第4題球比賽中的輪空問(wèn)題毛

1、.c n第4題網(wǎng)球比賽中的輪空問(wèn)題11名選手將要參加網(wǎng)球單打比賽， 組委會(huì)決定采用不設(shè)種子選手的淘汰賽方式?jīng)Q出冠 軍，但對(duì)于比賽中必然會(huì)出現(xiàn)的輪空問(wèn)題卻有不同的意見(jiàn)，一種意見(jiàn)認(rèn)為每一輪都要保證 盡可能多的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，而另一種意見(jiàn)認(rèn)為只允許第一輪中有運(yùn)動(dòng)員輪空，請(qǐng)你就以 下的三個(gè)問(wèn)題分析這兩種意見(jiàn)的異同點(diǎn)：比賽的總場(chǎng)次;比賽的輪數(shù)；(3)輪空人次。分析：淘汰賽即參加比賽的選手通過(guò)抽簽，配對(duì)比賽，勝者進(jìn)入下一輪，負(fù)者則失去了比賽資格；若一輪中將要參賽的選手?jǐn)?shù)為奇數(shù)，則必然有人輪空，所以11人參加的比 賽必然會(huì)出現(xiàn)輪空現(xiàn)象，并且輪空人次與比賽規(guī)則有關(guān)。以下為了敘述方便，將第一種意 見(jiàn)稱(chēng)為“規(guī)則I

2、”，將后一種意見(jiàn)稱(chēng)為“規(guī)則n”。根據(jù)規(guī)則i,每一輪比賽最多只有一名運(yùn)動(dòng)員輪空，即當(dāng)參加某輪比賽的選手為奇數(shù)個(gè)時(shí)，只需選擇一名選手直接進(jìn)入下一輪比賽即可,因此按規(guī)則i進(jìn)行比賽的流程圖(圖4-3 -1)大致如下所示:圖41口口口 口 口口口 口口 由以上流程圖可看出，若采用規(guī)則I組織比賽，比賽總場(chǎng)次、輪數(shù)、輪空人次分別是10、 4、 2。若采用規(guī)則n組織比賽，需解決的關(guān)鍵問(wèn)題是保證從第二輪起不能再出現(xiàn)輪空現(xiàn)象。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在所有的體育比賽中，均為決賽中有2人隊(duì)）參加，半決賽時(shí)應(yīng)有4人（隊(duì)）參加比賽，而扌決賽應(yīng)是E人隊(duì)）參加角逐，依此類(lèi)推，在淘汰賽中若不出現(xiàn)輪空運(yùn)動(dòng)員，參賽人數(shù)可以表示為2n（n N）

3、的形式。因此，從第二輪起，每輪參賽人數(shù)均是2的某次幕。由于23 v 11V 24，所以第二輪應(yīng)有23 = 8人參加比賽，而第一輪應(yīng)有 24 - 1仁5 人輪空，并決出8人參加第 二輪比賽，第三輪有 22 = 4人參賽，最后第四輪有 21 = 2人參賽決出冠軍。由以上的分 析可知，采用規(guī)則n的比賽流程圖 （圖4 2）可寫(xiě)為如下形式：口口口 口口口 口口 口口口因此，本問(wèn)題的結(jié)論為:輪數(shù)輪空人次規(guī)則【1042規(guī)則II1045解：略。回顧：以上分析了 11人參賽的情況，從結(jié)論可知，不論采用哪種規(guī)則，比賽的總場(chǎng) 次及比賽的輪數(shù)均相同，是否能得到以下更具一般性的結(jié)論：無(wú)論多少人參賽，組委會(huì)關(guān) 于輪空問(wèn)題

4、的意見(jiàn)分歧不能改變比賽的總場(chǎng)次及輪數(shù)。顯然上面的結(jié)論對(duì)于參賽人數(shù)為2n的情況成立，因?yàn)樵谶@種情況下不產(chǎn)生輪空運(yùn)動(dòng)n輪比賽，每輪比賽的場(chǎng)次分別為員，關(guān)于輪空的分歧不對(duì)賽程產(chǎn)生影響，其中將共進(jìn)行2n-1,2n-2，4,2,1場(chǎng)，所以無(wú)論采用哪種規(guī)則，總場(chǎng)次均為2n-1 + 2n-2+4+ 2+仁2n-1場(chǎng)，即場(chǎng)次比參賽人數(shù)少1,而這一結(jié)論也可由淘汰制的特點(diǎn)得到：淘汰賽中，每場(chǎng)比賽必有1人（隊(duì)）因失利而失去比賽資格，并且只有冠軍獲得者一場(chǎng)未敗，所以無(wú)論 多少人參賽，總要有（參賽人數(shù)-1）個(gè)運(yùn)動(dòng)員被淘汰，即需要進(jìn)行（參賽人數(shù)-1）場(chǎng)比賽，因而比賽的場(chǎng)次與參賽人數(shù)有關(guān)，與輪空的安排無(wú)關(guān)。若參賽人數(shù)P不為

5、2n（n N）的形式，則一定能找到某個(gè)自然數(shù)n使2n-1 v Pv 2n，若采用規(guī)則n,第一輪比賽后將有 2n-1個(gè)運(yùn)動(dòng)員參加第二輪比賽，所以需要進(jìn)行n輪的比賽；若采用規(guī)則I,將要參加第二輪比賽的運(yùn)動(dòng)員數(shù)在（2 n-2, 2n-1 內(nèi)，第三輪時(shí)有資格參賽的人數(shù)在區(qū)間（2 n-3 , 2n-2內(nèi)，因?yàn)樽詈笠惠喛偸?2人參加比賽，可以推得只需且必須 n輪 才能完成比賽。由以上的分析可知，組委會(huì)的意見(jiàn)分歧對(duì)比賽的輪數(shù)及場(chǎng)次不產(chǎn)生影響，因此選用哪一規(guī)則應(yīng)根據(jù)它們遇到輪空問(wèn)題時(shí)的合理性。在本問(wèn)題中，由于11人參賽，規(guī)則I與規(guī)則n相比，合理性體現(xiàn)在輪空運(yùn)動(dòng)員少于規(guī)則n,但缺點(diǎn)在于半決賽時(shí)還有一名選手輪空，

6、增加了參加冠亞軍決賽運(yùn)動(dòng)員的偶然性。因此，我們很容易提出下面的問(wèn)題：是否有這樣的參賽人數(shù)，使得在采用規(guī)則I時(shí)輪空運(yùn)動(dòng)員的人次比采用規(guī)則n的多。要回答上面的問(wèn)題，應(yīng)首先注意到，采用規(guī)則I組織比賽，每一輪最多一人輪空，最后一輪時(shí)不會(huì)有人輪空，因此，輪空的總?cè)舜慰偸遣淮笥冢ū荣愝啍?shù)-1 ），當(dāng)且僅當(dāng)每輪的參賽人數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，輪空人次才能達(dá)到（比賽輪數(shù)-1）。例如：共17人參賽，第二輪時(shí)剩9人，第三輪時(shí)剩5人，第四輪時(shí)剩3人，第五輪時(shí)2人參加決賽，除去最后一輪， 前4輪中均有一人輪空；但采用規(guī)則n,第二輪時(shí)應(yīng)有16人參賽，所以第一輪共有15人輪空。為了得到更一般的規(guī)律，下面考察參賽人數(shù)分別為9, 10

7、 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15, 16時(shí)的輪空情況:亍人數(shù) 輪空農(nóng)7 規(guī)4910 111213141,16規(guī)則！32 212110規(guī)則II76 43.210.c n由上表，當(dāng)參賽人數(shù)位于】23 , 24時(shí)，采用規(guī)則I產(chǎn)生的輪空數(shù)不會(huì)多于采用規(guī)則H。一般地，若有P名選手參賽，且2n-1 v pw 2n (n N),則采用規(guī)則I,最多產(chǎn)生(n- 1) 人次輪空，而采用規(guī)則n,將有 (2n - P)名選手在第一輪輪空，要說(shuō)明采用規(guī)則I不會(huì)產(chǎn) 生比規(guī)則H多的輪空，只需考察P= 2n , 2n - 1 , 2n - 2，2n - n + 2即可，即只需考慮不大于2n且與2n最接近的(

8、n- 1)個(gè)數(shù)。又因?yàn)镻= 2n時(shí)，兩種規(guī)則均不產(chǎn)生輪空現(xiàn)象， P = 2 n - 1時(shí)，兩種規(guī)則均為在第一輪有一人輪空，比賽流程圖完全一樣，所以只要考慮P為從(2n - 2)到(2n - n + 2)的這(n- 3)個(gè)數(shù)。當(dāng)n= 5時(shí)，只要考慮 P為29, 30這兩種 情況，n= 6時(shí)，只需考慮P為62, 61, 60三種情況，n= 7時(shí)，只需考慮P為126 , 125 , 124,123四種情況，。下面是以上各種情況的結(jié)論：29306061621上;124125126規(guī)則】211212121規(guī)則II324325432由上面的結(jié)論可知：在比賽人數(shù)不多于128人時(shí)，采用規(guī)則I將在輪空人次上體現(xiàn)

9、出其合理性，而采用規(guī)則n,將在比賽的偶然性上體現(xiàn)出其合理性，也就是說(shuō)這兩種比賽規(guī) 則各有利弊。在通常的淘汰制比賽中，一般是通過(guò)設(shè)立種子選手的方法解決問(wèn)題，即讓種 子選手在第一輪輪空， 非種子選手參加第一輪比賽， 種子選手人數(shù)的多少按下列原則確定： 第一輪中的非種子選手為偶數(shù)，且非種子選手?jǐn)?shù)的一半與種子選手?jǐn)?shù)的和為2n的形式。注：在本問(wèn)題中，用到了兩種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法，即由特殊到一般的推理 思想和小型模擬實(shí)驗(yàn)與理論分析相結(jié)合的方法。當(dāng)遇到一個(gè)全新的數(shù)學(xué)問(wèn)題而對(duì)問(wèn)題的解決束手無(wú)策時(shí)，運(yùn)用這兩種方法可以使解題思路逐漸打開(kāi)，并在分析中不斷擴(kuò)大問(wèn)題空間，最終達(dá)到解決問(wèn)題、引申問(wèn)題的目的。希望你

10、能在完成練習(xí)3和練習(xí)4時(shí)，再次體會(huì)到運(yùn)用這兩種方法所能帶給你的幫助。練習(xí)41若22人報(bào)名參加淘汰制的網(wǎng)球單打比賽，設(shè)多少名種子選手比較好。2 若參賽人數(shù)在129到256之間時(shí)，為了證明采用規(guī)則I不會(huì)產(chǎn)生更多的輪空人次， 應(yīng)考察哪幾個(gè)數(shù)。3 在黑板上隨意寫(xiě)1995個(gè)“ + ”或“-”，按以下規(guī)律擦去：每次隨意擦去 2個(gè)符號(hào)，然后按擦去同號(hào)添一個(gè)“ + ”，擦去異號(hào)添一個(gè)“-”號(hào)的原則操作。問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò) 多少次操作后不能再次進(jìn)行下去。 （2）最后的操作結(jié)果與操作過(guò)程有無(wú)關(guān)系，為什么？（3）最后結(jié)果與原始狀態(tài)的“ + ”“ - ”符號(hào)的多少有何關(guān)系，為什么？4 .已知線段AB的端點(diǎn)A為紅色，B為藍(lán)

11、色，在 AB間添上n個(gè)紅或藍(lán)色的點(diǎn)，將 AB 分成n+1條小線段，若定義一條兩端顏色不同的線段為標(biāo)準(zhǔn)線段，問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)的奇偶性與n的大小有無(wú)關(guān)系，與添加點(diǎn)的顏色有何關(guān)系？練習(xí)4答案1 因?yàn)?2人參加比賽，而24v 22V25,所以最佳狀態(tài)為第二輪時(shí) 應(yīng)有16人參加比賽，所以應(yīng)設(shè)32-22=10名種子選手為宜。2 根據(jù)問(wèn)題中的分析，只需考察 n為254, 253, 252, 251, 250 這五種情況，其輪空人次如附表 4-1所示：Pff 表 41規(guī)則250251252253254規(guī)則I121.22規(guī)則n654313. （1）每操作一次，黑板上的符號(hào)減少一個(gè)，最后不能操作時(shí)只剩 下一個(gè)符號(hào)，

12、因此共可進(jìn)行1994次操作。(2)可以通過(guò)小型模擬實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論：(1)如附表4-1所示，隨意寫(xiě)出五個(gè)符號(hào)，改變操作順序，觀察其結(jié) 果如何：+ + - + 1 + +- + -第一次 注：每次操作是指 + - + - + + -第二次 擦去劃線的兩 +二.-第三次個(gè)符號(hào)，然后按+ + -第四次要求添加相應(yīng) + +的符號(hào)2) 改變初始狀態(tài)時(shí)符號(hào)的個(gè)數(shù)或順序，重復(fù)心中的操作可得到下面 的結(jié)論：最后結(jié)果與操作過(guò)程無(wú)關(guān)。因?yàn)?，每次操作后?“-”號(hào)要么減少兩 個(gè)，要么個(gè)數(shù)保持不變，所以若把“ + ”看作 1,“ - ”看作-1,每次操 作黑板上所有符號(hào)的積保持不變，所以最后結(jié)果與操作順序無(wú)關(guān)。(3)由(2)中結(jié)論知，操作結(jié)果的符號(hào)由黑板上符號(hào)的原始狀態(tài)決定。 如果1995個(gè)符號(hào)中，共有偶數(shù)個(gè)“-”，則最后為“ + ”，如果1995個(gè) 符號(hào)中共有奇數(shù)個(gè)“-”，則最后結(jié)果為“-”。4. 由已知條件：n=0時(shí)只有一條標(biāo)準(zhǔn)線段；n=1時(shí)，不論加入紅色 點(diǎn)還是藍(lán)色的點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)不變，均為 1; n=2時(shí)，也就是在n=1 的條件下再加入一點(diǎn)，如圖所示：不妨設(shè)C點(diǎn)為紅點(diǎn)，1) 若在AC間