-矩陣的Kronecker乘積的性質(zhì)與應用(總22頁)

1、矩陣Kronecker乘積的性質(zhì)與應用 摘要 按照矩陣乘法的定義，我們知道要計算矩陣的乘積AB，就要求矩陣A的列數(shù)和矩陣B的行數(shù)相等，否則乘積AB是沒有意義的。那是不是兩個矩陣不滿足這個條件就不能計算它們的乘積呢？本文將介紹矩陣的一種特殊乘積，它對矩陣的行數(shù)和列數(shù)的并沒有具體的要求，它叫做矩陣的Kronecker積（也叫直積或張量積）。 本文將從矩陣的Kronecker積的定義出發(fā)，對矩陣的Kronecker積進行介紹和必要的說明。之后，對Kronecker積的運算規(guī)律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性質(zhì)進行了具體的探究，得出結論并加以證明。此外，還對矩陣的拉直以及矩陣的拉直的性質(zhì)進行了說明和

2、必要的證明。 矩陣的Kronecker積是一種非常重要的矩陣乘積，它應用很廣，理論方面在諸如矩陣方程的求解，矩陣微分方程的求解等矩陣理論的研究中有著廣泛的應用，實際應用方面在諸如圖像處理，信息處理等方面也起到重要的作用。本文討論矩陣的Kronecker積的性質(zhì)之后還會具體介紹它在矩陣方程中的一些應用。關鍵詞：矩陣；Kronecker積；矩陣的拉直；矩陣方程；矩陣微分方程 Properties and Applications of matrix Kronecker productAbstract According to the definition of matrix multiplicat

3、ion, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article wi

4、ll describe a special matrix product , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are i

5、ntroduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described

6、and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image process

7、ing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation.Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differe

8、ntial Equations 目錄摘要IAbstractII第一章 矩陣的Kronecker積11.1 矩陣的Kronecker積的定義11.2 矩陣的Kronecker積的性質(zhì)1第二章 Kronecker積的有關定理及推論6第三章 矩陣的拉直93.1矩陣的拉直的定義93.2矩陣的拉直的性質(zhì)9第四章 矩陣的Kronecker積與矩陣方程114.1矩陣的Kronecker積與Lyapunov矩陣方程114.2矩陣的Kronecker積與一般線性矩陣方程134.3矩陣的Kronecker積與矩陣微分方程14參考文獻16致謝18符號說明 實數(shù)域 復數(shù)域 零矩陣 Kronecker積 第一章 矩陣的

9、Kronecker積1.1 矩陣的Kronecker積的定義定義1.1設矩陣，矩陣，定義A和B的Kronecker積（或直積，張量積）為：可以看出，其結果是一個矩陣，同時也是一個以為子塊的分塊矩陣.例1.1 設，則由此可見，與具有相同的階數(shù)，但是它們并不相等，也就是說，Kronecker積不滿足交換律. 1.2 矩陣的Kronecker積的性質(zhì)雖然Kronecker積不滿足交換律，但是具有以下一些性質(zhì)：性質(zhì)1.2.1 設矩陣，矩陣，則（這個O為矩陣）.證明：略.性質(zhì)1.2.2 設k為任一常數(shù)，矩陣，矩陣，則.證明：不失一般性，設，則：，根據(jù)Kronecker積的定義可以得到：， ， 即，.所以

10、.性質(zhì)1.2.3 設A，B為同階矩陣（同階是為了可以做加法），則，.證明：不失一般性，設，則：，根據(jù)Kronecker積的定義可以得到： (1.1)*， (1.2)*， (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得： (1.4)*，由(1.1)*，(1.4)*可得：.同理設可證：.性質(zhì)1.2.4 設矩陣，矩陣，矩陣，則證明：不失一般性，設，則： 得證.性質(zhì)1.2.5設矩陣，矩陣，矩陣,矩陣，則證明：不失一般性，設，則：得證.性質(zhì)1.2.6 設矩陣可逆， 且矩陣可逆，則可逆，且.證明：(這里I與數(shù)的乘法中的1起到相同的作用)，故.性質(zhì)1.2.7 設矩陣，矩陣，則證明： 得證.同理可證：.性質(zhì)1.

11、2.8 兩個正交（酉）矩陣的Kronecker積還是正交（酉）矩陣. 證明：設矩陣，矩陣.因為A，B都是正交（酉）矩陣，所以有，.由性質(zhì)1.2.7和性質(zhì)1.2.5可得：.故. 得證.第二章 Kronecker積的有關定理及推論定理2.2.2 設矩陣，矩陣，則. 證明：設rank A=r，rank B=s，A，B的標準形分別為：， 其中，1，2)均為非奇異矩陣，則由性質(zhì)1.2.5和1.2.6可以得： 所以 得證.定理2.2.3 設矩陣，矩陣，對于向量和，若x是A關于特征值的一個特征向量，y是A關于特征值的一個特征向量，則是對應特征值的一個特征向量.證明：因為x，y都是非零向量，所以xy也是非零向

12、量，由性質(zhì)1.2.2和性質(zhì)1.2.5可得：.所以，是對應特征值的一個特征向量.推論2.2.4 設矩陣，矩陣，對于向量和，若A的特征值是，；B的特征值是，則的特征值為，（k重根算k個）.定理2.2.5 設矩陣，矩陣，對于向量和，若x是A關于特征值的一個特征向量，y是A關于特征值的一個特征向量，則是對應特征值的一個特征向量. 證明：由性質(zhì)1.2.3，性質(zhì)1.2.5可以得到：，故.所以，是對應特征值的一個特征向量.推論2.2.6 設矩陣，矩陣，對于向量和，若，是A關于特征值，的特征向量， ，是B關于特征值，的特征向量，則的個特征值為.(s=1，2，m；t=1，2，n).例2.2 設矩陣，矩陣，對于向

13、量和，若，是A關于特征值，的特征向量， ，是B關于特征值，的特征向量，證明：矩陣的特征值是，對應的特征向量為.(i=1，2，m；j=1，2，n).證明：由性質(zhì)1.2.3和性質(zhì)1.2.5可得：，故有：所以，矩陣的特征值是，對應的特征向量.定理2.2.7 設矩陣，矩陣，則證明：由Kronecker積和跡的定義可得：得證.定理2.2.8 設矩陣，矩陣，則 證明：設A的特征值為，B的特征值為，由推論2.2.4可得：得證.第三章 矩陣的拉直3.1矩陣的拉直的定義定義3.1 設，定義矩陣A的按行拉直為：即矩陣A的拉直是一個元的列向量，它是由矩陣A所有元素按行順序依次排成一列得到的.例如：，則矩陣A的拉直為

14、.3.2矩陣的拉直的性質(zhì)矩陣的拉直具有以下性質(zhì)：性質(zhì)3.2.1 設矩陣，矩陣，k和l是常數(shù)，則=. 證明：略.性質(zhì)3.2.2 設，則=.證明：左邊= (a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t) =(a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t) )= =右邊，得證.性質(zhì)3.2.3設矩陣，矩陣，矩陣，則.證明：設，其中，是的第行，則，所以 得證.推論3.2.4 設矩陣，矩陣，矩陣，則有.(+).第四章 矩陣的Kronecker積與矩陣方程4.1矩陣的Kronecker積與Lyapunov矩陣方程設矩陣，矩陣，矩陣，解Lyapunov矩陣方程：AX+XB=F.第一步：

15、將方程兩邊拉直，由推論3.2.4可得： . (4.1)第二步：判斷是否有解，根據(jù)線性方程組是否有解的判別條件可得：矩陣方程(4.1)有解的充要條件是： ，det(AI+ IB)0，即A和(-B)沒有公共的特征值或者說A和B無互為相反數(shù)的特征值.例4.1 分別在下2列條件下解矩陣方程AX+XB=C.(1) ，(2) ，解：(1) 首先計算A和B的特征值，解得：，解得：.觀察有無互為相反數(shù)的特征值發(fā)現(xiàn)，A和B沒有互為相反數(shù)的特征值，所以矩陣方程有唯一解. ，： . (4.1)設，計算，將A，X，C代入(4.1)得：，計算得到：，根據(jù)矩陣的乘法的定義可以求得：.故矩陣方程AX+XB=C的唯一解為：.

16、(2) 同樣先計算A和B的特征值，解得：，解得：. 通過觀察可知：. ，.將矩陣方程兩邊拉直，： . (4.1)設，計算，將A，X，C代入(4.1)得：， -計算得到：，根據(jù)矩陣的乘法的定義可以求得：.故矩陣方程AX+XB=C的通解為： (c為任意常數(shù)).4.2矩陣的Kronecker積與一般線性矩陣方程設矩陣，矩陣，矩陣，：(r = 1，2，).第一步，將矩陣方程兩邊拉直，由性質(zhì)3.2.3可以得到： . (4.2)第二步：判斷是否有解，根據(jù)線性方程組是否有解的判別條件可得：矩陣方程(4.2)有解的充要條件是： .即的所有特征值均不為0.例4.2 設A和C都是nn矩陣，A的特征值（i=0，1，

17、2，n）（實數(shù)），求證：矩陣方程有唯一解.證明： ，化簡得到： .由定義3.1可知：的個特征值是0，1，2，n).故：的個特征值是：，1，2，n).即是可逆的，由唯一解的判斷方法可知：矩陣方程有唯一解.例4.3 在下列條件下解矩陣方程.已知：，.解：將矩陣方程兩邊拉直得到： . (4.3)* 設，計算和 代入(4.3)*得到：.計算化簡得：.根據(jù)矩陣的乘法的定義可以求得：.計算，所以方程有唯一解：.4.3矩陣的Kronecker積與矩陣微分方程設，求下列矩陣微分方程初值問題的解： (4.3)引理：設A，矩陣，則，.證明：因為性質(zhì)1.2.5可得：.同理可證：.將矩陣微分方程(4.3)兩邊拉直，由

18、推論3.2.4可以得到： (4.4)由引理可得：，又因為，故 (4.5)這就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩陣微分方程的初值問題： (4.6)已知：，.解：可計算得到：，.由(4.5)式可以得到：.即(4.6)的解為. 通過本章的學習，我們知道矩陣的Kronecker積在解矩陣方程領域有很大的作用，利用Kronecker積的性質(zhì)，Lyapunov，一般矩陣方程，矩陣微分方程的初值問題等問題.參考文獻1矩陣論簡明教程（第三版）.徐仲等編.北京：科學出版社.2014.1.2矩陣論教程（第2版）.張紹飛，趙迪編.北京：機械工業(yè)出版社.2012.5.3矩陣論引論（第2版）.陳祖明，周家勝

19、編.北京：北京航空航天大學出版社.2012.10.4矩陣論十講.李喬，張曉東編.合肥：中國科學技術大學出版社.2015.3.5矩陣理論及方法.謝冬秀，雷紀剛，陳桂芝編.北京：科學出版社.2012.6H-矩陣類的理論及應用.徐仲等編.北京：科學出版社.2013.7高等代數(shù)教程（上）.王萼芳編.北京：清華大學出版社.1997（2008重印）.8常微分方程（第二版）.東北師范大學微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重?。?9矩陣分析與應用（第2版）.張賢達編.北京：清華大學出版社.2013（2014.6重印）.10線性代數(shù)及其應用.毛立新，咸美新編.北京：高等教育出版社

20、.2015.8.11線性代數(shù)（第2版）.鐘玉泉，周建編.北京：科學出版社.2015.1.12矩陣理論與方法（第2版）.吳昌愨，魏洪增編.北京：電子工業(yè)出版社.2013.8.13線性代數(shù)學習指導.趙春燕，單凈，王麟編.哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社.2012.2.14矩陣論.張凱院等編.北京：科學出版社.2013.15矩陣論導教導學導考.張凱院，徐仲編.西安：西北工業(yè)大學出版社.2014.8.16矩陣函數(shù)與矩陣方程.柏兆俊，高衛(wèi)國，蘇仰鋒編.北京：高等教育出版社.2015.5.17矩陣分析.姜志俠，孟品超，李延忠編.北京：清華大學出版社.2015.18矩陣論札論.梁昌洪編.北京：科學出版社.201

21、4.19線性代數(shù)及其應用.馬新順，王濤，郭燕編.北京：高等教育出版社.2014.7.20矩陣論引論.田振際，王永鐸，吳德軍編.北京：科學出版社.2013.21線性代數(shù)及其應用（第2版）.河北農(nóng)業(yè)大學理學院編.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重?。?22線性代數(shù)及其應用.王坤龍編.北京：電子工業(yè)出版社.2014.10.23線性代數(shù)（第2版）.許峰，范愛華編.合肥：中國科學技術大學出版社.2013.4.24線性代數(shù)及其應用.俞方元編.上海：同濟大學出版社.2014.8.25線性代數(shù)學習指導.謝政，陳摯編.北京：清華大學出版社.2012.10.26高等線性代數(shù)學.黎景輝，白正簡，

22、周國暉編.北京：高等教育出版社.2014.9.27線性代數(shù)講義.江惠坤，邵榮，范紅軍編.北京：科學出版社.2013.28線性代數(shù).賈屹峰編.上海：上海交通大學出版社.2012.29線性代數(shù).侯亞君，艾玲，沙萍，林洪娟編.北京：機械工業(yè)出版社.2012.1（2012.7重?。?30線性代數(shù).郝秀敏，姜慶華編.北京：經(jīng)濟科學出版社.2013.7.31線性代數(shù).韓旸，王靜宇，周莉編.北京：化學工業(yè)出版社.2013.8.32線性代數(shù)重點難點考點輔導與精析.高淑萍，張劍湖編.西安：西北工業(yè)大學出版社.2014.5.33線性代數(shù).傅媛編.武漢：武漢大學出版社.2013.2（2013.11重?。?34跟我學

23、線性代數(shù)：導學與習題精解.董曉波編.北京：機械工業(yè)出版社.2014.1.35線性代數(shù)同步學習輔導.陳紹林，唐道遠編.北京：科學出版社，2014.7.36線性代數(shù)及應用.劉三明編.南京：南京大學出版社.2012.8.37線性代數(shù).譚福錦，黎進香編.北京.人民郵電出版社.2012.8.38工程數(shù)學.線性代數(shù)（第6版）.同濟大學數(shù)學系編.北京：高等教育出版社.2014.6.39矩陣分析與計算.李繼根，張新發(fā)編.武漢：武漢大學出版社.2013.10.40矩陣計算的理論與方法.徐樹方編.北京：北京大學出版社.1995.8.41矩陣分析及其應用. 曾祥金，吳華安編.武漢：武漢大學出版社.2007.8.42矩陣理論與應用.張躍輝編.北京：科學出版社.2011.8.致謝 通過一個月來不斷的努力，終于完成了這篇畢業(yè)論文。此次寫作過程中，得到了很多同學的幫助，但是幫助最大的還是指導老師劉喜富老師。劉老師不但知識淵博，而且很有耐心，對我不懂的地方細心的講解，把論文的目的，結構，性質(zhì)等也介紹得很詳細，讓我能夠更有效率，更專心的寫論文。寫論文不是簡單的事情，它需要自