這一場(chǎng)比賽被兩個(gè)學(xué)校都計(jì)算在了自己所賽的場(chǎng)次里，因而被計(jì)了兩次。所以總場(chǎng)數(shù)也就多計(jì)了一倍。也就是說(shuō)，六個(gè)學(xué)校實(shí)際賽的總場(chǎng)次數(shù)是302=15（場(chǎng)）。6解：小英由家到學(xué)校共有6種走法，見(jiàn)下圖粗黑線所示。7解：螞蟻沿著棱由a點(diǎn)爬到b點(diǎn)有6種不同的走法，見(jiàn)下圖粗黑線所示。第七講 填圖與拆數(shù)（一）例1 如右圖，把3、4、6、7四個(gè)數(shù)填在四個(gè)空格里，使橫行、豎行三個(gè)數(shù)相加都得14。怎樣填？解：先看豎行，最上格中已有個(gè)5。要使5+（ ）=14，括號(hào)里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個(gè)數(shù)：9=3+6，（因?yàn)?和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個(gè)空格里。但進(jìn)一步想，應(yīng)該把哪一個(gè)填在中間空格里呢？這就需要

33、看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個(gè)數(shù)4和7，因?yàn)?和7相加和為11，而11+3=14，可見(jiàn)中間空格應(yīng)填3。例2 如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個(gè)數(shù)相加之和都等于12。解：見(jiàn)下圖（1）、（2）、（3）。把12分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：12=9+2+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6+5+1 12=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個(gè)相同加數(shù)的兩個(gè)式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外

34、的填法。例3 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)填入五個(gè)圓圈里，要求分別滿(mǎn)足以下條件：（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來(lái)都等于8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來(lái)都等于9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來(lái)都等于10。解：見(jiàn)下圖（1）、（2）、（3）（1）將8分拆成三個(gè)數(shù)之和（注意，這三個(gè)數(shù)要從1、2、3、4、5中選?。?=1+2+5 8=1+3+4因?yàn)橹虚g圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“1”填在中間圓圈里其他四個(gè)數(shù)填在邊上；（2）解法思路與（1）相同，分拆方式如下：9=1+3+5 9=2+3+4（3）解法思路與（1）相同10=1+4+5 10=2+3+5。習(xí)題七1如右圖所示。在正方形的

35、空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個(gè)數(shù)相加得數(shù)都是18。2如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加都得34。3如右圖所示。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個(gè)圈中的數(shù)相加都是10。4如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個(gè)大圓上的小圓圈中的四個(gè)數(shù)的和都等于15，都等于16。5如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于10。6如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是15。7如下頁(yè)圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個(gè)小三角形的各個(gè)角上的圓圈里，使

36、每個(gè)小三角形的三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時(shí)使大三角形三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和也是15。習(xí)題七解答1在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如10、6、7三個(gè)數(shù)。仔細(xì)觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因?yàn)橐箼M行三個(gè)空格里的數(shù)之和是18，（已有的兩個(gè)數(shù)之和是10+6=16）就需要在這個(gè)空格中填上18-16=2。當(dāng)然，也可以先填左下角空格的那個(gè)數(shù)，因?yàn)樗诘男毙兄幸延袃蓚€(gè)數(shù)7和6，而7+6=13，所以應(yīng)在這個(gè)空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2見(jiàn)圖。解法思路與第1題相同。因?yàn)橐竺啃械乃膫€(gè)數(shù)之和是34，而第三橫行已有的三個(gè)數(shù)之和為9+7+

37、12=28，所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個(gè)數(shù)之和是13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3見(jiàn)圖。解法與第1題相同。因?yàn)槿切蔚囊贿呉延袃蓚€(gè)數(shù)3和2，其和為3+2=5，要使這邊的三數(shù)之和是10，可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4見(jiàn)圖。和是15：因?yàn)榇髨A上有兩個(gè)小圓圈中已有了1和7，它們的和是1+7=8，所以同一個(gè)大圓上另外的兩個(gè)小圓圈中應(yīng)填的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是15-8=7，將7分拆成兩個(gè)數(shù)有兩種分拆方式：將2和5填入一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中，將3和4填

38、入另一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中。見(jiàn)右圖。和是16，解法思路和相同。因?yàn)?+7=8，16-8=8將8分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。5解：見(jiàn)下圖（1）（4）把10分拆成三個(gè)不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個(gè)共同加數(shù)的兩個(gè)式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個(gè)加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來(lái)嗎？6 解見(jiàn)下圖。把15分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式：15=1+2+12 15=1+3+1115=1+4+1

39、0 15=1+5+915=1+6+8 15=2+3+1015=2+4+9 15=2+5+815=2+6+7 15=3+4+815=3+5+7 15=4+5+6因?yàn)轭}目中已有2、3、8三個(gè)數(shù)填在3個(gè)圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、8這三個(gè)數(shù)，又要有另一個(gè)數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個(gè)：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“1”寫(xiě)在中間圓圈里，再在其他三個(gè)圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。7解：見(jiàn)下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下：適當(dāng)選取四組數(shù)，填入四個(gè)三角形中（3個(gè)小三角形與1個(gè)大三角形），可以得到一些不同的填法。選法的竅門(mén)是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將

40、它們分別填在大三角形的三個(gè)角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示。第八講 填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例1 如右圖所示。把三個(gè)1、三個(gè)2、三個(gè)3分別填在九個(gè)格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個(gè)數(shù)加起來(lái)的和都等于6。解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因?yàn)橹虚g格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。（1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1，其和為3，不合題目要求。若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3，其和為9，不合題目

41、要求。若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個(gè)“1”或一個(gè)“3”。因?yàn)槿籼顑蓚€(gè)1后，即使再填一個(gè)最大的3，這一行的這三個(gè)數(shù)之和才是5，小于6，不符合題目要求；同樣，若填兩個(gè)3后，即使再填一個(gè)最小的數(shù)1，這一行的三個(gè)數(shù)之和就是7，大于6，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個(gè)“2”，即使在此行里再填一個(gè)2，這一行的三個(gè)數(shù)之和也可等于6，符合題要求。由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2 如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是8。解：中間圓圈里的數(shù)是

42、個(gè)關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個(gè)圓圈中，這樣每條斜線上的三個(gè)數(shù)相加都得8。那么當(dāng)我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來(lái)，它們的和應(yīng)為8+8=16，但是五個(gè)圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為1+2+3+4+5=15，兩個(gè)和數(shù)之差是1，即：16-15=1。這個(gè)差是如何產(chǎn)生的呢？這是因?yàn)榘褍蓷l斜線上的和數(shù)相加時(shí)，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個(gè)數(shù)多加了一次和就多了1，可見(jiàn)此數(shù)是1。然后，再求每條斜線兩端的數(shù)。可求出兩數(shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。例3

43、 如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個(gè)數(shù)填在右圖中的七個(gè)圓圈里，每個(gè)數(shù)只能用一次，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于12。解：見(jiàn)圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢？與例2的想法類(lèi)似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個(gè)圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12。我們?nèi)绻M(jìn)一步把三條直線上的數(shù)都加起來(lái)，得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個(gè)數(shù)加了三次。因而它比七個(gè)圓圈中的數(shù)相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半，即 82=4下面再確定每條線上另外的兩個(gè)圓圈里的數(shù)，方

44、法如下：12-4=8例4 如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之和都等于9。解：見(jiàn)圖。三個(gè)角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因?yàn)樗鼈冎械拿總€(gè)都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個(gè)數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個(gè)數(shù)之和是9，9+9+9=27這樣算每個(gè)角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個(gè)圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把6分拆成三個(gè)數(shù)之和：6=1+2+3；把1、2、3分別填入三個(gè)角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習(xí)題八1見(jiàn)圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上四個(gè)小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？2見(jiàn)圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個(gè)圓上四個(gè)小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎？3見(jiàn)圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個(gè)方格里，使橫行、豎行的三個(gè)數(shù)之和等于：11、12、13。4見(jiàn)圖。把5、6、7、8、9、10六個(gè)數(shù)分別填入右圖中的六個(gè)圓圈里，使三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于21。5見(jiàn)圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個(gè)數(shù)分別填入圓圈里，使每個(gè)正方形的四個(gè)數(shù)相加之和都等于24。6見(jiàn)圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個(gè)圓圈中的數(shù)相加之和都等于12。7見(jiàn)圖。把11、12、